2.3.2 、2.3.3 向量积的运算公式及度量公式

张喜林制

2.3.2 向量数量积的运算律

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

考点知识清单

1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：

(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：

=+2))(1(b a =-2))(2(b a

=-⋅+)())(3(b a b a

3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则

对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．

5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b

6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x --=所以=||

要点核心解读

1．向量数量积的运算律

a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）；

)()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）．

2．向量数量积的运算律的证明

a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）

证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅

.a b b a ⋅=⋅∴

)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）

证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①

.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②

当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ

.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ

当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ

,0,cos ||||>=

.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ

,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ

],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ

],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a

综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ

综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos >

c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）

证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=

设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,/

/B A 、跟据向量的数量积的定义有

,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB ⋅+=⋅=

但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：

.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+

∴ 得证．

3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点

(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．

.a b b a ⋅=⋅

(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有

).()(b a b a ⋅=⋅λλ

(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律

.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+

(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为

c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．

(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：

,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+ ,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-

4．向量内积的坐标运算

建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则

.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e

因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：

5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式

(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2

221a a +

因此 ①

这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：

向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．

(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则

),,(1212y y x x AB --=从而

②

的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中

得到的两点距离公式完全一样．

(3)设),,(),,(2121b b b a a a ==