初中数学二次函数解析

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九年级二次函数全部知识点

九年级二次函数全部知识点

九年级二次函数全部知识点二次函数是数学中的一种重要的函数类型,它在实际生活中有着广泛的应用。

九年级是初中阶段的最后一年,二次函数是九年级数学的重要内容之一。

本文将介绍九年级二次函数的全部知识点,包括定义、图像、性质、解析式等,希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数,其中a、b、c是常数,并且a ≠ 0。

二次函数中的自变量x是实数,函数值f(x)也是实数。

二次函数的定义域是所有实数集合。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线,对称轴是垂直于x轴的一条直线。

当a > 0时,抛物线开口朝上;当a < 0时,抛物线开口朝下。

三、二次函数的顶点及最值二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点,其坐标为(h,k),其中h是对称轴的横坐标,k是对称轴与抛物线的交点的纵坐标。

当a > 0时,k为函数的最小值;当a < 0时,k为函数的最大值。

四、二次函数的对称性二次函数的图像关于对称轴是对称的,即对称轴两侧的点关于对称轴上的点有对应关系。

这个对称性质使得我们可以通过观察对称轴两侧的点来了解抛物线的整体形态。

五、二次函数的零点二次函数的零点就是使得函数值等于零的横坐标。

要求二次函数的零点,可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

六、二次函数和一次函数的关系一次函数是二次函数的特例,当a = 0时,二次函数就变成一次函数。

因此,可以说二次函数是一次函数的推广,二次函数的图像也可以视为一次函数图像的变形。

七、二次函数的解析式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c,其中a、b、c是常数。

根据二次函数的性质,可以通过零点、顶点等信息来确定二次函数的解析式。

八、二次函数的平移和压缩二次函数的平移可以通过改变解析式中的常数来实现,例如改变c可以实现平移,改变a和b可以实现压缩或拉伸。

初中数学二次函数知识点全面梳理

初中数学二次函数知识点全面梳理

初中数学二次函数知识点全面梳理二次函数是中学数学中比较重要的概念之一,它是一种关于自变量的二次多项式函数。

在初中阶段,学生需要通过系统学习来掌握二次函数的各种知识点。

本文将对初中数学二次函数的基本定义、图像特征、性质以及解题方法进行全面梳理。

一、基本定义二次函数的基本定义是:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是常数且a ≠ 0。

其中,a决定了二次函数的开口方向和开口大小,b决定了二次函数的对称轴位置,c决定了二次函数的纵坐标偏移量。

二、图像特征1. 开口方向和开口大小:- 当a > 0时,二次函数的图像开口向上,称之为“凹”型;- 当a < 0时,二次函数的图像开口向下,称之为“凸”型。

同时,a的绝对值越大,开口越大;a的绝对值越小,开口越小。

2. 对称轴:二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线,可通过以下公式求得:x = -b / (2a)。

3. 顶点坐标:二次函数的顶点坐标可以通过对称轴的x坐标带入函数得到: ( -b / (2a), f(-b / (2a)) )。

其中,f(-b / (2a))表示将(-b / (2a))带入函数得到的纵坐标值,即为顶点的纵坐标。

4. 零点:零点是指二次函数与x轴相交的点,可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

零点的个数与二次方程的判别式有关: - 当判别式D = b^2 - 4ac > 0时,二次函数与x轴有两个交点,即有两个零点;- 当判别式D = b^2 - 4ac = 0时,二次函数与x轴有一个交点,即有一个零点;- 当判别式D = b^2 - 4ac < 0时,二次函数与x轴没有交点,即没有零点。

三、性质1. 对称性:二次函数关于对称轴具有对称性,即对称轴上任意一点的函数值与对称轴两侧对应点的函数值相等。

2. 最值:当二次函数开口向上时,函数的最小值为顶点的纵坐标;当二次函数开口向下时,函数的最大值为顶点的纵坐标。

初中数学-二次函数的解析式

初中数学-二次函数的解析式

∴a(2-1)2-2=3,得:a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注:此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点:A(-1,2),B(0,1), C(2,-7),求二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为: y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得: 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C(1,2)
注:此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点(0,- 2 )
和x 轴的一个交点(-1,0),对称轴是x =1. (1)求图象是这条抛物线的二次函数的解析式; (2)判断这个二次函数是有最大值还是有最小值, 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式:AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度

6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 = 2 =-2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程: a(x-x1)(x-x2)=0的两个 根,即抛物线与x的两个交点的横坐标,

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数,其一般形式为f(x) = ax² + bx + c,其中a、b和c为常数,且a 不等于0。

在这个函数中,x是自变量,f(x)是因变量,a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。

2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线,其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。

当a大于0时,抛物线开口朝上;当a小于0时,抛物线开口朝下。

另外,二次函数的图像还有一个顶点,可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。

3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质,其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。

具体来说,可以通过求出二次函数的导数,然后令导数等于0来求得函数的极值点。

另外,二次函数还有一个重要的特点,就是它的图像是对称的。

具体来说,二次函数的图像关于顶点对称。

4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c,也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k,其中(h, k)为顶点的坐标。

通过解析式,可以方便地求得二次函数的相关性质,比如顶点坐标、根的个数和方向等。

5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。

事实上,二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。

二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。

而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。

6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

比如,物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。

另外,二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律,比如描绘人口增长、销售额变化等。

以上就是初中数学二次函数的知识点总结,希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。

初中二次函数知识点

初中二次函数知识点

初中二次函数知识点二次函数是数学中非常重要的一种函数形式,也是初中数学学习的一个重要知识点。

本文将为大家详细介绍二次函数的相关概念、性质和应用。

一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y=ax²+bx+c (其中a、b、c为常数,且a≠0)的函数。

其中x为自变量,y为因变量。

二次函数的一般形式表达了一个二次函数的特征:由一个二次幂项、一个一次项和一个常数项构成。

其中,二次幂项的系数a决定了函数的开口方向、形状和平移等属性;一次项的系数b决定了函数的位置和方向性;常数项c则决定了函数的纵向平移。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向当二次函数的二次幂项系数a大于0时,函数的图像开口向上,形状类似于一个“U”字形,称为正向的。

当二次幂项系数a小于0时,函数的图像开口向下,形状类似于倒置的“U”字形,称为反向的。

2. 顶点二次函数的顶点是图像的最低或最高点,其横坐标为-b/2b。

顶点的纵坐标则根据二次函数的形状而定,当a>0时为最小值,当a<0时为最大值。

3. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线,经过顶点。

对称轴的方程为x=-b/2a。

4. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点,即满足函数值为0的x值。

求解零点可以通过关于x的二次方程的解得到。

5. 范围和值域二次函数的范围取决于开口方向,当a>0时,范围是y≥最小值;当a<0时,范围是y≤最大值。

值域则为最小值到正无穷或最大值到负无穷的闭区间。

三、二次函数的常见变形1. 常数项的变形在二次函数的一般形式中,常数项c可以使函数图像上下平移,比如y=ax²+bx+c+3,就是原函数图像向上平移3个单位。

2. 一次项的变形一次项的系数b决定了函数图像的斜率和位置。

如果b>0,则图像向右倾斜;如果b<0,则图像向左倾斜。

3. 二次幂项的变形二次幂项的系数a决定了函数图像的开口方向和形状。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数,其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是抛物线,开口向上或向下,其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

二、二次函数的性质1. 开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

2. 对称轴:二次函数的对称轴为x=-b/2a。

3. 最值:当a>0时,二次函数的最值为最小值,为c-b²/4a;当a<0时,二次函数的最值为最大值,为c-b²/4a。

4. 零点:二次函数的零点为x轴与函数图像的交点,是方程ax²+bx+c=0的解。

三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线,最值为最小值。

2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线,最值为最大值。

四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移:y=ax²+bx+c中,整体向左平移h个单位,变为y=a(x+h)²+bx+c;整体向下平移k个单位,变为y=a(x)²+bx+(c-k)。

2. 二次函数的垂直缩放:y=ax²+bx+c中,整体向上缩放k倍,变为y=(ak)x²+bx+c。

3. 二次函数的水平缩放:y=ax²+bx+c中,整体水平缩放k倍,变为y=ax²+(bk)x+c。

五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点:利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。

2. 求二次函数的最值:通过对称轴和顶点坐标的关系,可以求得二次函数的最值。

3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点:将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。

六、二次函数的应用1. 生活中的应用:抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。

2. 数学解题中的应用:解方程、求最值、求零点等。

初中数学中的二次函数

初中数学中的二次函数

二次函数:了解它的定义、性质和应用在初中数学中,我们学习了很多关于函数的知识。

其中,二次函数是一种非常常见的函数形式,被广泛应用于各个领域,例如经济学、物理学等。

本文将为您详细介绍二次函数的定义、性质和应用。

1. 什么是二次函数?二次函数是指形如$y=ax^2+bx+c$ 的函数,其中$a,b,c$ 都是实数且$a\neq0$。

其中,$a$ 控制着二次函数的开口方向和大小,$b$ 控制着二次函数的平移位置,$c$ 则是二次函数的纵截距。

2. 二次函数的性质(1)对称性二次函数的图像关于其顶点对称。

当$a>0$ 时,二次函数开口朝上,顶点为最小值点;当$a<0$ 时,二次函数开口朝下,顶点为最大值点。

(2)零点二次函数的零点是指函数图像与 $x$ 轴相交的点。

当 $b^2-4ac>0$ 时,二次函数有两个不同的实根;当$b^2-4ac=0$ 时,二次函数有一个重根;当$b^2-4ac<0$ 时,二次函数没有实根。

(3)最值当 $a>0$ 时,二次函数的最小值等于其顶点的纵坐标;当 $a<0$ 时,二次函数的最大值等于其顶点的纵坐标。

3. 二次函数的应用(1)物理学在物理学中,二次函数常被用于描述抛物线运动。

例如,一个运动物体在重力作用下的运动轨迹就可以用二次函数来表示。

(2)经济学在经济学中,二次函数常被用于分析成本和收益之间的关系。

例如,一家企业的生产成本可以用二次函数来表示,通过求导可以得到该企业的最优生产量。

(3)统计学在统计学中,二次函数常被用于拟合散点图。

例如,通过将散点图拟合成二次函数,可以预测出未来的趋势和表现。

总结在本文中,我们详细介绍了二次函数的定义、性质和应用。

二次函数在数学和其他学科中都有着广泛的应用,是我们必须掌握的一种函数形式。

希望本文对您学习二次函数有所帮助。

初中数学二次函数知识点全面总结

初中数学二次函数知识点全面总结

初中数学二次函数知识点全面总结二次函数是初中数学的一个重要知识点,掌握了二次函数的相关内容,对于学生的数学学习会有很大帮助。

本文将从定义、图像、性质、解析式和应用等方面进行全面总结。

1. 定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数,其中a、b、c为常数且a≠0。

其中,a决定了函数的开口方向和形状,b决定了函数的位置,c决定了函数的位置和平移。

2. 图像二次函数的图像通常是抛物线形状。

开口方向由a的正负确定,正数表示开口向上,负数表示开口向下。

当a的值接近0时,图像接近于直线。

b和c的值会产生平移和移动图像的作用。

3. 性质(1) 零点:二次函数的零点即为函数与x轴相交的点,也就是方程f(x) = 0的解。

(2) 顶点:二次函数的顶点是图像的最高点(开口向上)或最低点(开口向下)。

(3) 对称轴:二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线。

(4) 单调性:二次函数的单调性与a的正负有关,当a>0时,函数单调递增;当a<0时,函数单调递减。

(5) 极值:当二次函数开口向上时,函数取得最小值;当二次函数开口向下时,函数取得最大值。

4. 解析式二次函数的通用解析式为f(x) = ax²+ bx + c,其中a、b、c为常数。

二次函数的解析式可以通过给定的条件或图像特征进行求解,例如已知顶点坐标和另一点的坐标等。

5. 应用(1) 抛物线的轨迹问题:二次函数的图像可以用于描述物体的抛体运动轨迹。

例如,抛出的物体在重力作用下的运动可以用二次函数来描述。

(2) 面积和体积问题:很多面积和体积问题都可以建立二次函数方程来求解。

例如,长方形的面积最大、圆锥的体积等题目。

(3) 优化问题:二次函数在优化问题中有广泛应用。

例如,给定一定长度的线段,求其所能围成的最大面积等。

通过对初中数学二次函数的全面总结,我们可以更好地理解和掌握二次函数的相关知识点。

掌握了这些知识,能够帮助我们更好地解决数学问题,同时也为将来更高层次的数学学习打下坚实的基础。

初中数学知识点总结二次函数

初中数学知识点总结二次函数

初中数学知识点总结二次函数
一、二次函数的定义
二次函数是最基本的二次多项式函数,它属于多项式函数的一种,它
的定义为:
二次函数:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。

二、二次函数的一般式
二次函数的一般式为:ax2+bx+c(a≠0),从而可以知道,它由三个
系数a,b,c组成,它由于保持不变的性质,所以对于它的参数,a,b,
c都是可以任意取值的,即a,b,c都可以取任意实数。

三、二次函数的图像
根据上述一般式,二次函数一般都会把它的图像想象成一个平滑的抛
物线图形,又称双曲线,这样的抛物线有三个特殊点:拐点,根点,中点。

1.拐点
对于图形来说,拐点就是一个折点,而二次函数中的拐点则是指函数
图像在特定点的一次导数变种符号,这就是二次函数很重要的特征,即函
数图像的拐点。

2.根点
根点是一种更特殊的拐点,即二次函数的一般式中当x=κ时,函数
值y=0,这时,它成为了一个函数的根点,即出现了函数的等式,它的特
殊性体现在它刚好相等。

3.中点
在二次函数中,中点指的是拐点和根点的中点,这一点其实十分重要,在不同的情况下,中点的位置会发生变化,有时候也会出现二次函数的准
确位置,这就需要我们根据情况来判断了。

初中数学二次函数的知识点

初中数学二次函数的知识点

初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念,它在初中数学中经常会出现,掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。

下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。

一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义:二次函数是指自变量的二次函数关系,可以表示成f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的形式,其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。

2.二次函数的图像特征:a)平移到抛物线的顶点和开口方向:当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时,顶点为(h,k)。

b)对称性:二次函数关于直线x=h对称。

c)开口情况:当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。

d)零点:即方程f(x)=0的解,可以通过因式分解、配方法等求得。

e) 判别式:Δ=b²-4ac,当Δ>0时,方程f(x)=0有两个实数解;当Δ=0时,方程f(x)=0有两个相等的实数解;当Δ<0时,方程f(x)=0无实数解。

二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响:a决定了二次函数开口的方向,即a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

当a的绝对值越大时,开口越窄。

2.h的大小对图像的影响:h决定了二次函数图像的平移。

当h>0时,图像在x轴正方向平移;当h<0时,图像在x轴负方向平移。

当,h,越大时,平移的距离越大。

3.k的大小对图像的影响:k决定了二次函数图像的平移。

当k>0时,图像在y轴正方向平移;当k<0时,图像在y轴负方向平移。

当,k,越大时,平移的距离越大。

三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解:二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。

可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。

2.二次方程与二次函数图像的交点:二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点,即二次函数的零点。

初中数学二次函数最全知识点总结

初中数学二次函数最全知识点总结

初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一,掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。

以下是二次函数的最全知识点总结:一、基本概念1.函数:函数是一种特殊的关系,它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。

2. 二次函数:二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数,其中a、b、c为常数,a ≠ 0。

二、图像和性质1.基本图像:二次函数的基本图像是抛物线,开口方向由常数a的正负决定。

2. 零点:二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解,可以用求根公式或配方法求出。

3.对称轴:二次函数的对称轴是抛物线的轴线,其方程为x=-b/(2a)。

4.最值:二次函数的最值可以通过对称轴得到,最值为抛物线的顶点。

5.单调性:当抛物线开口向上时,二次函数是增函数;开口向下时,二次函数是减函数。

6.平移:二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。

三、二次函数的解析式1. 标准形式:当a = 1时,二次函数的标准形式是y = x² + px + q。

2.顶点式:二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k,其中(h,k)为顶点的坐标。

3. 一般形式:二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c,实际问题中常用。

四、二次函数的变形1. 增长量:二次函数y = ax² + bx + c中,增长量即为b。

2.曲线方向:二次函数的曲线方向由a的正负决定,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

3.平移:二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。

4.翻折:二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折,得到新的图像。

五、二次函数的性质1.零点性质:二次函数的零点个数最多为2个。

2.对称性质:二次函数关于对称轴具有对称性。

3.成立范围:二次函数在全体实数范围内都成立。

二次函数的解析式

二次函数的解析式

二次函数的解析式二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它是数学中的重要内容,在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的解析式的含义、性质及应用。

一、解析式的含义二次函数的解析式是指其函数表达式,即y = ax^2 + bx + c。

其中,a、b、c是常数,而x是自变量。

二次函数的解析式可以帮助我们确定函数的图像、求解方程、计算函数的性质等。

二、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线。

当a > 0时,抛物线开口向上;当a < 0时,抛物线开口向下。

b、c的值会影响函数图像的位置和形状,b 决定了抛物线的对称轴位置,c决定了抛物线与y轴的交点。

2. 零点二次函数的解析式中,y=0对应的x的值即为二次函数的零点。

我们可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求解零点。

当Δ(判别式)=b^2 - 4ac > 0时,二次方程有两个不同的实根;当Δ = 0时,二次方程有两个相同的实根;当Δ < 0时,二次方程没有实根。

3. 极值点当a > 0时,二次函数的最小值为f(-b/2a);当a < 0时,二次函数的最大值为f(-b/2a)。

这个点也被称为函数的顶点。

通过求解二次函数的极值点,我们可以进一步确定函数图像的形状。

4. 对称性二次函数的图像具有轴对称性,其对称轴为x = -b/2a。

这意味着函数图像关于对称轴对称。

这个性质在讨论二次函数的图像时非常重要。

三、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景:1. 物体运动的抛物线轨迹在物理学中,抛体运动的轨迹是一个抛物线。

通过分析抛体运动的初速度、角度和位移等参数,可以建立物体运动的二次函数模型,从而求出对象的运动轨迹。

2. 经济学中的成本函数在经济学中,成本函数用来描述企业的生产成本。

二次函数可以用来建立成本函数模型,分析生产成本与产量之间的关系,从而帮助企业进行经济决策。

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结二次函数是中学数学中重要的内容,它是一种常见的数学模型,可以描述许多自然现象和现实问题。

二次函数的图像是一条抛物线,具有许多独特的性质和特点。

学习二次函数不仅可以增强学生的抽象思维能力,还可以帮助他们更好地理解数学的应用。

1. 二次函数的定义二次函数是指关于自变量的二次多项式函数,一般表示为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数且a不等于零。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线,其开口方向取决于a的正负。

2. 二次函数的标准形式二次函数可以化为标准形式f(x) = a(x - h)^2 + k,其中(h,k)为抛物线的顶点坐标,a为抛物线的开口方向和大小。

3. 二次函数的性质(1)抛物线开口方向:当a大于零时,抛物线开口向上;当a小于零时,抛物线开口向下。

(2)抛物线的对称轴:二次函数的对称轴是通过抛物线顶点的竖直线。

(3)抛物线的顶点:抛物线的顶点坐标为(h, k),其中h为对称轴的横坐标,k为抛物线的最小值或最大值。

(4)抛物线的焦点和直径:抛物线的焦点是对称轴上的一点,与抛物线的顶点距离相等,而且与抛物线的轴垂直;抛物线的直径是经过焦点的直线,与抛物线的轴平行。

(5)抛物线的零点:二次函数的零点就是方程ax^2 + bx + c = 0的根,也就是函数与x轴相交的点。

(6)抛物线的导数:二次函数的导数f'(x) = 2ax + b,描述了抛物线在不同点的斜率,可以帮助分析函数的增减性和极值点。

4. 二次函数图像的性质二次函数的图像是一条平滑的曲线,具有一些特定的性质:(1)开口方向和大小:通过a的正负可以判断抛物线的开口方向和大小,a的绝对值越大,抛物线的开口越大。

(2)最值点:对于开口向上的抛物线,最小值点就是抛物线的顶点;对于开口向下的抛物线,最大值点也是抛物线的顶点。

(3)对称性:抛物线具有轴对称性,也就是通过顶点的直线将抛物线分成两个对称的部分。

初中数学二次函数知识点整理

初中数学二次函数知识点整理

初中数学二次函数知识点整理二次函数是初中数学中的重要知识点之一。

本文将从定义、图像、性质和应用等几个方面来整理和讲解初中数学的二次函数知识点。

一、定义二次函数是形如y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。

其中,a、b、c 均为实数,a 称为二次项系数,b 称为一次项系数,c 称为常数项,x 为自变量,y 为因变量。

二、图像1. 平移:二次函数的图像沿着 y 轴或 x 轴平移。

2. 对称轴:二次函数的图像关于某条直线对称,这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴的方程可以通过求出顶点的横坐标得到。

3. 开口方向:二次函数开口向上或向下。

开口向上的二次函数对应的二次项系数 a 大于 0,开口向下的二次函数对应的二次项系数 a 小于 0。

4. 顶点:二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。

顶点的纵坐标即为函数的最值。

三、性质1. 轴对称性:二次函数关于对称轴有轴对称性。

2. 最值性:开口向上的二次函数的顶点是最小值,开口向下的二次函数的顶点是最大值。

3. 零点性:二次函数的零点即为方程 y = 0 的解,可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 得到。

如果判别式(b² - 4ac)大于 0,则有两个不相等的实数根;如果判别式等于 0,则有两个相等的实数根;如果判别式小于 0,则无实数根。

4. 单调性:开口向上的二次函数在顶点左侧是单调递减的,右侧是单调递增的;开口向下的二次函数在顶点左侧是单调递增的,右侧是单调递减的。

四、应用二次函数的应用非常广泛,涉及到物理、经济、工程等各个领域。

以下是一些常见的应用案例:1. 抛物线轨迹:当抛出物体的运动轨迹为抛物线时,可以使用二次函数描述。

例如,炮弹飞行轨迹、跳水运动员的动作等等。

2. 弹性系数:弹性系数是描述弹簧变形程度的物理量,可以使用二次函数来描述。

3. 优惠券面值:商家发放的优惠券面值有时候会采用二次函数的形式,通过调整参数来达到不同的优惠程度。

二次函数知识点总结初中数学

二次函数知识点总结初中数学

二次函数知识点总结初中数学二次函数是数学中一个重要的概念,也是初中数学中常见的一种函数形式。

下面将对初中数学中关于二次函数的知识点进行总结。

一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义:二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数,其中 a、b、c 是常数,且a ≠ 0。

2.二次函数的图像:二次函数的图像是抛物线,开口方向由a的正负性决定。

当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

3.二次函数的顶点:二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

顶点是抛物线的最低点(当a>0)或最高点(当a<0)。

4.二次函数的对称轴:二次函数的图像的对称轴是与x轴平行的一条直线,其方程为x=-b/2a。

5. 二次函数的零点:二次函数的零点是使得 f(x) = 0 的 x 值。

可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根来求得零点。

二、二次函数的图像特点1.二次函数的开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

2.二次函数的最值:当a>0时,函数的最小值为顶点的纵坐标;当a<0时,函数的最大值为顶点的纵坐标。

3.二次函数的单调性:当a>0时,函数在顶点左右两侧单调递增;当a<0时,函数在顶点左右两侧单调递减。

三、二次函数的表示方式和基本性质1.二次函数的顶点式:二次函数可以表示为f(x)=a(x-h)^2+k的形式,其中(h,k)是顶点的坐标。

2. 二次函数的一般式:二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。

3. 二次函数的零点:对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,零点可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 而得到。

4. 二次函数的轴对称性:对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,其图像关于直线 x = -b/2a 对称。

初中数学考点:二次函数易错点讲解

初中数学考点:二次函数易错点讲解

数学考点:二次函数1.二次函数在数学中,二次函数最高次必须为二次,二次函数表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)的多项式函数。

二次函数的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。

二次函数表达式y=ax²+bx+c的定义是一个二次多项式,因为x的最高次数是2。

如果令二次函数的值等于零,则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

2.二次函数的图象3.二次函数主要特点(1)二次函数图像与X轴交点的情况当△=b²-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。

当△=b²-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。

当△=b²-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。

(2)二次函数图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

1.如何学习二次函数(1)二次函数对比一次函数学习。

(2)掌握重点。

(3)多做题.熟练度高一些自然简单了。

(4)要举一反三.延伸更多做题技巧。

2.二次函数知识要点(1)要理解函数的意义。

(2)要记住函数的几个表达形式,注意区分。

(3)一般式,顶点式,交点式,等,区分对称轴,顶点,图像,y随着x的增大而减小(增大)等的差异性。

(4)联系实际对函数图像的理解。

(5)计算时,看图像时切记取值范围。

(6)随图像理解数字的变化而变化。

二次函数考点及例题二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。

因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现,而且综合性很强,一般会综合四边形.三角形.一次函数出现。

3.误区提醒(1)对二次函数概念理解有误,漏掉二次项系数不为0这一限制条件;(2)对二次函数图象和性质存在思维误区;(3)忽略二次函数自变量取值范围;(4)平移抛物线时,弄反方向;(5)二次函数既不是正比例函数也不是反比例函数.1.二次函数的一般式:y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b²)/4a]把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

初中二次函数知识点

初中二次函数知识点

初中二次函数知识点二次函数是高中数学中的一个重要内容,也是初中数学的基础。

掌握了二次函数的知识,对于学习高中数学和解决实际问题都有很大的帮助。

下面我将详细介绍一下初中阶段二次函数的知识点。

一、二次函数的定义及特点二次函数是形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数,其中a、b、c为常数,a决定了抛物线的开口方向,b决定了抛物线的位置和宽度,c决定了抛物线与y轴的交点。

1.函数图像的对称性:二次函数的图像关于x轴对称,即对于函数y=ax^2+bx+c的图像,若(x, y)在图像上,则点(x, -y)也在图像上。

2.零点:二次函数的零点就是函数的根,即方程ax^2+bx+c=0的解。

3.顶点:二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点,顶点坐标可以通过顶点公式求得:x=-\frac{b}{2a}, y= -\frac{b^2}{4a}+c。

二、二次函数的图像1.抛物线开口方向:二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定。

若a>0,则抛物线开口向上,若a<0,则抛物线开口向下。

2.抛物线的位置和宽度:二次函数的图像的位置和宽度主要由一次项的系数b决定。

若b>0,则抛物线向左移动,若b<0,则抛物线向右移动。

抛物线的宽度与1除以a的绝对值有关,即抛物线的宽度取决于平方项的系数a。

3.抛物线与坐标轴的交点:若二次函数的图像与x轴有交点,则称该二次函数有实根;若图像与x轴没有交点,则称该二次函数无实根。

实根的个数由判别式D=b^2-4ac的值决定。

4.抛物线的对称轴:二次函数的图像的对称轴和顶点有关。

对称轴即为经过顶点的直线,它的方程为x=-\frac{b}{2a}。

三、二次函数的性质1.单调性:当a>0时,二次函数是开口向上的抛物线,函数的值随着自变量的增大而增大;当a<0时,二次函数是开口向下的抛物线,函数的值随着自变量的增大而减小。

2.最值:二次函数的最大值或最小值就是顶点的纵坐标,其中a>0时为最小值,a<0时为最大值。

初中二次函数知识点

初中二次函数知识点

初中二次函数知识点初中阶段,学生开始接触二次函数的概念和性质。

二次函数是解析几何中的重要内容,它是数学中的一个分支,学好二次函数对于学习高中的数学内容也是非常重要的。

本篇文章将从二次函数的定义、图像、性质等多个方面来介绍二次函数的相关知识点。

一、二次函数的定义与表示二次函数是一种形如y=ax²+bx+c(其中a≠0)的函数,其中x是自变量,y是函数的值。

其中a、b、c是常数,a称为二次函数的“二次系数”,b称为“一次系数”,c称为“常数项”。

二次函数的定义域是一切实数。

二次函数的图像是一条平滑的曲线,也叫做抛物线。

二次函数的图像的形状与二次系数a有关,当a>0时,图像开口朝上,称为正抛物线;当a<0时,图像开口朝下,称为负抛物线。

二、二次函数的图像1. 平移:对于二次函数y=ax²+bx+c,如果将x平移h个单位,就可以得到函数y=a(x-h)²+b(x-h)+c。

这个公式表示了二次函数的平移。

平移能够影响图像的位置,但不会改变图像的形状。

2. 纵向伸缩:对于二次函数y=ax²+bx+c,如果令y=k(ax²+bx+c),其中k是一个正常数,就可以得到函数y=kax²+kbx+kc。

这个公式表示了二次函数的纵向伸缩。

当k>1时,函数的图像会被纵向拉伸;当03. 横向伸缩:对于二次函数y=ax²+bx+c,如果令y=(1/a)(ax²+bx+c),其中a≠0,就可以得到函数y=((1/a)x²+(b/a)x+(c/a))。

这个公式表示了二次函数的横向伸缩。

当,a,>1时,函数的图像会被横向压缩;当04. 指标形式:二次函数y=ax²+bx+c还可以写成指标形式y=a(x-h)²+k,其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

指标形式能够更方便地表示二次函数的平移和伸缩。

三、二次函数的性质1.对称性:任意一个二次函数关于抛物线的顶点对称。

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初中数学二次函数解析一、选择题1.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线92t=;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】【详解】解:由题意,抛物线的解析式为y=ax(x﹣9),把(1,8)代入可得a=﹣1,∴y=﹣t2+9t=﹣(t﹣4.5)2+20.25,∴足球距离地面的最大高度为20.25m,故①错误,∴抛物线的对称轴t=4.5,故②正确,∵t=9时,y=0,∴足球被踢出9s时落地,故③正确,∵t=1.5时,y=11.25,故④错误,∴正确的有②③,故选B.2.抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t=0(t为实数)在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.-12<t≤3B.-12<t<4 C.-12<t≤4D.-12<t<3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=-x2−2x+3,将一元二次方程-x2+bx+3−t=0的实数根看做是y=-x2−2x+3与函数y=t的交点,再由﹣2<x<3确定y的取值范围即可求解.【详解】解:∵y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1,∴b=−2,∴y=-x2−2x+3,∴一元二次方程-x 2+bx +3−t =0的实数根可以看做是y =-x 2−2x +3与函数y =t 的交点,∵当x =−1时,y =4;当x =3时,y =-12,∴函数y =-x 2−2x +3在﹣2<x <3的范围内-12<y≤4,∴-12<t≤4,故选:C .【点睛】本题考查二次函数的图象及性质,能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键.3.要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++,下列平移方法正确的是( ) A .向左平移1个单位,再向上平移2个单位 B .向左平移1个单位,再向下平移2个单位 C .向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D .向右平移1个单位,再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(-1,2),由此确定平移办法.【详解】y=x 2+2x+3=(x+1)2+2,该抛物线的顶点坐标是(-1,2),抛物线y=x 2的顶点坐标是(0,0),则平移的方法可以是:将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度. 故选:A .【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换.解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移,寻找平移方法.4.如图,抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ,两点,D 是以点()0,4C 为圆心,1为半径的圆上的动点,E 是线段AD 的中点,连接,OE BD ,则线段OE 的最小值是( )22【答案】A【解析】【分析】 根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标,结合题意进一步可以得出BC 长为5,利用三角形中位线性质可知OE=12BD ,而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径,据此进一步求解即可.【详解】 ∵2119y x =-, ∴当0y =时,21019x =-, 解得:=3x ±,∴A 点与B 点坐标分别为:(3-,0),(3,0),即:AO=BO=3,∴O 点为AB 的中点,又∵圆心C 坐标为(0,4),∴OC=4,∴BC 长度5=,∵O 点为AB 的中点,E 点为AD 的中点,∴OE 为△ABD 的中位线,即:OE=12BD , ∵D 点是圆上的动点,由图可知,BD 最小值即为BC 长减去圆的半径,∴BD 的最小值为4,∴OE=12BD=2, 即OE 的最小值为2,故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.5.函数25y ax bx =++(0)a ≠,当1x =与7x =时函数值相等,则8x =时,函数值等于( )22【答案】A【解析】【分析】 根据二次函数的对称性,求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴,进而判断与8x =的函数值相等时x 的值,由此可得结果.【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠,当1x =与7x =时函数值相等,∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为:1742x +==, ∴8x =与0x =的函数值相等,∴当8x =时,250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=,即8x =时,函数值等于5,故选:A .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性.掌握二次函数的对称性和对称轴的求法,是解题的关键.6.如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象,直线//l x 轴且过点(0,)m ,将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折,在直线1下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m 的取值范围是( )A .m 1≥B .0m ≤C .01m ≤≤D .m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻,则M 的范围可知.【详解】解:如图1所示,当t 等于0时,∵2(1)4y x =--,∴顶点坐标为(1,4)-,当0x =时,3y =-,∴(0,3)A -,当4x =时,5y =,∴(4,5)C ,∴当0m =时,(4,5)D -,∴此时最大值为0,最小值为5-;如图2所示,当1m =时,此时最小值为4-,最大值为1.综上所述:01m ≤≤,故选:C .【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题,找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键.7.抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示,下列判断中:①abc <0;②a +b +c >0;③5a -c =0;④当x <或x >6时,y 1>y 2,其中正确的个数有( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解:根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知:a >0,b <0,c >0,则abc <0,则①正确;根据图形可得:当x=1时函数值为零,则a+b+c=0,则②错误;根据函数对称轴可得:-2b a=3,则b=-6a ,根据a+b+c=0可知:a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-c=0,则③正确; 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛:本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上,则a 大于零,如果函数开口向下,则a 小于零;如果函数的对称轴在y 轴左边,则b 的符号与a 相同,如果函数的对称轴在y 轴右边,则b 的符号与a 相反;如果函数与x 轴交于正半轴,则c 大于零,如果函数与x 轴交于负半轴,则c 小于零;对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时,我们需要找具体的值进行代入从而得出答案;对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.8.抛物线2y ax bx c =++(,,a b c 是常数),0a >,顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论:①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -,在该抛物线上,当12n <时,则12y y <;②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解,那么( )A .①正确,②正确B .①正确,②错误C .①错误,②正确D .①错误,②错误【答案】A【解析】【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可;②先把顶点坐标代入抛物线的解析式,求得m ,再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算,判断其正负便可判断正误.【详解】解:①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点(n ,y 1)关于抛物线的对称轴x=12的对称点为(1-n ,y 1), ∴点(1-n ,y 1)与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭Q 3122n n ∴-<- ∵a >0,∴当x >12时,y 随x 的增大而增大, ∴y 1<y 2,故此小题结论正确;②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中,得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中, △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解,故此小题正确;故选A . 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,第①小题,关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来,再通过二次函数的增减性进行比较,第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负.9.如图,矩形ABCD 中,AB =8,AD =4,E 为边AD 上一个动点,连接BE ,取BE 的中点G ,点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ,连接CF ,则△CEF 面积的最小值是( )A .16B .15C .12D .11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ,则△FEH ∽△EBA ,设AE=x ,可得出△CEF 面积与x 的函数关系式,再根据二次函数图象的性质求得最小值.【详解】解:过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ,∵∠A=∠H=90°,∠FEB=90°,∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ,∴△FEH ∽△EBA ,∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点,1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE ===设AE=x , ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时,△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选:B .【点睛】本题通过构造K 形图,考查了相似三角形的判定与性质.建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键.10.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意.【详解】根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,∴选项B 符合题意,选项A 不合题意.故选B .【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.11.已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠,关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是( )A .该图象的顶点坐标为()1,4a -B .该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C .若该图象经过点()2,5-,则一定经过点()4,5D .当1x >时,y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解:y=a (x 2-2x-3)=a (x-3)(x+1)令y=0,∴x=3或x=-1,∴抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)与(-1,0),故B 成立;∴抛物线的对称轴为:x=1,令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ,∴y=a-2a-3a=-4a ,∴顶点坐标为(1,-4a ),故A 成立;由于点(-2,5)与(4,5)关于直线x=1对称,∴若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5),故C 成立;当x >1,a >0时,y 随着x 的增大而增大,当x >1,a <0时,y 随着x 的增大而减少,故D 不一定成立;故选:D .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于基础题型.12.如图,已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”).现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a 的取值范围是( )A .1a ≤-B .12a ≤-C .112a -<≤D .112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】 画出图象,利用图象可得m 的取值范围【详解】解:∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下,顶点(-1,2),对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1,1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1,-2)符合题意,此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意,将(0,1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点,∴点(0,-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0,1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时,点(-1,2)、点(-1,1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1,-2)、点(-2, 0)、(0,0)、点(0,-1)、点(-2,-1)、点(-2,1)、点(0, 1),共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点的求法,利用图象解决问题是本题的关键.13.二次函数2y ax bx c =++(,,a b c 是常数,0a ≠)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表:且当12x =-时,与其对应的函数值0y >.有下列结论:①0abc >;②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根;③0m <203n +<.其中,正确结论的个数是( ) A .0B .1C .2D .3【答案】C【解析】【分析】 首先确定对称轴,然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解.【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是:x=-2b a =12; ∴a 、b 异号,且b=-a ;∵当x=0时y=c=-2∴c 0<∴abc >0,故①正确;∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根;故②正确;∵b=-a ,c=-2∴二次函数解析式:2-a -2=y ax x ∵当12x =-时,与其对应的函数值0y >. ∴3204a ->,∴a 83>; ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ,∴m=n=2a-2,∴m+n=4a-4203>;故③错误 故选:C .【点睛】本题考查了二次函数的综合题型,主要利用了二次函数图象与系数的关系,二次函数的对称性,二次函数与一元二次方程等知识点,要会利用数形结合的思想,根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键.14.已知抛物线y =x 2+(2a +1)x +a 2﹣a ,则抛物线的顶点不可能在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标,得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式,即可求得.【详解】抛物线y =x 2+(2a +1)x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为:x =﹣212a +=﹣a ﹣12, 纵坐标为:y =()()224214a a a --+=﹣2a ﹣14, ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为:y =2x +34, ∴抛物线的顶点经过一二三象限,不经过第四象限,故选:D .【点睛】 本题考查了二次函数的性质,得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.15.已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点.下列结论:①4c <;②当1x =时,y 有最小值2c -;③方程22420x x c -+-=有两个不等实根;④若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则52c =;其中正确的结论的个数是( )A .4B .3C .2D .1【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③;根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②;根据等腰直角三角形的性质,用c 表达出两个交点,代入抛物线解析式计算即可判断④.【详解】解:∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点,∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根,即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根,故③正确,∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->,解得:4c <,故①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上,∴当x=1时,2y c =-为最小值,故②正确;若连接这两个交点与抛物线的顶点,恰好是一个等腰直角三角形,则顶点(1,c-2)到直线y=2的距离等于两交点距离的一半,∵顶点(1,c-2)到直线y=2的距离为2-(c-2)=4-c ,∴两交点的横坐标分别为1-(4-c )=c-3与1+(4-c )=5-c∴两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),将(c-3,2)代入224y x x c =-+中得:22(3)4(3)2c c c ---+= 解得:72c =或4c = ∵4c <, ∴72c =,故④错误, ∴正确的有①②③,故选:B .【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系.16.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论:①a +b +c <0;②a ﹣b +c >1;③abc >0;④9a ﹣3b +c <0;⑤c ﹣a >1.其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .①③④C .①②③④D .①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号,再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值,然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可.【详解】由图象可知,a <0,c=1,对称轴:x=b12a-=-, ∴b=2a , ①由图可知:当x=1时,y <0,∴a+b+c <0,正确;②由图可知:当x=−1时,y >1,∴a −b+c >1,正确;③abc=2a 2>0,正确;④由图可知:当x=−3时,y <0,∴9a −3b+c <0,正确;⑤c−a=1−a >1,正确;∴①②③④⑤正确.故选:D .【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.17.下列函数(1)y =x (2)y =2x ﹣1 (3)y =1x(4)y =2﹣3x (5)y =x 2﹣1中,是一次函数的有( )A .4个B .3个C .2个D .1个 【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可.【详解】解:(1)y =x 是一次函数,符合题意;(2)y =2x ﹣1是一次函数,符合题意;(3)y =1x 是反比例函数,不符合题意; (4)y =2﹣3x 是一次函数,符合题意; (5)y =x 2﹣1是二次函数,不符合题意;故是一次函数的有3个.故选:B .【点睛】 此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义,正确把握相关定义是解题关键.18.在函数2y x=,3y x =+,2y x =的图象中,是中心对称图形,且对称中心是原点的图象共有( )A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解.【详解】 y=x+3的图象是中心对称图形,但对称中心不是原点;y=x 2图象不是中心对称图形;只有函数2y x=符合条件. 故选:B .【点睛】 本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.19.在同一平面直角坐标系中,函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质,逐一进行判断.【详解】解:A.由一次函数图像可知a >0,因此二次函数图像开口向上,但对称轴302a -<应在y 轴左侧,故此选项错误;B. 由一次函数图像可知a <0,而由二次函数图像开口方向可知a >0,故此选项错误;C. 由一次函数图像可知a <0,因此二次函数图像开口向下,且对称轴302a->在y 轴右侧,故此选项正确;D. 由一次函数图像可知a >0,而由二次函数图像开口方向可知a <0,故此选项错误; 故选:C .【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质,解题的关键是利用数形结合思想分析图像,本题属于中等题型.20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结i 论:①abc >0;②b 2﹣4ac >0;③2a+b =0;④a ﹣b+c <0.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围,根据对称轴的位置确定b 的取值范围,根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围,根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围,根据x =﹣1函数值可以判断.【详解】解:Q 抛物线开口向下,0a ∴<,Q 对称轴12b x a=-=, 0b ∴>,Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方,0c ∴>,0abc ∴<,故①错误;Q 抛物线与x 轴有两个交点,240b ac ∴->,故②正确;Q 对称轴12b x a=-=, 2a b ∴=-, 20a b ∴+=,故③正确;根据图象可知,当1x =-时,0y a b c =-+<,故④正确;故选:C .【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用是解题关键.。

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