高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第156—160题(含答案解析)

感知高考刺金156
已知F 是双曲线2
2:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知12PF a PF =+
所以APF ∆周长为12PA PF AF PA a PF AF ++=+++
由于2a AF +是定值，要使APF ∆周长最小，则1PA PF +最小，即1,,P A F 三点共线 因为()0,66A ，()13,0F -，所以直线1AF 的方程为
1366x +=- 代入2
2:18
y C x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-（舍去） 所以26P y =
所以111166662612622
APF AF F PF F S S S ∆∆∆=-=
⋅⋅-⋅⋅= 感知高考刺金157
在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ．
解：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，
AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，
由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o
2sin30sin 75BE =，解得62BE =+，
平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在BCF ∆中，
75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，
由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o
2sin30sin 75BF =，解得62BF =- 所以AB 的取值范围为()
62,62-+
感知高考刺金158
已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是
（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
解：由()(
)22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,
0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎪⎩
， 即222,0()(2)2,0258,2
x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩
()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰
有4个零点等价于方程
()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724
b << 已知函数()()22,22,2
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()32g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为 ．
解：当0x <时，()22f x x -=，此时方程()()210f x g x x x -=--+=的小于0的零点为15x +=- 当02x ≤≤时，()222f x x x -=--=，方程()()22f x g x x x -=-+=无零点 当2x >时，()2224f x x x -=--=-，
方程()()()2227330f x g x x x x x -=-+-=--=有一个大于2的根32
x =- 故共有2个零点． 感知高考刺金159
已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且（2,m m ≥∈N ），则m 的最小值为 ．
解：因为对任意2,m m ≥∈N 和任意m x ∈R 都有()()12m m f x f x --≤ 由()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=知7m ≥ 但当7m =时，必须使()()()122,3,4,5,6,7m m f x f x m --== 则1267,,,,x x x x 依次取35791113,,,,,,62222222
ππππππππ>，不合题意
当8m =时，1267,,,,x x x x 依次取3579110,,,,,,,6222222
πππππππ可满足题意，所以m 的最小值为8
感知高考刺金160
已知函数()ln f x x =，()20,0142,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩
，则方程()()1f x g x +=的实根个数为 ．
解：()()()()11f x g x g x f x +=⇔=±-
作出函数()y g x =与()1y f x =±-的图象，观察共有4个交点。