2015年5月浙江宁波高考二模理科数学答案
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．7．（5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。
浙江省五校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞02．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，已知椭圆C 1：+y 2=1，双曲线C 2：﹣=1（a ＞0，b ＞0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（）A ．B ． 5C ．D ．7．（5分）半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c ﹣3（1） 6a ﹣3b ﹣2（2） 3a ﹣b+c （3） 1﹣2a+2b ﹣c （4）x 3 5 6 7lgx 2a ﹣b （5） a+c （6） 1+a ﹣b ﹣c （7） 2（a+c ）（8） x 8 9 14lgx 3﹣3a ﹣3c （9） 4a ﹣2b （10） 1﹣a+2b （11） 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A ． （3），（8）B ． （4），（11）C ． （1），（3）D ． （1），（4）二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R ，集合A={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}，B={x|log 2（x ﹣1）＜2}，则A∩B=，A∪B=，C R A=．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．浙江省五校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．2．（5分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．解答：解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，是基础题．3．（5分）为得到函数f（x）=cosx﹣sinx，只需将函数y=sinx（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两角和差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+），函数y=sinx=2cos（x ﹣），+=，故把函数y=sinx=2cos（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到f（x）=2cos（x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，4．（5分）已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x2=，有下列结论中正确的个数有（）①≥0；②＜0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由存在实数x满足x2=，△≥0，得出①正确、②错误；由x2+2x+=，得出=﹣x2﹣2x，根据平面向量的基本定理，得出﹣x2﹣2x=1，判断③正确、④错误；由=（+），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．解答：解：对于①，存在实数x满足x2=，∴﹣•≥0，∴①正确；对于②，由①知，②错误；对于③，∵x2+2x+=，变形为=﹣x2﹣2x，∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，∴﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，∴③正确；对于④，由③知，④错误；对于⑤，由③知，=（+），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；综上，正确的命题是①③⑤．故选：C．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．5．（5分）已知映射．设点A（1，3），B（2，2），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B 结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为（）A．B．C．D．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），则M（x2，y2），由点M在线段AB上可得 x2+y2=4．按照映射f：P（m，n）→P′（，），可得 A（1，3）→A′（1，），B（3，1）→B′（，），故tan∠A′OX==，∴∠A′OX=．tan∠B′OX==1，∴∠B′OX=，故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX=，点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长为=∠A′OB′•r=×2=；故选：B．点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．6．（5分）如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．解答：解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1：+y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．7．（ 5分）半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为=，设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2，∴x=r，∴R=r+r，∴r=R．故选：C．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．8．（5分）某学生对一些对数进行运算，如图表格所示：x 0.021 0.27 1.5 2.8lgx 2a+b+c﹣3（1）6a﹣3b﹣2（2）3a﹣b+c（3）1﹣2a+2b﹣c（4）x 3 5 6 7lgx 2a﹣b（5）a+c（6）1+a﹣b﹣c（7）2（a+c）（8）x 8 9 14lgx 3﹣3a﹣3c（9）4a﹣2b（10）1﹣a+2b（11）现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是（）A．（3），（8）B．（4），（11）C．（1），（3）D．（1），（4）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出对数值的关系式，然后判断正误即可．解答：解：由题意可知：lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3；lg0.27=2lg3﹣2=6a﹣3b﹣2；lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+clg2.8=2lg2+lg7﹣1，lg3=2a﹣b，lg5=a+clg6=lg2+lg3=1+a﹣b﹣c，lg7=2a+2c，lg8=3﹣3a﹣3c，lg9=2lg3=4a﹣2b，lg14=lg2+lg7=1﹣a+2b．有上述各式，可以看出，lg3，lg9，lg0.27是正确的关系式，则lg7=2a+2c，lg0.21=lg3+lg7﹣1=2a+b+c﹣3，可知lg7错误；由lg5=a+c，lg1.5=lg3+lg5﹣1=3a﹣b+c，可知lg5错误；即（3），（8）错误．故选：A．点评：本题考查对数的运算性质，推理与证明的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分．9．（5分）设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4＜0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），C R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜2=log24，得到0＜x﹣1＜4，解得：1＜x＜5，即B=（1，5），∴A∩B=（1，4），A∪B=（﹣1，5），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故答案为：（1，4）；（﹣1，5）；（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体（红颜色）．∴多面体的体积为1﹣×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．点评：本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）若max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}，则f（x）的最小值为e，若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则t=4030．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再利用函数y={e|x|的图象和函数y=e|x﹣t 的图象关于直线x=对称，从而得出结论．解答：解：由于f（x）=max{e|x|，e|x﹣2|}=，故f（x）的最小值为f（1）=e．若f（x）=max{e|x|，e|x﹣t|}关于x=2015对称，则=2015，求得t=4030，故答案为：e；4030．点评：本题主要考查指数函数的单调性，分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）A n={x|2n＜x＜2n+1，x=3m，m∈N}，若|A n|表示集合A n中元素的个数，则|A5|=11，则|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=219﹣29．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：分n为奇数和偶数两种情况，根据等差数列的前n项和公式即可求出答案．解答：解：当n为奇数时，A n中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣1=2n+1+3（m﹣1），所以m=，∴|A5|==11，当n为偶数时，n﹣1时奇数，可知2n﹣1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n﹣1+1）是3的倍数；同理，2n+1﹣2=2（2n﹣1）是3的倍数，所以当n为偶数时，A n中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1﹣2=2n+2+3（m﹣1），所以m=，所以当n是偶数时，A n中的所有元素个数之和为[2n+2）+（2n+1﹣2）]=22n﹣1﹣2n﹣1，所以|A1|+|A2|+|A3|+…+|A10|=22×10﹣1﹣210﹣1=219﹣29．故答案为：11，219﹣29．点评：本题主要考查与集合有关的新定义题，根据条件分别求出对应范围的个数是解决本题的关键，综合性较强．（5分）直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y2=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC 13．斜边上的高的长度为2．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，可设C的坐标为（，c），B的坐标为（，b），则A的坐标为（，﹣b）；=（﹣，c﹣b），=（﹣，﹣b﹣c），又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，即=0，变形可得|b2﹣c2|=4，而斜边上的高即C到AB的距离为|﹣|=2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为．考点：弧长公式．专题：三角函数的求值．分析：由图可知：圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．解答：解：由图可知：∵圆O的半径r=1，正方形ABCD的边长a=1，∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为A i，则A1=×|AB|=，A2=×|AC|=，A3=×|DA|=，A4=0，∴点A所走过的路径的长度为3（A1+A2+A3+A4）=．故答案为：．点评：本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．15．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2+2y的最小值为0．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；基本不等式．专题：不等式．分析：可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设x2+y2+2y=z，进一步得到x2+（y+1）2=z+1，从而根据平面区域求以（0，﹣1）为圆心的圆的半径的最小值即得到z的最小值．解答：解：x≥0时，；∴要使；只要；∴y≥0；∴动点P满足；该不等式组表示的平面区域如下图：设x2+y2+2y=z；∴x2+（y+1）2=z+1；∴便表示以（0，﹣1）为圆心的圆的半径；由图形看出当该圆经过原点O时半径最小为1；；∴z的最小值为0．故答案为：0．点评：考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（15分）已知△ABC的面积为S，且S．（1）求cosA；（2）求a=，求△ABC周长的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（1）利用S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；（2）利用正弦定理，结合a=，即可求△ABC周长的最大值．解答：解：（1）∵△ABC的面积为S，且，∴，∴，∴A为锐角，且，∴，所以．（2），∴周长为==，∵，∴，∴周长最大值为．点评：本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2，BC=4．（1）若PB中点为E．求证：AE∥平面PCD；（2）若∠PAB=60°，求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取PC中点F，并连接DF，FE，根据已知条件容易说明四边形ADFE为平行四边形，从而有AE∥DF，根据线面平行的判定定理即得到AE∥平面PCD；（2）设B到平面PCD的距离为h，从而直线BD与平面PCD所成角的正弦值便可表示为，BD根据已知条件容易求出，而求h可通过V P﹣BCD=V B﹣PCD求出：取AB中点O，连接PO，可以说明PO⊥平面ABCD，而根据已知条件能够求出S△BCD，S△PCD，从而求出h，从而求得答案．解答：解：（1）证明：如图，取PC的中点F，连结DF，EF；∵EF∥AD，且AD=EF，所以ADFE为平行四边形；∴AE∥DF，且AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD；∴AE∥平面PCD；（2）∵∠PAB=60°，PA=AB；∴△PAB为等边三角形，取AB中点O，连接PO；则PO⊥AB；又侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB；∴PO⊥平面ABCD；根据已知条件可求得PO=，S △BCD=4，PD=CD=，PC=2，；设点B到平面PCD的距离为h；∴，；∵V P﹣BCD=V B﹣PCD；∴；∴直线BD与平面PCD所成角θ的正弦值．点评：考查中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，以及直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，棱锥的体积公式，线面角的定义．18．（15分）函数f（x）=mx|x﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．解答：解：（1）若m=1，a=0，则f（x）=x|x|﹣|x|+1，①x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，对称轴x=，开口向上，∴f（x）在[0，）递减，在（，+∞）递增；②x＜0时，f（x）=﹣x2+x+1，对称轴x=﹣，开口向下，∴f（x）在（﹣∞，0）递增；综上：f（x）在（﹣∞，0）递增，在[0，）递减，在（，+∞）递增．（2）a=1时，f（x）=mx|x﹣1|﹣|x|+1，①x＜0时，f（x）=mx（1﹣x）+x+1=﹣mx2+（m+1）x+1，△=（m+1）2+4m=m2+6m+1，令m2+6m+1=0，解得：m=﹣3±2，当m＜﹣3﹣2或x＞﹣3+2时，△＞0，有2个零点，当﹣3﹣2＜m＜﹣3+2时，△＜0，没有零点，当m=﹣3±2时，△=0，有1个零点；②0≤x≤1时，f（x）=mx（1﹣x）﹣x+1=﹣mx2+（m﹣1）x+1，△=（m+1）2≥0，m=﹣1时，函数有1个零点，m≠﹣1时，有2个零点；③x＞1时，f（x）=mx（x﹣1）﹣x+1=mx2﹣（m+1）x+1，△=（m﹣1）2≥0，m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．解答：解：（1）设，∵直线PQ斜率为时，，∴，∴，=1，∴，∵，化为a2=2b2．联立，∴a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，∴以MN为直径的圆过定点．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{a n}（n∈N*，1≤n≤46）满足a1=a，a n+1﹣a n=其中d≠0，n∈N*．（1）当a=1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围；（2）设集合M={b|b=a i+a j+a k，i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16}．①若a=，d=，求证：2∈M；②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接计算即可；（2）①求出a n的公式即可；②假设存在实数a，d满足条件，得出矛盾，从而否定假设．解答：解：（1）当a=1时，a16=1+15d，a31=16+15d，．因为d≠0，，或，所以a46∈（﹣∞，﹣14]∪[46，+∞）．（2）①由题意，1≤n≤16，．令，得i+j+k=7．因为i，j，k∈N*，1≤i＜j＜k≤16，所以令i=1，j=2，k=4，则2∈M．②不存在实数a，d，使，1，同时属于M．假设存在实数a，d，使，1，同时属于M．∵a n=a+（n﹣1）d，∴b=3a+（i+j+k﹣3）d，从而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x，y，z（x，y，z∈[3，42]），使得从而则．因为35与48互质，且y﹣x与z﹣x为整数，所以|y﹣x|≥35，|z﹣x|≥48，但|z﹣x|≤39，矛盾．所以不存在实数a，d，使，1，都属于M．点评：本题主要考查数列知识以及反证法，需要清晰的思路，属于难题．。
2015年浙江高考数学参考卷(理科)含答案
8．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，
fn+1(x)＝f[fn(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为
A．B．
C．D．
二、填空题
9．设全集 ，集合 ， ，则
=，A∩B=，A∪B=．
10．设等差数列 的公差为6，且 为 和 的等比中项．则 =，数列 的前n项和 =．
（Ⅰ）当x (0,x1)时，证明x<f(x) <x1；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0< ．
数学参考试卷(理科)答案
一、选择题
1．B2．C3．D4．A5．B6．B7．A8．D
二、填空题
9． ， ，
10．-14，3n2-17n11．0， 12． ，
13．214． 15．
三、解答题
16．(Ⅰ)由题意得
f(x)＝ (1－cos 2ax)＋ sin 2ax＋(1＋cos 2ax)
＝ sin 2ax－ cos 2ax＋
＝sin (2ax－ )＋ ．
因为f(x)的周期为π，a＞0，所以
a＝1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
f(x)＝sin (2x－ )＋ ，
所以f(x)的值域为[ ， ]．
17．(Ⅰ)延长AD，FE交于Q．
3．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，
则此几何体的体积是
A． cm3
B． cm3
C． cm3
D． cm3
4．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．
若| |＝a，| |＝b，则 ＝
A．b2－a2B．a2－b2
C．a2＋b2D．ab
5．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的
2015年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:球的表面积公式 锥体的体积公式24S R π= 13V Sh =球的体积公式其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 334V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径121(S )3V h S =柱体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,V Sh = h 表示台体的高其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高选择题部分（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|}=0P x x －≥,{}12|Q x x =＜≤,则R ()P Q =ð ( )A .[0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3 B .12 cm 3 C .323 cm 3 D .403cm 3 3.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S .若3a ,4a ,8a 成等比数列,则 ( ) A .10a d >,40dS > B .10a d <,40dS < C .10a d >,40dS <D .10a d <,40dS >4.命题“*n ∀∈N ,()*f n ∈N 且)(f n n ≤”的否定形式是( )A .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 且)(f n n >B .*n ∀∈N ,()*f n ∉N 或)(f n n >C .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 且00)(f n n >D .0*n ∃∈N ,0()*f n ∉N 或00)(f n n >5.如图,设抛物线24y x =的焦点为F ,不经过焦点的直线上有 三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则BCF △与A CF △的面积之比是( )A .||1||1BF AF --B .22||1||1BF AF --C .||1||1BF AF ++ D .22||1||1BF AF ++ 6.设A ,B 是有限集,定义:((,))()d A B card AB card AB =－,其中()card A 表示有限集A 中元素的个数.( )命题①:对任意有限集A ,B ,“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集A ,B ,C ,(,)(,)(,)d A C d A B d B C +≤. A .命题①和命题②都成立 B .命题①和命题②都不成立 C .命题①成立,命题②不成立D .命题①不成立,命题②成立 7.存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( )A .(sin 2)sin f x x =B .2(sin 2)f x x x =+C .2(1)|1|f x x +=+D .2(2)|1|f x x x +=+8.如图,已知ABC △,D 是AB 的中点,沿直线CD 将ACD △翻折成A CD '△,所成二面角A CDB '－－的平面角为α,则( )A .A DB α∠'≤ B .A DB α∠'≥C .A CB α∠'≤D .A CB α∠'≥非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.9.双曲线2212x y -=的焦距是 ,渐近线方程是 .10.已知函数223, 1,()lg(1),1,x x x f x x x ⎧+-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥＜,则(())3f f =－ ,)(f x 的最小值是 .11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,单调递减区间是 . 12.若4log 3a =,则22a a +=－ .13.如图,在三棱锥A BCD －中,3AB AC BD CD ====,2AD BC ==,点M ,N 分别是AD ,BC 的中点,则异面直线AN ,CM 所成的角的余弦值是 .14.若实数x ,y 满足221x y +≤,则22|||6|3x y x y +-+--的最小值是 .15.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意,x y ∈R ,|b －(x e 1+y e 2)|≥|b －(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0= ,y 0= ,|b |= .三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知π4A =,22212b ac -=. （Ⅰ）求tan C 的值;（Ⅱ）若ABC △的面积为3,求b 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）17.（本小题满分15分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ;（Ⅱ）求二面角11A BD B －－的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ,记(,)M a b 是|()|f x 在区间[]1,1－上的最大值. （Ⅰ）证明:当||2a ≥时,(,)2M a b ≥;（Ⅱ）当a ,b 满足(,)2M a b ≤时,求||||a b +的最大值.19.（本小题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围;（Ⅱ）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且21*)(n n n a a a n +-=∈N . （Ⅰ）证明:112(*)nn a n a +∈N ≤≤; （Ⅱ）设数列2{}na 的前n 项和为n S ,证明:11()2(2)2(1)*n S n n n n ∈++N ≤≤.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】由题意得，()(0,2)P =R ð，()(1,2)P Q ∴=R ð，故选C ．【提示】求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积323132222c m33V =+⨯⨯=，故选C ． 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可 【考点】三视图 3.【答案】B 【解析】等差数列{}n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，211115(3)(2)(7)3a d a d a d a d ∴+=++⇒=-，4141122()2(3)3S a a a a d d ∴=+=++=-，21503a d d ∴=-<，24203dS d =-<故选B ．【提示】由3a ，4a ，8a 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断1a d 和4dS 的符号 【考点】等差数列的通项公式及前n 项和，等比数列的概念 4.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D ． 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论 【考点】命题的否定5.【答案】A【解析】||1||1BCF B ACF A S x BC BF S AC x AF -===-△△，故选A ． 【提示】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为||||BC AC 的关系进行求解即可 【考点】抛物线的标准方程及其性质 6.【答案】A【解析】命题①显然正确，通过下面文氏图亦可知(,)d A C 表示的区域不大于(,)(,)d A B d B C +的区域，故命题②也正确，故选A ．第6题图【提示】①命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可 【考点】集合的性质 7.【答案】D【解析】A ：取0x =，可知(sin0)sin0f =，即(0)0f =，再取π2x =，可知π(sin π)sin 2f =，即(0)1f =，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取1x =，可知(2)2f =，再取1x =-，可知(2)f =，矛盾，∴C 错误，D ：令|1|(t x t =+≥，2(1)(0)()f t t t f x ∴-=≥⇔=D ．【提示】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可 【考点】函数的概念 8.【答案】B【解析】根据折叠过程可知A CB '∠与α的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得A DB α'∠≥，当且仅当AC BC =时，等号成立，故选B ．【提示】解：画出图形，分AC BC =，AC BC ≠两种情况讨论即可 【考点】立体几何中的动态问题 二、填空题9.【答案】2y x =±【解析】由题意得：a =1b =，c ===焦距为2c =线方程2b y x x a =±=± 【提示】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程 【考点】双曲线的标准方程及其性质 10.【答案】0，3【解析】[(3)](1)0f f f -==，当1x ≥时，()3f x ≥，当且仅当x =立，当1x <时，()0f x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，故()f x最小值为3 【提示】根据已知函数可先求(3)1f -=，然后代入可求[(3)]f f -；由于1x ≥时，2()3f x x x=+-，当1x <时，2()lg(1)f x x =+，分别求出每段函数的取值范围，即可求解【考点】分段函数11.【答案】π，3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 【解析】π3()s i n 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故最小正周期为π，单调递减区间为3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，【提示】由三角函数公式化简可得π3()2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得最小正周期，解不等式ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+可得函数的单调递减区间 【考点】三角恒等变形，三角函数的性质 12.【解析】4log 3a =Q，432a a ∴=⇒22a a-∴+==【提示】直接把a 代入22a a -+，然后利用对数的运算性质得答案 【考点】对数的计算 13.【答案】78【解析】如下图，连结DN，取DN中点P，连结PM，PC，则可知PMC∠即为异面直线AN，CM所成角（或其补角）易得：12P M A==，PC==，CM=，7cos8PMC∴∠==，即异面直线AN，CM所成角的余弦值为78第13题图【提示】连结ND，取ND的中点为E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC∠通过解三角形，求解即可【考点】异面直线的夹角14.【答案】3【解析】221x y+≤表示圆221x y+=及其内部，易得直线63x y--与圆相离，故|63|63x y x y--=--，当220x y+-≥时，|22||63|24x y x y x y+-+--=-+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y=-+，则可知当35x=，45y=时，min3z=，当220x y+-<时，|22||63|834x y x y x y+-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y=--，同理可知当35x=，45y=时，min3z=，综上所述，|22||63|x y x y+-+--的最小值为3.第14题图【提示】根据所给x，y的范围，可得|22||63|x y x y+-+--，再讨论直线220x y+-=将圆221x y+=分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值【考点】线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系15.【答案】12【解析】问题等价于12()||b xe ye-+r u r u r当且仅当x x=，y y=时，取得最小值1，两边平方，即22245b x y x y xy++--+r，在x x=，y y=时，取得最小值1，2222222224345(4)5(2)724yb x y x y xy x y x y y b x y b-⎛⎫++--+=+-+-+=++--+⎪⎝⎭r r r，0024012202||71yx xy ybb-⎧+=⎧⎪=⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩rr【提示】由题意和数量积的运算可得12π3e e=u r u rg，不妨设112e⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u r，2(1,0,0)e=u r，由已知可解52b t⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭r，可得2222143||(2()24)b xe yeyx y t-⎛⎫=++-+⎪⎝⎭-+r u r u r，由题意可得当1x x==，2y y==时，22243(2)24yx y t-⎛⎫++-+⎪⎝⎭取最小值1，由模长公式可得||br【考点】平面向量的模长，函数值的最值三、解答题16.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22212b a c-=及正弦定理得2211sin sin22B C-=，2cos2sinB C∴-=，又由π4A=，即3π4B C+=，得cos2sin22sin cosB C C C-==，解得tan2C=；（Ⅱ）由tan2C=，(0,π)C∈，得sin C=cos C=又πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭Q，sin B∴=，由正弦定理得c=，又π4A=Q，1sin72bc A=，bc∴=故3b=【提示】（Ⅰ）由正弦定理可得：2211sin sin22B C-=，已知22212b a c-=．由π4A=．可得cos2sin22sin cosB C C C-==，即可得出答案．（Ⅱ）由πsin sin()sin4B AC C⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，可得c，即可得出b【考点】正弦定理17.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）18-【解析】（Ⅰ）设E为BC中点，由题意得1A E⊥平面ABC，1A E AE∴⊥，AB AC=Q，AE BC∴⊥，故AE⊥平面1A BC，由D，E分别为11B C，BC的中点，得1DE B B∥且1DE B B=，从而1DE A A∥，所以四边形1A AED为平行四边形，故1A D AE∥，又Q AE⊥平面1A BC，数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）∴1A D ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）作1A F BD ⊥，且1A FBD F =，连结1B F ，由AE EB ==1190A EA A EB ∠=∠=︒， 得114A B A A ==，由11A D B D =，11A B B B =， 得11A DB B DB △≌△， 由1A F BD ⊥，得1B F BD ⊥，因此11A FB ∠为二面角11A BD B --的平面角，由1143A FB F ==，且112A B =， 由余弦定理得，111cos 8A FB ∠=-第17题图【提示】（Ⅰ）设E 为BC 中点，解得四边形1A AED 为平行四边形，故1A D AE ∥，又AE ⊥平面1A BC ，∴1A D ⊥平面1A BC（Ⅱ）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可【考点】线面垂直的判定与性质，二面角的求解 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）由22()24a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥得2a-≥1，故()f x 在[]1,1-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由(1)(1)24f f a --=≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f -≥，即(,)2M a b ≥； 当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥， 得max{|(1)|,|(1)|}2f f --≥，即(,)2M a b ≥， 综上，当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（Ⅱ）由(,)2M a b ≥，得|1|(1)2a b f ++=≤，|1|(1)2a b f -+=-≤， 故||3a b +≤，||3a b -≤由||0||||||0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，，，得||||3a b +≤， 当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且221||x x +-在[]1,1-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，所以||||a b +的最大值为3．【提示】（Ⅰ）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（Ⅱ）讨论0a b ==以及分析(,)2M a b ≤得到31a b -≤+≤且31b a -≤-≤，进一步求出||||a b +的求值【考点】二次函数的性质，分类讨论的思想19.【答案】（Ⅰ）m <m >（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102bx x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， Q 直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 224220b m∴∆=-++>①将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得m <m >；（Ⅱ）令160,22tm ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2||2AB t +，且O 到直线AB 的距离为212d=设AOB △的面积为()S t ，1()||2S t AB d ∴=≤g 212t =时，等号成立， 故AOB △面积的最大值为2【提示】（Ⅰ）由题意，可设直线AB 的方程为1y x b m =-+，代入椭圆方程可得222112102b x x b m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程，解出答案． （Ⅱ）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且O 到直线AB 的距离为21t d +=设△AOB 的面积为()S t ，即可得出答案【考点】直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，求函数最值 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意得，21n n n a a a +-=-≤0，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a ≤≤，得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--， 即112nn a a +≤≤； （Ⅱ）由题意得21n n n a a a +=-，11n n S a a +∴=-①，数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤，得11112n na a +≤-≤， 1112n nn n a a +∴≤-≤，因此()111()212n a n n n *+≤≤∈++N ②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++【提示】（Ⅰ）通过题意易得102n a ≤≤()n *∈N ，利用21n n n a a a +=-可得11n n a a +≥，利用21121n n n n n na a a a a a +==≤--，即得结论； （2）通过21n n n a a a +=-累加得112n n S a +∴=-，利用数学归纳法可证明11(2)12n a n n n≥≥≥+，从而11111122(1)222n a n n n n n+---++≥≥，化简即得结论【考点】数列与不等式结合综合题。
浙江省宁波市鄞州区2015届高考5月模拟数学【理】试题(含答案)
③当 x [ 1,1] 时， f ( x)
1 x2 cos( x)
2
x [ 1,0]
；
x (0,1]
则函数 y
f ( x)
1 ()
x
在区间
[
3,3] 上的零点个数为
2
A.5
B.6
C.7
D.8
非选择题部分
二、填空题 （本大题共 7 小题， 第 9,10 ，11，12 题每空 3 分，第 13，14，15 题每空 4 分，共 36 分．）
▲.
11．已知函数 f x
2 2x , x 1, 则 f f ( 2)
2x 2, x 1,
▲ ,不等式 f x 2的解集为 ▲ .
12．如图，在平面四边形 ABCD 中 , AD 1, CD 2, AC 7 , 则 cos CAD ▲ ；
又若 cos BAD
7 ,sin CBA
14
21 ,则 BC 6
（Ⅰ）证明：数列 an 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 { bn} 的通项公式；
（Ⅲ）若 c1
3 ，当 n 2 时 cn 2
1
1
bn 1 1 bn 1 2
n 2 ，都有 12Tn 6n 13．
1 ， cn 的前 n 项和为 Tn ，求证：对任意
bn
20. （本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) x2 ax b ， g( x) 2 x a (a, b R ) ，且函数 f (x) 与 g( x) 的图象至多有一个公共点。
F1 、 F2 ，过 F1 作圆 x2
y2
a2 的切线分别交双曲线
的左、右两支于点 B 、 C ，且 | BC | | CF2 | ，则双曲线的离心率为
解析版：浙江省宁波市鄞州区2015年高考数学模拟试卷(理科)
2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若a，b∈R，则“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β3．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（）A．h（x）关于（1，0）对称B．h（x）关于（﹣1，0）对称C．h（x）关于x=1对称D．h（x）关于x=﹣1对称4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．125．已知，，，，则的最大值为（）A．B．2 C．D．6．若，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=；则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，3，4，5，8}，B={1，3，4，6，9}，则A∩B=，（∁U A）∩B=．10．已知数列{a n}满足a n≠0，a1=，a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2，n∈N*），则a n= ，a1a2+a2a3+…+a99a100= ．11．已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]= ，不等式f（x）≥2的解集为．12．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，则cos∠CAD=；又若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，则BC= ．13．如图，在棱长为1的正四面体A﹣BCD中，平面α与棱AB，AD，CD，BC分别交于点E，F，G，H，则四边形EFGH周长的最小值为．14．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是．15．如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东θ角（0＜θ＜，tanθ=3），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处，当商业中心O到A，B两处的距离之和最小时，A，B的距离为公里．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知点（，0）是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx﹣图象的一个对称中心．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．17．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到△AED1，使得二面角D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ．（Ⅰ）证明：BD1⊥AE；（Ⅱ）已知二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求θ的大小及CD1的长．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且•，△GF1F2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于Γ，Γ两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2Γ，当最大时，求直线Γ的方程．19．已知数列{a n}中，a1=a（实数a为常数），a2=2，S n是其前n项和，且S n=．数列{b n}是等比数列，b1=2，a4恰为S4与b2﹣1的等比中项．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c1=，当n≥2时c n=++…+，{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n≥2，都有12T n≥6n+13．20．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=2x+a（a，b∈R），且函数f（x）与g（x）的图象至多有一个公共点．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+b）2；（Ⅱ）若不等式f（a）﹣f（b）≥L（a2﹣b2）对题设条件中的a，b总成立，求L的最小值．2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若a，b∈R，则“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若|a|＞|b|，则|a|2＞|b|2成立，即a2＞b2成立，若a2＞b2成立，则等价为|a|2＞|b|2成立，即|a|＞|b|成立，∴“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的充要条件．故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．2．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（）A．h（x）关于（1，0）对称B．h（x）关于（﹣1，0）对称C．h（x）关于x=1对称D．h（x）关于x=﹣1对称考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：运用奇偶性的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由h（x）=|f（x ﹣1）|+g（x﹣1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），将x换成﹣x，结合对称性结论，即可判断．解答：解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），即有h（﹣x+1）=|f（﹣x）|+g（﹣x）=|f（x）|+g（x）=h（x+1），即为h（1﹣x）=h（1+x），则h（x）的图象关于直线x=1对称．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性和对称性的判断，注意定义法的运用，同时考查运算能力，属于中档题．4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断出几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，再利用三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且ABCD是直角梯形，由三视图得，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即PA⊥平面ABCD，PA=2所以几何体的体积V=××AB×PA=×2×2=4故选：B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是准确还原几何体，并由三视图中的相关数据求出所对应的几何元素的长度，考查空间想象能力．5．已知，，，，则的最大值为（）A．B．2 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．解答：解：由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC==，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C点评：本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题6．若，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，根据z=x+2y的最大值为3，即可求a的值．解答：解：作出不等式表示的平面区域，如图z=x+2y的几何意义是直线纵截距的一半由，可得x=y=a，根据图形可知在（a，a）处，z=x+2y的最大值为3∴a+2a=3∴a=1故选A．点评：本题考查线性规划知识，考查求函数的最值，正确作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义是关键．7．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．解答：解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=；则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由①可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由②可得f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，作出f（x）在[﹣1，1]的图象，再由对称性，作出f（x）在[﹣3，3]的图象，同时作出y=（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察即可得到零点个数．解答：解：由①f（x）+f（2﹣x）=0可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由②f（x﹣2）=f（﹣x）可得f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，作出f（x）在[﹣1，1]的图象，再由对称性，作出f（x）在[﹣3，3]的图象，作出函数y=（）|x|在[﹣3，3]的图象，由图象观察可得它们故有5个交点，即有函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为5．故选A．点评：本题考查函数的零点的个数判断，主要考查图象法的运用，同时考查函数的对称性，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9．设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，3，4，5，8}，B={1，3，4，6，9}，则A∩B={1，3，4} ，（∁U A）∩B={6，9} ．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：根据交、并、补集的定义求出交集和补集即可．解答：解：∵A={1，3，4，5，8}，B={1，3，4，6，9}，∴A∩B={1，3，4}，∵∁U A={2，5，7，8，10}，∴（∁U A）∩B={6，9}，故答案为：{1，3，4}，{6，9}．点评：本题考察了交、并、补集的运算，是一道基础题．10．已知数列{a n}满足a n≠0，a1=，a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2，n∈N*），则a n= ，a1a2+a2a3+…+a99a100= ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过对a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2，n∈N*）变形可得数列{}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算可得通项，再利用拆项法、并项相加即得结论．解答：解：∵a n﹣1﹣a n=2a n•a n﹣1（n≥2，n∈N*），a n≠0，∴2==﹣，又∵a1=，∴=3，∴数列{}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴=3+2（n﹣1）=2n+1，∴a n=；∴a n•a n+1==（﹣），∴a1a2+a2a3+…+a99a100=（﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（﹣）=，故答案为：，．点评：本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形和并项相加法是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]= 34 ，不等式f（x）≥2的解集为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．考点：其他不等式的解法；函数的值．专题：不等式的解法及应用．分析：利用分段函数的解析式，求出f[f（﹣2）]的值；把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．解答：解：根据函数f（x）=，可得f（﹣2）=24=16，则f[f（﹣2）]=f（16）=2×16+2=34．由不等式f（x）≥2，可得①或②．解①求得x≤﹣1，解②求得x≥0，故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），故答案为：34；（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值，不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．12．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，则cos∠CAD=；又若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，则BC= 3 ．考点：三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：由题意在△ADC中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC=，代值计算可得．解答：解：由题意在△ADC中，AD=1，CD=2，AC=，∴由余弦定理可得cos∠CAD==，∴sin∠CAD==，同理由cos∠BAD=﹣可得sin∠BAD=，∴sin∠CAB=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=在△ABC中由正弦定理可得BC===3故答案为：；3点评：本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．13．如图，在棱长为1的正四面体A﹣BCD中，平面α与棱AB，AD，CD，BC分别交于点E，F，G，H，则四边形EFGH周长的最小值为 2 ．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：空间位置关系与距离．分析：将正四面体展开为平行四边形，如图形式，根据两点之间线段最短解答．解答：解：将四面体展开为平面图形，即把面ADC沿着AD翻折到与面ADB共面上来，再到面DBC沿着BC翻折到面ABC中，再反这个面沿着AB翻折到面ADB中来，（其实就是得到四面体的展开图），当E，F，G，H四点在一条直线时，四面体中，四边形EFGH周长最小，最小值为2；如图点评：本题考查了求几何体中折线最短的问题；关键是将空间问题转化为平面问题解决．14．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是或．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：设AC的中点为D，根据条件和O是△ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出，可得BD⊥AC和B、O、D三点共线，在直角三角形中求出sin∠BAC，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积；当λ=0时，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面积．解答：解：如图：O是△ABC的外心，设AC的中点为D，∵，∴===，则，∴，即B、O、D三点共线．∵BD⊥A C，∴sin∠BAC===，∴△ABC的面积S==；当λ=0时，此时，即AB⊥BC，∴△ABC的面积S===，综上可得，△ABC的面积是或故答案为：或．点评：本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题．15．如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东θ角（0＜θ＜，tanθ=3），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处，当商业中心O到A，B两处的距离之和最小时，A，B的距离为3公里．考点：三角形中的几何计算．专题：应用题；解三角形．分析：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），依题意可先求出P 的坐标，设A（a，0），进而表示直线AB，OB的方程，从而可求出OA+OB，利用基本不等式，即可确定A，B的位置，最后利用余弦定理即可求解解答：解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），∵0＜θ＜，tanθ=3∴，sin则m=OPsinθ==，n=OPcos=由题意可得，OB=2x B，直线OB的方程为y=x①设A（a，0），则直线AB的方程：②联立①②可得，=∴OA+OB=a+2x B=a+=a﹣4+4+=a﹣4++5≥2=9当且仅当即a=6时取等号，此时OA=6，OB=3，△OAB中，由余弦定理可得，AB===故答案为：点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知点（，0）是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx﹣图象的一个对称中心．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意将点的坐标代入解析式求出a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到f（x）的解析式，由已知区间求出（2x）的范围，利用利用正弦函数的有界性求最值．解答：解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（asinx+cosx）cosx﹣=sin2x+cos2x…（2分）∵f（x）关于点（，0）对称，所以f（）==0；…（5分）解得a=．…（7分）（Ⅱ）f（x）==sin（2x）；…（9分）设a=2x+，则a∈[]；…（11分）∴f（x）min=f（﹣）=；…（13分）f（x）max=f（）=1．．…（15分）点评：本题考查了三角函数的化简以及利用正弦函数的性质求sin（2x）；的最值．17．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到△AED1，使得二面角D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ．（Ⅰ）证明：BD1⊥AE；（Ⅱ）已知二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求θ的大小及CD1的长．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AE中点H，通过AD1=AE=D1E、AB=AE=BE，及线面垂直的判定定理与性质定理即得结论；（Ⅱ）以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系，通过平面ABD1的法向量与平面ABC的一个法向量的夹角的余弦值为，即得结论．解答：（Ⅰ）证明：取AE中点H，∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，∴D1H⊥AE，BH⊥AE，∴AE⊥平面HBD1，∴AE⊥BD1；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，﹣cosθ，sinθ），∴=（﹣1，，0），=（0，﹣﹣cosθ，sinθ），设平面ABD1的法向量为=（x，y，z），则=，=（﹣﹣cosθ）y+（sinθ）z=0，∴=（sinθ，sinθ，1+cosθ），同理可得平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∵二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，∴=，解得θ=，CD1=．点评：本题考查空间中线线垂直的判定，考查求二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且•，△GF1F2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于Γ，Γ两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2Γ，当最大时，求直线Γ的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、•=0及△GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴e=，①∵左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，∴||+||=2a，②∵•=0，△GF1F2的面积为2，∴||2+||2=4c2，③，④联立①②③④，得a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴．===，当且仅当时，取得最值．此时l：y=．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．19．已知数列{a n}中，a1=a（实数a为常数），a2=2，S n是其前n项和，且S n=．数列{b n}是等比数列，b1=2，a4恰为S4与b2﹣1的等比中项．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c1=，当n≥2时c n=++…+，{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n≥2，都有12T n≥6n+13．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=1可得a1=a=0，进而有S n=，当n≥2时利用累乘法可得a n=••…••a2=2（n﹣1），即得结论；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，则b n=2q n﹣1，利用a4恰为S4与b2﹣1的等比中项可得公比q=2，进而可得结论；（Ⅲ）利用放缩法可得c n＞，进而有T n＞，即得结论．解答：（Ⅰ）证明：令n=1可得a1=S1=0，即a=0．所以S n=．当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=﹣，可得（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1，当n≥3时=，所以a n=••…••a2=2（n﹣1）．显然当n=1、2时，满足上式．所以a n=2（n﹣1），n∈N*．∴a n+1﹣a n=2，所以数列{a n}是等差数列，其通项公式是a n=2（n﹣1），n∈N*．（Ⅱ）解：设等比数列{b n}的公比为q，所以b n=b1q n﹣1=2q n﹣1，∵a4恰为S4与b2﹣1的等比中项，∴a4=6，S4=12，b2=2q，所以62=12×（2q﹣1），解得q=2，所以b n=2n，n∈N*．（Ⅲ）证明：n≥2时，T n=c1+c2+…+c n=（1+）+（+）+（+++）+…+（++…+），而n≥2时，c n=++…+＞++…+===，所以当n=2时T2=1+++==．当n≥3时T n=c1+c2+…+c n＞1+++++++…+=，∴对任意n≥2，都有12T n≥6n+13．点评：本题考查求数列的通项，判断数列为等差数列，以及前n项和的大小范围，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=2x+a（a，b∈R），且函数f（x）与g（x）的图象至多有一个公共点．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+b）2；（Ⅱ）若不等式f（a）﹣f（b）≥L（a2﹣b2）对题设条件中的a，b总成立，求L的最小值．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即有△≤0，可得b≥1，再化简f（x）﹣（x+b）2，由一次函数的图象和性质，即可得证；（Ⅱ）讨论当b＞|a|时，当b=|a|时，参数分离，由函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域，求出L的范围，结合恒成立思想即可得到最小值．解答：（Ⅰ）证明：由题意得f（x）﹣g（x）=x2+ax+b﹣2x﹣a=x2+（a﹣2）x+b﹣a≥0恒成立，∴△=（a﹣2）2﹣4（b﹣a）=a2+4﹣4b≤0，∴a2≤4b﹣4，∴0≤4b﹣4，即有b≥1，又f（x）﹣（x+b）2=（a﹣2b）x+b（1﹣b）又a2≤4b﹣4≤b2，∴a≤|a|≤b≤2b，∴k=a﹣2b≤0，f（0）﹣b2=b（1﹣b）≤0，∴当x≥0时，f（x）≤（x+b）2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，b≥|a|，当b＞|a|时，L≥==，令t=，则﹣1＜t＜1，=2﹣，而函数g（t）=2﹣（﹣1＜t＜1）的值域是（﹣∞，），因此，当b＞|a|时，L的取值集合为[，+∞），当b=|a|时，由（I）知，a=±2，b=2，此时f（b）﹣f（a）=﹣8或0，b2﹣a2=0，从而f（b）﹣f（a）≤L（b2﹣a2）恒成立．综上所述，L的最小值为．点评：本题考查二次不等式恒成立问题，同时考查函数的值域求法及不等式恒成立思想的运用，属于中档题．欢迎下载，资料仅供参考!!!。
浙江省宁波市2015年高考模拟考试数学(理科)试题含答案
理科数学试卷（第1页，共12页）宁波市2015年高考模拟考试数学（理科）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1、下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是（ ）A.y=x－1B. y=(12)xC. y=x+1xD. y=ln(x+1)2、设a ∈R ，则“a=－32”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为 （ ）A. B. C. D.4、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A.m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nB. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nC. m ⊥α， n ⊂β， m ⊥n ，则α⊥βD.m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β理科数学试卷（第2页，共12页）5、已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB 的中点到y轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11 6、将函数f(x)=2sin(2x+4π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=4π对称，则φ的最小值为（ ）A.18πB. 12πC. 34πD. 38π7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆)42(0422≤≤=+-x y x x 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上，当OA OC ⋅ ＝20时，点C 的轨迹为 （ ）A. 椭圆一部分B.抛物线一段C. 线段D. 圆弧8、已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数。
浙江省宁波市效实中学2015届高考模拟数学理科试卷(有答案)
宁波效实中学2015届高考模拟测试卷数学（理）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：V =31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()2xf x =，则 2(log 0.5)f =（ ▲ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2．已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，则（ ▲ ）A ．(1)0f =B ．(1)4f =-C ．(3)(1)8f f +-=D ．(3)(1)8f f -+=-3．设不等式组518026030x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为M ，若直线:1l y kx =+上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是（ ▲ ） A ．32[,]23 B ．23[,]32C ．32(,][,)23D ．23(,][,)324．已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1(1)0a q”是“数列}{n a 是递增数列”的（ ▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知点B 为双曲线2222:1x y C a b-=0(>a ，)0>b 的左顶点，(0,)A b ，线段AB 交双曲线一条渐近线于C且满足3cos 5OCB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ▲ A B ．3 C ．35D6．已知在ABC ∆中，()230BA BC CB -⋅=,则角A 的最大值为（ ▲ ） A ．6π B. 4π C. 3π D. 2π （第5题）7．已知函数2()log ()f x ax =在1[,2]4x ∈上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值是 （ ▲ ）A ．2B ．32 C ．1 D ．128．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA M 为11A D 的中点，P 为底面四边形ABCD 内的动点，且满足PM PC =，则点P 的轨迹的长度为（ ▲ ）ABC ．23πD ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． 9．已知集合2{|{|230}A x y B x x x ===--≤，则A B = ▲ ；()R A B = ▲ ．10．数列n a 的前n 项和n S 满足2nS n An ，且24a ，则A ▲ ，数列11n na a 的前n 项和nT ▲ ．11.与圆22:2O xy 外切于点(1,1)A，且半径为C 方程为 ▲ ，若圆C 上恰有两个点到直线0x y m，则实数m ▲ ．12．已知函数()2sin(5)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=▲ ，现将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()h x ,若 2()322h ππαα⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则sin α的值是 ▲ ．13．边长为1的正四面体的三视图中，俯视图为边长为1的正三角形，则正视图的面积的取值范围是▲ ．14．若实数,x y 满足221x y +=，则35x y x y --+-的取值范围是 ▲ ．15．ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221ab c ，则b 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．M D1D 1C ⋅1A ABC1B P⋅16．（本题满分15分）已知向量=sin ,cos 6m x x π⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos ,cos n x x =.若函数()14f x m n =⋅-． （Ⅰ）求,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域；（Ⅱ） 在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，若()14f A =,且=2AC AB -,求BC 边上中线长的最大值．17．（本题满分15分）如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．6PA PB AB BC ====，点M ，N 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AM PBC ⊥平面；（Ⅱ）E 在线段AC 上的点，且//平面AM PNE ；求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值． 18．（本题满分15分）已知二次函数2()f x ax bx c =++．（Ⅰ）若(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，且函数()f x 的最大值为2-，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在1(,)2-+∞上单调递增，且()f x 的顶点在x 轴上，求满足(2)(2)(1)f mf mf +-=的实数m 的最小值．19．（本题满分15分）已知O 为坐标原点，椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为直线 :2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点． （Ⅰ）求12F PF ∆周长的最小值；（Ⅱ）设直线1PF 和2PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ．ⅰ）证明：12132k k -=； ⅱ）当直线,,,OA OB OC OD 的斜率之和为0时，求直线l 上点P 的坐标．20．（本题满分14分）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；PAB MNCE（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12n n a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1） C （2） D （3） C （4） B （5） D （6） A （7） B （8） B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． （9）{3}x x ≤，{23}x x <≤ （10）1A ，4(1)nnT n（11）22(3)(3)8x y +++=, (0,4)(8,12)m ∈ （12）6πϕ=,（13）[46 （14）7[,1]23（15） 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．答案：（1）()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，值域12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；…………………7分（2）3A π=…………………15分17．答案：(1) PA AB AM PB PM MB BC PAB AM BC AM PBC AM PAB PB BC B =⎫⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎪⎪⎭平面平面平面 …………5分(2)连MC 交PN 于F ，则F 是PBC ∆的重心，且13MF MC =，////AM PEN AMC PEN EF AM EF AM AMC ⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面平面所以123AE AC ==， …………9分 作EH AB ⊥于H ，则//EH BC ，所以EH PAB ⊥平面，所以，EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成角. 12分且123EH BC ==,123AH AB ==, PH ∴=,tan EH EPH PH ∴∠==. 所以，直线PE 与平面PAB所成角的正切值为7. …………15分方法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立空间直角坐标系.3(0,6,0),(0,3,33),(0,,(3,0,0),22A P M N 设(,6,0),-E m m(3,6,0),(3,3,=--=--NE m m PN令面PEN 的法向量为1(,,)=n x y z ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩NE n PNn ，(3)(6)00-+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩m x m y x y ，得1(6,3,=--n m m9(0,2=-AM 因为//AM 平面,PNE 所以1,⊥AM n 10,⋅=AM n 得2,=m则(2,4,0),E…………10分(2,1,=-PE 面PAB 的法向量2(1,0,0),=n 222,1,42,⋅===n PE n PE设直线PE 与平面PAB 所成角为θ，则22sin cos ,4θ=<>=n PE ， tan θ=直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7…………15分 18．解：（Ⅰ）由条件(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，可得3,2c a b a ==-于是22()(23)(1)2f x a x x a x a =-+=-+， …………3分 因为函数()f x 的最大值为2-，则0a <且22a =-即1a =-，故2()(1)2f x x =--- …………6分（Ⅱ）由条件可设2()()f x a x t =-，其中12t ≤-…………8分 由(2)(2)(1)f mf mf +-=，得222(2)(2)(1)a t ma t ma t -++=-于是2(2)(63)t m t -=--， …………10分易知12t ≠-则2(2)63t m t -=--， …………11分令(21)0t s -+=>于是2(5)1255(10)12123+==++≥s m s s s …………14分取等号的条件为：3t =-…………15分 19．（Ⅰ）令2(1,0)F 关于2+=x y 的对称点为2(,),'F x y 则2(2,1),'F 121212''+=+≥=PF PF PF PF F F12min ()2F PF C ∆= …………5分（Ⅱ）ⅰ）令000(,2),()-≠P x x x x00120022,11--==+-x x k k x x ，0001200013342132222+---=-==---x x x k k x x x …………9分 ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 令11:(1)=+PF l y k x 由122(1),22=+⎧⎨+=⎩y k x x y 得2222111(12)4220+++-=k x k x k ， 2112212112214122(1)12⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩k x x k k x x k ， 121112121112121212121(1)(1)211(2)(2)1++++=+=+=++=+=-OA OB y y k x k x x x k k k k k x x x x x x x x k 同样可算得22221+=-OC OD k k k k ， 由0+++=OA OB OC OD k k k k ，得12221222011+=--k kk k ，整理得1212()(1)0+-=k k k k ，120+=k k 或121=k k ，又因为12132-=k k1212122,,(0,2),1322+=⎧=⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k P k k k 12121211,1321=⎧=-⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k k k k （舍）或12153,(,),3443⎧=⎪⎨⎪=⎩k P k (0,2)P 或53(,)44P …………15分20．（Ⅰ）由221122322a a a a +=+=及20a >，所以213a =…………3分 （Ⅱ）由22221111113242(2)2n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+<+=+又因为2y x x =+在(0,)x ∈+∞上递增，故12n n a a +≤ …………7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，112n n a a -≥，1212n n a a --≥，…，2112a a ≥，相乘得1111122n n n a a --≥=，即112n n a -≥故121111112222n n n n S a a a --=+++≥+++=- …………10分另一方面，222211111132222()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+>+=+，令2n n n a a b +=，则12n n b b +>于是112n n b b -<，1212n n b b --<，…，2112b b <，相乘得1121122n n n b b --≤=，即2212n n n n a a b -+=≤故1222111()1(1)33222n n n n S a a a --=+++<++++=-<综上，11232n n S --≤< …………14分。
2015高考浙江理科数学答案
2015浙江理科数学选择题：CCADAADB1、{})2,0(02|C 2R =<-=x x x P ，所以选C2、组合体为正方体加四棱锥，四棱锥的高和底边边长相等。
3322231223=⋅⋅+=V ，选C 3、2111)3()7)((d a d a d a +=++，0)22(1=-d a d ，∵0≠d ，∴d a =1，0,0),1(2,1>>+==n n n dS da n n d S nd a ，选A 4、“q p x 且,∀”的否定形式是“q p x ⌝⌝∃或,0”，选D5、分别过A ，B 作直线与y 轴垂直，设垂足分别为A 1，B 1。
则△AA 1C ∽△BB 1C ，∴1111--====∆∆AF BF x x AA BB AC BC S S AB BCF BCF ，最后一步用到了抛物线的定义（准线方程为1-=x ），选A 。
6、设T B A = ，则可设T N B T M A ==,，其中三个有限集合T N M ,,两两交集为空集，则)()(),(N c a r d M c a r d B A d +=，∴0)(0)(0),(≠≠⇔≠N card M card B A d 或，也等价于B A ≠，（1）正确。
设TC B A = ，R A C Q C B P B A === ,,，则可设,,,T R Q F C T Q P E B T R P D A ===其中七个有限集合T R Q P F E D ,,,,,,两两交集为空集，则)(),(R Q E D card B A d =，)(),(Q P F D card C A d =，)(),(R P F E card C B d =，∴（2）成立，选A7、令2,0π=x ，排除A ，B （自变量相等，因变量不等）；令1,1-=x ，排除C ，（D 对应t t f =-)1(2，亦即1)(+=x x f ）选D8、令△ABC 为等腰三角形，AC=BC ，则二面角A ’-CD-B 的平面角就是∠A ’DB ，排除D 。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴∴=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t=∴=8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式+﹣可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），T==≤+≤，+]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC===．故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=|||＞＜＞，•＞，不妨设（，，，=n=2，，解得n=，∴=，∵﹣（）（﹣∴|﹣（|﹣x（）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，由余弦定理可得：bc=．∴=．∴c．可得﹣cosC=．==2）∵×c=2∴=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，，，（﹣，﹣）（﹣，=∵•又∵•的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞=，的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．y=mx+可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+∴2，∴===，AOB=，又∵取得最大值为20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过利用数学归纳法可证明（≥（﹣，∴=，∴∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤∴≤，均有≥∴=≥，（。
2015年浙江高考模拟试卷理科数学卷（含答案答卷）
2015年浙江高考模拟试卷理科数学卷（含答案答卷）2015年浙江高考模拟试卷理科数学卷（本卷满分150分考试时间120分钟）参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（改编）已知集合B B A m B m A === },,1{},3,1{,则m ＝（）３或0.A B.0或３３或1.C D.0或３2（改编）已知y=f(x)是R 上的增函数，其图象经过点A(0,1)和B(-3,-1),则不等式|f(x)|<1的解集是（）A.{x|-4<x<-1}< bdsfid="95" p=""></x<-1}<>B.{x|-3<x<0}< bdsfid="97" p=""></x<0}<>C.{x|-3<x<-1}< bdsfid="99" p=""></x<-1}<>D.{x|x<-3或x>0} 3. (原创))6(32+=m m是直线()016=+++y m mx 和直线013=-+my x 平行的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. (原创)等差数列}{n a 的前n 项和为n s ，18612=s ,208=a ，则=5a （）A.－1B.3C.20D.235. （原创）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且的"是则“,βα⊥⊥⊥b a m b （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要6.（原创）△ABC 中，AB=1,BC=6 ,CA=2,△ABC 的外接圆的圆心为O ，若实数λ,μ的值为( ) ,μλ+=7. （改编）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为5，且它的两焦点到直线1=-bya x 的距离之和为2，则该双曲线方程是（） A.1422=-yx B. 1422=-y xC. 1422=-y x D. 1422=-y x8. 函数)(x f 的定义域为()()∞+?∞-，，11，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，16122)(2+-=x x f x ，则方程m x f =)(有两个零点的实数m 的取值范围是( )A ．()6,6-B ．()6,2-C ．()()6,22,6?--D ．()()+∞?-∞-,66,第II 卷（非选择题）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共36分 9．【原创】函数162sin 2++-=πx y 的最小正周期是，最小值是______ 单调递增区间为____________ 10. (改编)若等比数列}{n a ，满足80,405342=+=+a a a a ，则公比q ＝___前n 项和n S =______11．(改编)在△ABC 中，若b=51,∠B ＝3π，tanA=4则sinA=______;a=_________12. (改编)设双曲线C 经过点（22，4），且与1422=-y x 具有相同渐近线，则C 的方程为______;渐近线方程为_______52μ53λ53μ52λ====B 、A 、54μ53λ53μ54λ====D 、C 、13 (改编)设a+b=4,b>0,则当a=____时，b a a ||||1+取得最小值14.【原创】已知点)3,3(A ，O 是坐标原点，点P （x,y ）的坐标满足，设Z 为在上的投影，则Z 的取值范围是_________15.(改编)若整数满足不等式，则称为的“亲密整数”，记作，即，已知函数．给出以下四个命题：① 函数是周期函数且其最小正周期为1；② 函数的图象关于点中心对称；③ 函数在上单调递增；④ 方程在（－２，２）上共有7个不相等的实数根.其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共5小题，满分74分。
2015年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分22．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）×3．（5分）（2015•浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，成等比数列，得，整理得：．，∴∴**5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）B根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为==，6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；，则t=∴=8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线c=2c=2±；±x10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．=，，即最小值）的最小值是11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式≤﹣可得函数的单调递减区间．（﹣+T=+≤+≤+]]12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．+故答案为：13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC=，=．故答案为：．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，，x=y=15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•=，不妨设（，，，=（，|﹣（|）（x+|解：∵•=|||•＞•＞，•，不妨设=，，，，=，n=，∴=，∵﹣（）﹣x∴|﹣（|﹣（）（）（，故三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=tanC=）由×A=，由余弦定理可得：bcc．∴bc=．∴b=c．可得=a==．==2）∵=×c=2∴17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．••AC=2O==，，，﹣，，﹣，，=（﹣，﹣）（﹣=2=，∵=0又∵•的法向量为，得，得（的法向量为，得，得，，＞=，的平面角的余弦值为﹣18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以≥（||2a|19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．，，代入椭圆方程．×+n=，y=mx+上，∴=，∴2，∴m=|n|）=，AOB，又∵取得最大值为20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．（=可得=a≥（≥（=，∴==，∴∴=a，+=a=时，=下面证明：≥（+，+≥，+=≤∴≤≥，∴=≥。
浙江省宁波市鄞州区2015届高三5月模拟试题数学(理)试题 含解析
2015．5本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。
满分150分， 考试时间120分钟。
参考公式：球的表面积公式：24R S π=， 其中R 表示球的半径．球的体积公式： 334R V π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式:Sh V =， 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式：Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式：)(312211S S S Sh V ++=，其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若,a b ∈R ，则“a b >成立”是“22ab >成立”的A 。
充分非必要条件 B.必要非充分条件C 。
充要条件D 。
既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】试题分析:当,a b R ∈时，22||||a b a b >⇔>，所以“||||a b >成立"是“22a b >成立"的充要条件，故选C 。
考点：充要条件。
2．已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A.,////m n m n αα⊂⇒ B 。
,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C.βαβα////,,⇒⊂⊂n m n m D.,n n βααβ⊂⊥⇒⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，n α⊂时也成立，所以A 错；对于B ，直线n 垂直于平面内一条直线,不能确定直线与平面垂直，故B 错；对于C ，一个平面内一条直线平行于另一个平面内的一条直线,和符合面面平行的判定定理，故C 错;对于D ，符合面面垂直的判定定理，故选D 。
考点：线面平行、垂直、面面平行、垂直的判定与性质.3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ，则下列结论中正确的是A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C考点:1.函数的奇偶性；2。
2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷(理科)
2015年浙江省宁波市鄞州区高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.若a，b∈R，则“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】C【解析】解：若|a|＞|b|，则|a|2＞|b|2成立，即a2＞b2成立，若a2＞b2成立，则等价为|a|2＞|b|2成立，即|a|＞|b|成立，∴“|a|＞|b|成立”是“a2＞b2成立”的充要条件．故选：C根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．2.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A.m⊂α，n∥m⇒n∥αB.m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC.m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD.n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【答案】D【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3.设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x-1）|+g（x-1），则下列结论中正确的是（）A.h（x）关于（1，0）对称B.h（x）关于（-1，0）对称C.h（x）关于x=1对称D.h（x）关于x=-1对称【答案】C【解析】解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），由h（x）=|f（x-1）|+g（x-1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），即有h（-x+1）=|f（-x）|+g（-x）=|f（x）|+g（x）=h（x+1），即为h（1-x）=h（1+x），则h（x）的图象关于直线x=1对称．故选C．运用奇偶性的定义，可得f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），由h（x）=|f（x-1）|+g（x-1），得h（x+1）=|f（x）|+g（x），将x换成-x，结合对称性结论，即可判断．本题考查函数的奇偶性和对称性的判断，注意定义法的运用，同时考查运算能力，属于中档题．4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积（单位：cm3）是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】解：三视图复原几何体为四棱锥，它的高为2，底面是直角梯形，长底边为4，上底为2，高为2，棱锥的高垂直底面梯形的长底边直角顶点，所以几何体的体积为：故选A由三视图复原几何体为四棱锥，根据三视图数据求出底面面积，和高，即可求体积．本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5.已知，，，，则的最大值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：AB⊥BC，CD⊥AD，故四边形ABCD为圆内接四边形，且圆的直径为AC，由勾股定理可得AC==，因为BD为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故的最大值为：故选C由题意可知四边形ABCD为圆内接四边形，由圆的最长的弦为其直径，只需由勾股定理求的AC的长即可．本题为模长的最值的求解，划归为圆内接四边形是解决问题的关键，属中档题6.若，若z=x+2y的最大值为3，则a的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】解：作出不等式表示的平面区域，如图z=x+2y的几何意义是直线纵截距的一半由，可得x=y=a，根据图形可知在（a，a）处，z=x+2y的最大值为3∴a+2a=3∴a=1故选A．作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，根据z=x+2y的最大值为3，即可求a的值．本题考查线性规划知识，考查求函数的最值，正确作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义是关键．7.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查直线和圆相切的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8.已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2-x）=0；②f（x-2）=f（-x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=；则函数y=f（x）-（）|x|在区间[-3，3]上的零点个数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】解：由①f（x）+f（2-x）=0可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由②f（x-2）=f（-x）可得f（x）的图象关于直线x=-1对称，作出f（x）在[-1，1]的图象，再由对称性，作出f（x）在[-3，3]的图象，作出函数y=（）|x|在[-3，3]的图象，由图象观察可得它们故有5个交点，即有函数y=f（x）-（）|x|在区间[-3，3]上的零点个数为5．故选A．由①可得f（x）的图象关于点（1，0）对称，由②可得f（x）的图象关于直线x=-1对称，作出f（x）在[-1，1]的图象，再由对称性，作出f（x）在[-3，3]的图象，同时作出y=（）|x|在[-3，3]的图象，通过图象观察即可得到零点个数．本题考查函数的零点的个数判断，主要考查图象法的运用，同时考查函数的对称性，属于中档题．二、填空题(本大题共7小题，共36.0分)9.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，3，4，5，8}，B={1，3，4，6，9}，则A∩B= ______ ，（∁U A）∩B= ______ ．【答案】{1，3，4}；{6，9}【解析】解：∵A={1，3，4，5，8}，B={1，3，4，6，9}，∴A∩B={1，3，4}，∵∁U A={2，5，7，8，10}，∴（∁U A）∩B={6，9}，故答案为：{1，3，4}，{6，9}．根据交、并、补集的定义求出交集和补集即可．本题考察了交、并、补集的运算，是一道基础题．10.已知数列{a n}满足a n≠0，a1=，a n-1-a n=2a n•a n-1（n≥2，n∈N*），则a n= ______ ，a1a2+a2a3+…+a99a100= ______ ．【答案】；【解析】解：∵a n-1-a n=2a n•a n-1（n≥2，n∈N*），a n≠0，∴2==-，又∵a1=，∴=3，∴数列{}是以3为首项、2为公差的等差数列，∴=3+2（n-1）=2n+1，∴a n=；∴a n•a n+1==（-），∴a1a2+a2a3+…+a99a100=（-+-+…+-+-）=（-）=，故答案为：，．通过对a n-1-a n=2a n•a n-1（n≥2，n∈N*）变形可得数列{}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算可得通项，再利用拆项法、并项相加即得结论．本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形和并项相加法是解决本题的关键，属于中档题．11.已知函数f（x）=，，＞，则f[f（-2）]= ______ ，不等式f（x）≥2的解集为______ ．【答案】34；（-∞，-1]∪[0，+∞）【解析】解：根据函数f（x）=，，＞，可得f（-2）=24=16，则f[f（-2）]=f（16）=2×16+2=34．由不等式f（x）≥2，可得①或＞②．解①求得x≤-1，解②求得x≥0，故不等式的解集为（-∞，-1]∪[0，+∞），故答案为：34；（-∞，-1]∪[0，+∞）．利用分段函数的解析式，求出f[f（-2）]的值；把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查利用分段函数求函数的值，不等式的解法，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．12.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，则cos∠CAD=______ ；又若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，则BC= ______ ．【答案】；3【解析】解：由题意在△ADC中，AD=1，CD=2，AC=，∴由余弦定理可得cos∠CAD==，∴sin∠CAD=∠=，同理由cos∠BAD=-可得sin∠BAD=，∴sin∠CAB=sin（∠BAD-∠CAD）=sin∠BAD cos∠CAD-cos∠BAD sin∠CAD=×+×===3故答案为：；3由题意在△ADC 在△ABC中由正弦定理可得BC=∠∠中应用余弦定理易得cos∠CAD，进而由同角三角函数基本关系可得sin∠CAD和sin∠BAD，再由和差角公式可得sin∠CAB，在△ABC中由正弦定理可得BC=∠，∠代值计算可得．本题考查三角形中的几何运算，涉及正余弦定理的综合应用，属中档题．13.如图，在棱长为1的正四面体A-BCD中，平面α与棱AB，AD，CD，BC分别交于点E，F，G，H，则四边形EFGH周长的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：将四面体展开为平面图形，即把面ADC沿着AD翻折到与面ADB共面上来，再到面DBC沿着BC翻折到面ABC中，再反这个面沿着AB翻折到面ADB中来，（其实就是得到四面体的展开图），当E，F，G，H四点在一条直线时，四面体中，四边形EFGH周长最小，最小值为2；如图将正四面体展开为平行四边形，如图形式，根据两点之间线段最短解答．本题考查了求几何体中折线最短的问题；关键是将空间问题转化为平面问题解决．14.已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且=λ+（λ∈R），则△ABC的面积是______ ．【答案】或【解析】解：如图：O是△ABC的外心，设AC的中点为D，∵，∴===，则，∴，即B、O、D三点共线．∵O是△ABC的外心，∴OD⊥AC，则BD⊥AC，∴sin∠BAC===，∴△ABC的面积S=∠=；当λ=0时，此时，即AB⊥BC，∴△ABC的面积S===，综上可得，△ABC的面积是或故答案为：或．设AC的中点为D，根据条件和O是△ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出，可得BD⊥AC和B、O、D三点共线，在直角三角形中求出sin∠BAC，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积；当λ=0时，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面积．本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题．15.如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东θ角（0＜θ＜，tanθ=3），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处，当商业中心O到A，B两处的距离之和最小时，A，B的距离为______ 公里．【答案】3【解析】解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），∵0＜θ＜，tanθ=3∴，sin则m=OP sinθ==，n=OP cos=由题意可得，OB=2x B，直线OB的方程为y=x①设A（a，0），则直线AB的方程：②联立①②可得，=∴OA+OB=a+2x B=a+=a-4+4+=a-4++5≥2=9当且仅当即a=6时取等号，此时OA=6，OB=3，△OAB中，由余弦定理可得，AB=°==故答案为：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），依题意可先求出P的坐标，设A（a，0），进而表示直线AB，OB的方程，从而可求出OA+OB，利用基本不等式，即可确定A，B的位置，最后利用余弦定理即可求解本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)16.已知点（，0）是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx-图象的一个对称中心．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[-，]上的最大值和最小值及取到最值时的对应x值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（asinx+cosx）cosx-=sin2x+cos2x…（2分）∵f（x）关于点（，0）对称，所以f（）==0；…（5分）解得a=．…（7分）（Ⅱ）f（x）==sin（2x）；…（9分）设a=2x+，则a∈[，]；…（11分）∴f（x）min=f（-）=；…（13分）f（x）max=f（）=1．．…（15分）【解析】（Ⅰ）由题意将点的坐标代入解析式求出a；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到f（x）的解析式，由已知区间求出（2x）的范围，利用利用正弦函数的有界性求最值．本题考查了三角函数的化简以及利用正弦函数的性质求sin（2x）；的最值．17.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△AED沿AE翻折到△AED1，使得二面角D1-AE-D的平面角的大小为θ．（Ⅰ）证明：BD1⊥AE；（Ⅱ）已知二面角D1-AB-C的平面角的余弦值为，求θ的大小及CD1的长．【答案】（Ⅰ）证明：取AE中点H，∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，∴D1H⊥AE，BH⊥AE，∴AE⊥平面HBD1，∴AE⊥BD1；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，-cosθ，sinθ），∴=（-1，，0），=（0，--cosθ，sinθ），设平面ABD1的法向量为=（x，y，z），则=，=（--cosθ）y+（sinθ）z=0，∴=（sinθ，sinθ，1+cosθ），同理可得平面ABC的一个法向量=（0，0，1），∵二面角D1-AB-C的平面角的余弦值为，∴=，解得θ=，CD1=．【解析】（Ⅰ）取AE中点H，通过AD1=AE=D1E、AB=AE=BE，及线面垂直的判定定理与性质定理即得结论；（Ⅱ）以H为坐标原点，以HA、HB分别为x、y轴建立空间直角坐标系，通过平面ABD1的法向量与平面ABC的一个法向量的夹角的余弦值为，即得结论．本题考查空间中线线垂直的判定，考查求二面角的大小，注意解题方法的积累，属于中档题．18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且•=0，△GF1F2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x-1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴e=，①∵左右焦点分别为F1、F2，点G在椭圆上，∴||+||=2a，②∵•=0，△GF1F2的面积为2，∴||2+||2=4c2，③，④联立①②③④，得a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）联立，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．===，当且仅当时，取得最值．此时l：y=．【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为、点G在椭圆上、•=0及△GF1F2的面积为2列式求得a2=4，b2=2，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把转化为含有k的代数式，利用基本不等式求得使取得最大值的k，则直线Γ的方程可求．本题考查椭圆方程的求法，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线间的关系，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．19.已知数列{a n}中，a1=a（实数a为常数），a2=2，S n是其前n项和，且S n=．数列{b n}是等比数列，b1=2，a4恰为S4与b2-1的等比中项．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）若c1=，当n≥2时c n=++…+，{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n≥2，都有12T n≥6n+13．【答案】（Ⅰ）证明：令n=1可得a1=S1=0，即a=0．所以S n=．当n≥2时a n=S n-S n-1=-，可得（n-2）a n=（n-1）a n-1，当n≥3时=，所以a n=••…••a2=2（n-1）．显然当n=1、2时，满足上式．所以a n=2（n-1），n∈N*．∴a n+1-a n=2，所以数列{a n}是等差数列，其通项公式是a n=2（n-1），n∈N*．（Ⅱ）解：设等比数列{b n}的公比为q，所以b n=b1q n-1=2q n-1，∵a4恰为S4与b2-1的等比中项，∴a4=6，S4=12，b2=2q，所以62=12×（2q-1），解得q=2，所以b n=2n，n∈N*．（Ⅲ）证明：n≥2时，T n=c1+c2+…+c n=（1+）+（+）+（+++）+…+（++…+），而n≥2时，c n=++…+＞++…+===，所以当n=2时T2=1+++==．当n≥3时T n=c1+c2+…+c n＞1+++++++…+=，∴对任意n≥2，都有12T n≥6n+13．【解析】（Ⅰ）当n=1可得a1=a=0，进而有S n=，当n≥2时利用累乘法可得a n=••…••a2=2（n-1），即得结论；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，则b n=2q n-1，利用a4恰为S4与b2-1的等比中项可得公比q=2，进而可得结论；（Ⅲ）利用放缩法可得c n＞，进而有T n＞，即得结论．本题考查求数列的通项，判断数列为等差数列，以及前n项和的大小范围，注意解题方法的积累，属于中档题．20.已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=2x+a（a，b∈R），且函数f（x）与g（x）的图象至多有一个公共点．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+b）2；（Ⅱ）若不等式f（a）-f（b）≥L（a2-b2）对题设条件中的a，b总成立，求L的最小值．【答案】（Ⅰ）证明：由题意得f（x）-g（x）=x2+ax+b-2x-a=x2+（a-2）x+b-a≥0恒成立，∴△=（a-2）2-4（b-a）=a2+4-4b≤0，∴a2≤4b-4，∴0≤4b-4，即有b≥1，又f（x）-（x+b）2=（a-2b）x+b（1-b）又a2≤4b-4≤b2，∴a≤|a|≤b≤2b，∴k=a-2b≤0，f（0）-b2=b（1-b）≤0，∴当x≥0时，f（x）≤（x+b）2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，b≥|a|，当b＞|a|时，L≥==，令t=，则-1＜t＜1，=2-，而函数g（t）=2-（-1＜t＜1）的值域是（-∞，），因此，当b＞|a|时，L的取值集合为[，+∞），当b=|a|时，由（I）知，a=±2，b=2，此时f（b）-f（a）=-8或0，b2-a2=0，从而f（b）-f（a）≤L（b2-a2）恒成立．综上所述，L的最小值为．【解析】（Ⅰ）由题意可得f（x）-g（x）≥0恒成立，即有△≤0，可得b≥1，再化简f（x）-（x+b）2，由一次函数的图象和性质，即可得证；（Ⅱ）讨论当b＞|a|时，当b=|a|时，参数分离，由函数g（t）=2-（-1＜t＜1）的值域，求出L的范围，结合恒成立思想即可得到最小值．本题考查二次不等式恒成立问题，同时考查函数的值域求法及不等式恒成立思想的运用，属于中档题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题 (理科)解析版
2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =I ð（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．12. 若4log 3a =，则22aa-+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ．15. 已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r，则0x = ，0y = ，b =r ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=o，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a满足1a=12且1na+=na-2na（n∈*N）（1）证明：112nnaa+≤≤（n∈*N）；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明112(2)2(1)nSn n n≤≤++（n∈*N）.。
浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试卷(扫描版)
镇海中学2015年高考模拟试卷数学（理科）参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．B ；5．A ； 6．D ； 7．D ； 8． C ．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）9.(][)+∞∞-,20, ，01a ≤≤ 10. 22(2)(2)10-+-=x y11.160643+ 12. 125，1317 13.4 14.2+ 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡433,43 三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（Ⅰ）sin ,sin sin sin a b a B b A B A =∴= 2sin sin ,sin .2sin sin sin 2sin a a B b C a C B A C A =∴=∴= (),sin sin sin cos cos sin ,A B C B A C A C A C π∴++==+=+222sin cos 2cos sin sin sin ,1tan tan A C A C A C A C ∴+=∴+= 111tan tan 2A C ∴+=（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，221tan tan A C +=，即1tan tan tan tan 2A C A C += ABC 为锐角三角形，tan ,tan A C ∴均为正数， tan tan A C ∴+≥，当且仅当1tan tan 4A C ==时等号成立。
1tan tan tan tan 162A C A C ∴≥∴≥ 当且仅当1tan tan 4A C ==时等号成立。
1tan tan tan tan 112tan 11tan tan tan tan 12tan tan 1A C A CB AC A C A C +⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭8tan 15B ∴≤，即tan B 的最大值为815。