人教版初三数学上册y=a(x-h)图像和性质.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象(录像)
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
1－(－3)＝4，∴S△PAB＝
1 2
×4×2＝4.
考查角度二 二次函数与水流问题 14.(课本P36例4改编)某公园有一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷 水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下(如图)，假设水流喷 出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25. (1)求喷出的水流离地面的最大高度；
解：(1)∵水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间 的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25，∴喷出的水流 离地面的最大高度为2.25 m．
(2)求喷嘴离地面的高度；
(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋2.25＝1.25，∴喷嘴离地面的高度为1.25 m．
(3)假设把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水 流不落在水池外？
(3)当y＝0时，0＝－(x－1)2＋2.25，解得x1＝－0.5(舍 去)，x2＝2.5.∴水池半径至少为2.5 m时，才能使喷出 的水流不落在水池外．
拔尖角度一 根据对称轴的位置与最值的关系求待定字母的值
15.二次函数y＝－(x－h)2＋1(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与 其对应的函数值y的最大值为0，那么h的值为( )
y＝2x2
易错点 将图象平移与坐标轴平移混淆
10.函数y＝2x2的图象是抛物线，假设抛物线不动，把x轴、y轴分别向 上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )
B A.y＝2(x－2)2＋2 B.y＝2(x＋2)2－2 C.y＝2(x－2)2－2 D.y＝2(x＋2)2＋2
11.二次函数y＝－(x－1)2＋m(m是常数)，当x分别取－1，1，2时，对应的
知识点二 抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的平移关系
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
2022九年级数学上册 第22章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质 3二次函数y=a(x-h)
(2)假设(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标.
(2)令x＝0，则y＝(0－1)2＝1，∴点D的坐标为(0，1)．由
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点一 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝1 (x－2)2的图象可能是(D )
2
A
B
C
D
2.对于函数y＝－2(x－1)2的图象，以下说法不正确的选项D 是( )
15.某抛物线和函数y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点
坐标是(－1，0)，那么此抛物线的解析式为________
______.
y＝2(x＋1)2或y＝－2(x＋1)2
考查角度一 由线段相等求抛物线的解析式
16.如图是二次函数y＝1 (x－h)2的图象，其中OA＝OC，试求该抛物线的解
A.开口向下
B.对称轴是直线x＝1
C.最大值为0
D.顶点坐标是(0，1)
3.以下有关二次函数y＝2(x＋4)2的性质，描述正确的选项D是( ) A.当x＞0时，y随x的增大而减小 B.当x＜0时，y随x的增大而增大 C.当x＞－4时，y随x的增大而减小 D.当x＜－4时，y随x的增大而减小
4.抛物线y＝－(x＋7)2的开口向____下____，对称轴为直__线__x_＝__－__7_，顶点坐标 是_(_－__7_，__0_)；当__x_<_－__7__时，y随x的增大而增大；当__x_>_－__7__时，y随x的 增大而减小；当x＝_-_7______时，函数y有最_大_____(填“最大〞或“最小〞)值.
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_2的图象和性质》教学设计
22.1.3二次函数的图像与性质（2）2=的图像和性质y-a(hx)一、教学目标1、知识与技能：能够做出函数2)a=的图像，并能y-x(h理解它与2axy=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响；能够正确说出2)y-=的开口方向、对称轴、顶点、最ax(h点、最值、增减性等性质．2、过程与方法经历探索二次函数图像的作法和性质的过程，体会知识的迁移以及数形结合的数学思想．3、情感态度与价值观在学习活动中，获得数学学习的成功体验．二、教学重难点重点：能够做出函数2)y-a=的图像，并能理解它与x(h2y=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响；能够ax正确说出2)a=的开口方向、对称轴、顶点、最点、最值、y-(hx增减性等性质．难点：能够做出函数2)a=的图像，并能理解它与y-x(h2y=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响．ax三、教学方法探索——比较——总结四、教具准备多媒体课件，几何画板 五、教学过程（一）复习旧知，引入新课1、以1212+=x y 为例，它的图像是什么，同学们能说出它的哪些性质？①图像：抛物线 ②开口方向：向上③对称轴：y 轴（直线0=x ） ④顶点：)1,0(⑤y 最值：当0=x 时，1=最小y . ⑥增减性：当0<x 时，↓↑y x .当0<x 时，↑↑y x .2、1212+=x y 可以由哪个函数如何平移而来？3、k ax y +=2是在2ax y =后面加k ，现在我们在2ax y =的x 后面加减去h ，变为2)(h x a y -=，又有怎么样的性质呢？4、板书：二次函数2)(h x a y -=的图像与性质． （二）探究活动，获取新知 1、预习作业·汇报成果作业1.在同一个直角坐标系中画出二次函数 、 、 的图像，完成表格．221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y2.观察题1中的图像及表格内容，尝试说说函数 、 、 之间的异同点. 作业2.在同一个直角坐标系中画出二次函数 、 、 的图像，完成表格．221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y 2x y =2)1(+=x y 2)1(-=x y2.观察题1中的图像及表格内容，尝试说说函数 、 、 之间的异同点. 2、思考：预习作业中的图像是如何画出来的？先找哪个点？顶点，两个再分别对称取两点． 对称轴如何确定？ 以2)1(-=x y 为例3、以 、、 为例，研究三条抛物线之间关系．几何画板演示21212121）（个单位向左平移+-=−−−−−→−-=x y x y 21212121）（个单位向右平移--=−−−−−→−-=x y x y a 不变：图像的开口方向不变，开口大小不变．h 改变：对称轴、顶点改变．h 的改变反映了函数图像的左右移动．4、猜想：对于一般形式的2)(h x a y -=，它的函数图像与性质． 几何画板演示2x y =2)1(+=x y 2)1(-=x y 221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y0<a （三）例题讲解，内化应用221x y =、2)2(21+=x y 、2)2(21-=x y 的函数图像如图所示，观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对（四）课堂小结 2)(h x a y -=的图像与性质（五）课堂练习，巩固应用 【课堂练习】 1. 填空．2.抛物线2)3(4-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线有最 点，当x = 时，y 有最 值，其值为 ．抛物线与x 轴交点坐标 ，与y 轴交点坐标 ．3.(1)由抛物线22x y =向 平移 个单位可得到2)1(2+=x y ．(2)函数2)4(5--=x y 的图象可以由抛物线 向 平移4个单位得到的．4. 已知),1(1y A -,),2(2y B -,),3(3y C 三点都在二次函数2)2(2+-=x y 的图象上，则1y ,2y ,3y 的大小关系为______．5. (1)某抛物线和22x y =的图像形状相同，开口方向相同，对称轴平行于y 轴，且顶点坐标是（1，0），则此抛物线的解析式为 ．(2)对称轴为2=x ，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点（0，3）的抛物线解析式为 ． 【思考题】如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．六、板书设计二次函数2)(hxay-=的函数图像与性质2)(hxay-=当0>a时图像>h0<h开口向上对称轴直线hx=顶点（h，0）y最值当hx=时，0=最小y21212121）（个单位向左平移+-=−−−−−→−-=x y x y 21212121）（个单位向右平移--=−−−−−→−-=x y x y七、教学反思本节课通过课前预习作业，让学生先自行探究两个特殊的二次函数图像与性质，发现规律．再通过几何画板的演示，推广到一般的形如2)(h x a y -=的二次函数的情况．特别地，提醒学生注意在图像平移的过程中，解析式的变化规律．课堂练习的设计上，分层次进行，先简单地判断图像开口、对称轴、顶点，与坐标轴的交点，再练习平移及增减性的问题，然后考虑利用待定系数法求解析式，最后是一道与几何相结合的思考题．但本节课时间分配不够合理，课堂上未涉及到思考题．。
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
13．有相同对称轴的两条抛物线的图象如图所示，则下列关系不正确的 是( C )
A.h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．(2020·兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图 象上，则k＝__3__．
15．(2020·广安)已知二次函数 y＝a(x－3)2＋c(a，c 为常数，a＜0)，当
自变量 x 分别取 5 ，0，4 时，所对应的函数值分别为 y1，y2，y3，则 y1， y2，y3 的大小关系为_y__2＜__y_3_＜__y_1____(用“＜”连接).
点坐标为(1，－5)
(3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
9．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个 单位长度，所得到的拋物线为( D )
A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
10．函数y＝3(x－1)2＋2是由函数y＝3x2的图象先向_右___平移1个单位， 再向__上__平移__2__个单位得到的．
3．抛物线 y＝－ 2 (x－5)2＋3 的开口向__下__，对称轴是直线__x_＝__5__．
4．对于抛物线y＝－(x＋1)2－3，下列结论错误的是( B ) A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(－1，－3) D．x＞1时，y随x的增大而减小
5．(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是( A )
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(课件)九年级数学上册(人教版)
（-1，0）（1，0）
3）两条抛物线的顶点分别是________
高
大
大
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值
y= 0
为_______________________________
相同
5）抛物线的增减性都______:
左侧
增大
在对称轴_____，y随x的增大而_____；
目录
复习巩固
探究新知
知识归纳
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
典例分析
针对训练
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
能力提升
归纳小结
布置作业
复习巩固
函数
图象
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
函数增减性
最值
k>0
当x＜0时，y随x的增大而减小；
a>0
向上
当x＞0时，y随x的增大而增大.
y =
|k|
ax2+k ______________个单位.
与y=ax2
的关系
向上
（k＞0）或
向下
（k＜0）平移
探究新知
探究新知
1)列表：
x
…
Hale Waihona Puke -3-2-10
1
2
3
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
y
…
8
4.5
2
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_+k的图象和性质》第1课时 课件(共22张PPT)
二次函数 =
>0
的图像和性质
<0
图像
开口方向
对称轴
顶点
<0
增减性
>0
开口大小
向上
向下
轴
轴
(0,0) (0,0) 最低点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,0) (0,0) 最高点
随 的增大而减小
随 的增大而增大
随 的增大而增大
随 的增大而减小
越大，开口越小
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
1 在同一个直角坐标系中画出 1 = 22，2 = 22 + 1，3 = 22 − 1 的图象.
1. 列表
1 =
···
2
2
2 = 22 + 1
3 =
2
2
−1
−2 −1.5 −1 −0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
(0, ) 最高点
函数性质
最值
有最小值是
有最大值是
探究二次函数 =
2
+ ≠ 0 的图像和性质
6 抛物线 = 2 + 的性质.
图像从左至右 在对称轴左侧
的变化趋势 在对称轴右侧
增减性
>0
<0
下降
上升
上升
下降
>0
<0
<0
随 的增大而减小 随 的增大而增大
人教版九年级数学上册22、1、3二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教案
二次函数y＝ax2＋k的图像性质教学设计【教学目标】知识与能力: 1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象,掌握它的图象特征，并会总结它的性质。
2、理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的的图像和性质的异同，能用平移的方法解决图象间关系。
过程与方法：经历操作、研究、归纳和总结二次函数y＝ax2＋k的图像性质及它与函数y＝ax2的关系，让学生进一步体尝试去发现二次函数的图象特征；体会其性质；渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。
2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。
【教学重难点】教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k 的图象性质。
教学难点：理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的之间的位置关系【教法学法分析】数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，将紧紧围绕教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动。
为此设计了4个环节：（一）复习回顾——引入新课；（二）自主探究，合作交流——发现规律；（三）当堂训练——检查自我。
（四）课堂小结——深化巩固；这四个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动了学生的参与性。
【教学过程】（一）复习回顾，引入新课回顾二次函数y＝ax2的图象和性质设计意图：此环节通过对前一节所学内容的复习，让学生回忆如何根据函数关系式的特征，判定函数y=ax2的图像特征，为进一步探索y=ax2+k的图像特征作铺垫，从而引入本节新课。
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 教案 2022-2023学年人教版九年级数学上册
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）^2的图象和性质教案一、教学目标本节课我们将学习二次函数y＝a（x－h）^2的图象和性质，包括： - 掌握二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点等特点的关系； - 能够通过二次函数的图象分析确定函数的零点与极值； - 能够应用二次函数的图象与性质解决实际问题。
二、教学内容1.二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系；2.二次函数的零点与极值的判断与求解；3.应用二次函数图象与性质解决实际问题。
三、教学重点1.掌握二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系；2.能够通过二次函数的图象分析确定函数的零点与极值。
四、教学步骤步骤一：复习二次函数的定义和基本性质•复习二次函数的定义：y＝a（x－ℎ）2，其中a、h均为常数，a≠0；•复习二次函数的对称轴与顶点的概念和求解方法；•复习二次函数的开口方向和对称性。
步骤二：讲解二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系1.首先，通过改变a的值观察图象的变化，引导学生观察a的变化对图象的影响；2.探讨当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下；3.引导学生思考，当a变化时，对称轴和顶点的位置是否发生变化，通过实际计算验证结论；4.引导学生总结二次函数y＝a（x－h）^2的图象与对称轴、顶点的关系。
步骤三：讲解二次函数的零点与极值的判断与求解1.引导学生回顾一元二次方程的求解方法，通过解方程y＝a（x－ℎ）2＝0得出零点的概念；2.讲解求解零点时利用一元二次方程求根公式，引导学生完成练习题；3.引导学生思考，当a的值变化时，零点的位置如何变化，通过实际计算验证结论；4.引导学生回顾关于函数极值的概念，讲解求解极值的方法，引导学生完成练习题；5.引导学生思考，当a的值变化时，极值的位置如何变化，通过实际计算验证结论。
步骤四：应用二次函数图象与性质解决实际问题1.给出一些实际问题，如抛物线的高度求解、拱桥的设计等，引导学生利用二次函数的图象与性质解决；2.让学生分组进行讨论和解答，培养学生的团队合作和解决问题的能力；3.每组选择一种实际问题进行展示，并进行讨论。
22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 初中数学人教版九年级上册教学课件
yO －2
－2 －4 －6
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
直线x＝－1 (－1，0) 直线x＝0 (0，0) 直线x＝1 (1，0)
2 4x
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
探究二
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
2
2
对称轴和顶点．
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5
－8
···
y 1 x 12
2
·ห้องสมุดไป่ตู้· －8 －4.5
－2
1 2
0
1 2
－2 ···
探究二
描点、连线，画出这两个 函数的图象．
－4
y 1 x 12
2
2
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 2
0
1 2
2
9
2
···
y 1 ( x 2)2 2
···
25 2
8
9 2
2
1 2
0
1 2 ···
探究一
描点、连线，画出这两 个函数的图象．
y x2 6 5 4 3 2 1
y 1 x2 2
y 1 ( x 2)2
若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点为A(－3 2，y1)，B(－1，y2)， C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为__y_2_＜__y_3＜__y_1__．
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同： 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_， 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
人教版九年级数学上册教案：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y=a(x-h)²+k的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数图像和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.学会通过观察图像，判断二次函数的系数a、h、k的取值对图像的影响；
4.能够运用顶点式解析式绘制二次函数图像，并解决实际问题。
具体内容包括：
-二次函数y=a(x-h)²+k的图像绘制方法；
-二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴；
-二次函数图像与x轴、y轴的交点；
-通过图像分析a、h、k对二次函数图像的影响。
最后，在总结回顾环节，学生对今天所学的内容有了较为全面的认识。但在课后，我还需要关注学生对知识点的掌握程度，及时解答他们的疑问，确保他们能够熟练运用所学知识。
在新课讲授过程中，我也发现学生在案例分析环节表现得较为积极，能够主动思考问题。这说明将理论知识与实际应用相结合的教学方法对学生具有很大的吸引力。因此，在以后的教学中，我应更多地采用这种教学方法，让学生在实际问题中感受数学的魅力。
此外，实践活动和小组讨论环节也取得了较好的效果。学生能够积极参与讨论，提出自己的观点，并在实验操作中加深对二次函数图像和性质的理解。但我也注意到，部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，鼓励他们独立思考，提高解决问题的能力。
人教版初三数学上册23.1二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.1.3《二次函数ya(x-h)^2+k的图象和性质》
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=
－
3 4
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
C(3,0)
O 123 x
当x=0时, y=2.25
∴水管长应为2.25m.
1 2
巩固练习
2.1标抛按是下物列线要y=。求–当求3(出xx=+二1次)²–函2时有数，的最解y的析式最：点，顶值点是坐
已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）,求该
练习
1.说出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点： (课本37页)
（1）y= 2(x+3)²+5
（2）y= –3(x–1)²–2
（3）y= 4(x–3)²+7 （4）y= –5(x+2)²–6
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一
根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线
形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度
同，位置不同．把抛物线 y = ax 2向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线 y =a（x - h）2 +k ．平移的方向、 距离要根据 h，k 的值来决定．
归纳总结
抛物线 y =a（x - h）2 +k 有如下特点： （1）当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口 向下． （2）对称轴为直线 x = h． （3）顶点坐标（h，k）． 如果 a＞0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x ＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的 增大而减小．
y 1 x2 1 2
-3 -4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y=a（x-h)2的图象
执教 晏德淑
1.画图：在同一坐标系中画出二次函数 y 1 x 2 ，
2
y 1 (x 1)2 ，y 1 (x 1)2 的图象.
2
2
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 1 x2 2
…
9 -2 1 0 1 -2 9
从列表中看，点的坐
-3 -4
标是否具有这种平移关 系？
-5 -6
y 1(x1)2
y 1(x1)2
-7 -8
2 y 1 x2
-9
2
2
-10
例题：
已知二次函数
（1）把抛物线
y ，(x 请 1回)2答下列问题：
2
y 经过x 2 怎样平移得到抛物
线 y (x ?1 )2
2
2
2
2
…
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
9 -2 1 0 1 -2 9
2
2
2
2
9 2
-2 1
2
0 1
2
-2 9 9
22
再描点画图.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 1 x2 2
…
9 -2 1 0 1 -2 9
2
（2）说出这条抛物线的开口方向、对称轴及顶点.
（1）向左平移
1 2
个单位.
（2）开口方向：向下；对称轴：直线x= 点（ ， 10）.
2
；12 顶
填空：
（1）抛物线 y 2(可x以1)由2 抛物线
向 y 2x2
左 平移1个单位得到.
（2）抛物线 y 23可(x以 4由)2抛物线
2
2
2
2
…
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 2
9 -2 1 0 1 -2 9
2
2
2
2
9 -2 1 0 1 -2 9 9
2
2
2
22
从图象上看，这三条
y 1
抛物线能否经过相互的平 移得到？怎样平移？
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
向右y 平移23 x 2
个单位得4到.
（3）已知二次函数 y 13，(x说 2出)2 函数图象的对
称轴和顶点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对称轴为直线x=2，顶点（2,0）
书P41 习题22.1：5（2）
再见！