2018浙江高考数学知识点

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2018年高考数学浙江卷及答案解析

2018年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷 第1页(共14页) 数学试卷 第2页(共14页)绝密★启用前浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟. 参考公式:若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+.若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B =.若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)kk n k n n P k p p k n -=-=….台体的体积公式:121()3V S S h =,其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高.柱体的体积公式:V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式:24S R =π,其中R 表示球的半径. 球的体积公式:34π3V R =,其中R 表示球的半径. 选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,5{}4,U =,3{}1,A =,则=UA( )A .∅B .{1,3}C .{2,4,5}D .1,2,3{,4,5} 2.双曲线221 3=x y -的焦点坐标是( )A.(, B .(2,0)-,(2,0) C.(0,, D .(0,2)-,(0,2)3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .2B .4C .6D .8 4.复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i -- 5.函数||sin22x x y =的图象可能是( )ABCD6.已知平面α,直线m ,n 满足m α⊄,n a ⊂,则“m n ∥”是“m α∥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件俯视图正视图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共14页) 数学试卷 第4页(共14页)7.设01p <<,随机变量的分布列是222则当p 在(0,1))内增大时,( )A .D ξ()减小B .D ξ()增大 C .D ξ()先减小后增大D .D ξ()先增大后减小 8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为1θ,SE 与平面ABCD 所成的角为2θ,二面角S AB C --的平面角为3θ,则( )A .123θθθ≤≤B .321θθθ≤≤C .132θθθ≤≤D .231θθθ≤≤9.已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足2430b e b -+=,则||a b -的最小值是( ) A 1 B 1 C .2D .210.已知1a ,2a ,3a ,4a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则( )A .13a a <,24a a <B .13a a >,24a a <C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

2018年高考数学热门考点与解题技巧:考点2-函数的概念、定义域、值域(含解析)

2018年高考数学热门考点与解题技巧:考点2-函数的概念、定义域、值域(含解析)

题型1 函数与映射的概念例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射,能否构成函数? ①A ={1,2,3},B =R ,f(1)=f(2)=3,f(3)=4. ②A ={x|x≥0},B =R ,f :x→y,y 2=4x. ③A =N ,B =Q ,f :x→y=1x2.④A ={x|x 是平面α内的矩形},B ={y|y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.【解题技巧】判断一个对应是不是映射,应紧扣映射的定义,即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象,判断一个对应是否能构成函数,应判断:(1)集合A 与是否为非空数集;(2)f :A →B 是否为一个映射.变式1. (2015浙江理7) 存在函数()f x 满足:对任意x ∈R 都有( ). A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 解析 本题考查函数的定义,即一个自变量只能对应一个函数值. 对A ,取sin 20x =,则当0x =时,()00f =;当π2x =时,()01f =.所以A 错; 同理B 错;对C ,取1x =±,()22f =且()20f =,所以C 错.故选D.题型2 求函数的解析式 例2 求下列函数的解析式:(1)已知f(1-sinx)=cos 2x ,求f(x)的解析式; (2) 已知x x x f 2)1(+=+,求函数)(x f 的解析式;(3)已知f(x)是一次函数且3f(x +1)-2f(x -1)=2x +17,求f(x)的解析式; (4) 已知函数()x f 满足:()x x f x f 312=⎪⎭⎫ ⎝⎛+()0≠x ,求函数()x f 的解析式.(5)已知函()()()()2021,,10x x f x x g x x ⎧≥⎪=-=⎨-≤⎪⎩求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 的表达式.解法一(换元法):令1+x =t (1≥t ),则,1-=t x 得)1()1(2≥-=t t x ,所以2)1()(-=t t f ()11)1(22≥-=-+t t t ,即()().112≥-=x x x f解法二(配凑法):()()1112-+=+x x f,即)(x f ().112≥-=x x(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax +b(a≠0), ∴3[a(x +1)+b]-2[a(x -1)+b]=2x +17.即ax +(5a +b)=2x +17,因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a =2,5a +b =17,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =7.故f(x)的解析式是f(x)=2x +7.(4)分析 本题中除了所要求取的()x f 形式,同时还存在另个形式⎪⎭⎫⎝⎛x f 1,应通过方程消元的思想,消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的形式,故只需寻求另一个关于()x f 和⎪⎭⎫⎝⎛x f 1的等量关系式即可. 解析 由()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+,① 以1x代替x 得到()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,②由①②联立,求得()()20.f x x x x=-≠ (5)分析 本题考查分段函数的概念,根据函数对复合变量的要求解题.解析 由()()()2010x x g x x ⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩可得()()()()221021,30x x f g x g x x ⎧-≥⎪=-=⎡⎤⎨⎣⎦-<⎪⎩当()21,f x x o =-≥ 即12x ≥时,()()221g f x x =-⎡⎤⎣⎦ ;当()0,f x <即12x < 时,g () 1.g f x =-⎡⎤⎣⎦ 因此()()21212.132x x g f x x ⎧⎛⎫-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎡⎤⎨⎣⎦⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩【解题技巧】求函数解析式的常用方法如下: (1)当已知函数的类型时,可用待定系数法求解.(2)当已知表达式为()[]x g f 时,可考虑配凑法或换元法,若易将含x 的式子配成()x g ,用配凑法.若易换元后求出x ,用换元法. 利用换元法求函数解析式时,应注意对新元t 范围的限制.(3)若求抽象函数的解析式,通常采用方程组法. 若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f x ϕ⎡⎤⎣⎦(如()0a f a x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭或()f a x - 等)时,可用()x ϕ 代替两边所有的x ,得到关于()f x 与()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的另一个方程组,解方程程组即可求出()f x 的解析式,常称这种方法为方程组法. (4)求函数解析式要注意定义域(5)对于分段函数的形式,不论是求值还是求分段函数表达式,一定要注意复合变量的要求. 变式1. 已知函数()x f 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f 1221xx +=,则()x f 的表达式为________.变式2. 已知实数a ≠0函数(),1,2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11,f a f a -=+ 则a 的值为______.解析 当a >0时,1-a <1.1+a >1.得()()2112a a a a -+=--- 解得32a =-.(不符,故舍去); 当a <0时,1-a >1,1+a <1 ,得2(1+a )+a =-(1-a )-2a .解得34a =-.综上,34a =- .变式3.(2015全国II 理5)设函数()()2111log 2,12,x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨⎪⎩…,则()()22log 12f f -+=( )A.3B.6C.9D.12 解析 由题意可得,2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=, 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====,所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C.题型3 求函数的定义域 例3 函数ln 1x y +=的定义域为().A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1] 分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解【解题技巧】对求函数定义域问题的思路是:(1)先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组; (2)解不等式组;(3)将解集写成集合或区间的形式.变式1.(2016江苏5)函数y =的定义域是 . 解析 由题意得2320x x --…,解得31x -剟,因此定义域为[]3,1-.例4 (1)若函数f(x)的定义域为[0,1],求f(2x -1)的定义域. (2)若函数f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域.(3)已知函数y =f(2x +1)的定义域为[1,2],求函数y =f(2x -1)的定义域. 【解析】 (1)由0≤2x-1≤1,得12≤x ≤1,∴函数f(2x -1)的定义域为[12,1].(3)因为函数y =f(2x +1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5,所以函数y =f(x)的定义域为[3,5].由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,所以函数y =f(2x -1)的定义域为[2,3]. 【解题技巧】抽象函数定义域的求法(1)若已知y =f(x)的定义域为[a ,b],则y =f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b,解出. (2)若已知y =f[g(x)]的定义域为[a ,b],则y =f(x)的定义域即为g(x)的值域.变式 1.(2017全国I 理5)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( )A .[2,2]-B . [1,1]-C . [0,4]D . [1,3]【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=,于是()121f x --≤≤,等价于()()()121f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞,单调递减,121x ∴--≤≤,3x ∴1≤≤,故选D .题型4 求函数的值域 1.直接法对于常见的基本初等函数,可以根据其性质直接求出其函数的值域. 一次函数y kx b =+的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数(0)ky k x=≠的定义域为{|0}x x ≠,值域为{|0}y y ≠; 二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的定义域为R ,当0a >时,值域为24{|}4ac b y y a -≥;当0a <时,值域为24{|}4ac b y y a-≤. 【例1】(1)已知函数225,[1,2]y x x x =-+∈-,则该函数的值域为________. (2)求函数2()21,[0,2]f x x ax x =--∈的最大值和最小值.【解析】(1)2(1)4y x =-+,因为12x -≤≤. 所以当1x =-时,max 8y =;当1x =时,min 4y =. 所以所给函数的值域为[4,8].(2)22()()1f x x a a =---,对称轴为x a =.综上所述,当0a <时,min ()1f x =-,max ()34f x a =-; 当0≤a <1时,2min ()1f x a =--,max ()34f x a =-; 当1≤a ≤2时,2min ()1f x a =--,max ()1f x =-;当2a >时,min ()34f x a =-,min ()(2)34f x f a ==-,max ()(0)1f x f ==-. 【评注】二次函数2y ax bx c=++在闭区间],[n m 上的值域要同时考虑最大值和最小值,一般是通过讨论对称轴与区间的左右位置关系,来确定函数在区间上的大致图像,结合图像寻找函数的最高点与最低点,进一步确定最大值和最小值,一般需要分四种情况讨论,即;2m a b ≤-;22n m a b m +≤-<;22n a b n m ≤-<+n a b>-22.单调性法【例2】已知函数1-+=x x y ,则该函数的值域是 .【解析】此函数的定义域为),1[+∞,且是增函数,当1=x 时,1min =y ,函数的值域为[)+∞,1.【评注】函数解析式中的每个部分的函数在同一区间上同增同减,这个时候可以利用单调性求函数的值域.【变式】已知函数23y x =-则该函数的值域是 . 【解析】函数在其定义域5(,]2-∞上是减函数,∴当52x =时,min 112y =-.故所求函数的值域是11,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.3.分离常数法 【例3】求函数511x y x -=+的值域. 【解析】515(1)6655111x x y x x x -+-===-≠+++,值域为{|5}y y ≠. 【评注】形如)0(≠++=c d cx b ax y 可用分离常数法求值域,值域是}|{c a y y ≠;dc b a y xx ++=或b x ax y ++=sin sin 的函数可用分离常数法求值域.对于分子、分母均为二次式的分式函数求值域,也常用分离常数法,将分子降次为一次式后求解.若函数化为反比例型函数(0)ky a k x=+≠,由于0k x≠,则直接知y a ≠. 【变式】已知函数22311x y x -=+,则该函数的值域为 .【解析】2223(1)44311x y x x +-==-++,∵22411041x x +≥⇒<≤+,∴值域是[1,3)-.4.换元法【例4】已知函数y x =________.5.三角换元法【例5】已知函数234x x y -+=,则该函数的的值域是 .【解析】y x =x =, 可设αsi n 32=x ,[,]22ππα∈-,∴α=,∴2cos )y ααα+)3sin(334πα+=,∵5636πππα-≤+≤,∴所给函数的值域为[.【评注】对于被开方数含有平方的模式,可以利用三角函数知识进行三角换元,换元的目的是让式子中的根号去掉,简化式子,方便求解范围,常见的是利用平方关系换元, 其中换元后α的范围的限定要以不影响x 的取值,运算方便为原则.【变式】已知函数y x =则该函数的值域是 . 【解析】设αcos =x []πα,0,∈,则)4sin(2cos sin πααα+=+=y ,∵4544,0ππαππα≤+≤∴≤≤,∴1)4sin(22≤+≤-πα,即值域为[-.6.有界性法【例6】求函数2211x y x -=+的值域.【解析】由2211x y x-=+,得211y x y -=+.∵02≥x ,∴011≥+-y y .∴11≤<-y ,即函数值域为(-1,1]. 【评注】在式中只.出现2x 或x a 或sin x 或cos x 型,可以反解出x ,即用含y 的表达式来表述出2x 或x a 或sin x 或cos x 等,然后利用其范围得到关于y 的不等式,通过解不等式得到求其值域【变式】已知函数2sin 3sin 2x y x -=+;则该函数的值域是 .【解析】由2sin 3sin 2x y x -=+,得32sin 2y x y +=-.∵1|s i n |≤x ,∴3212y y +≤-.∴153y -≤≤-.即函数值域为1[5,]3--.7.平方法【例7】已知函数y =M ,最小值为m ,则mM 的值为 .【评注】注意根式的结构特征,平方后根式外边的x 能抵消,根号里是一个二次函数,可用二次函数求出最值,或由用均值不等式求最大值,典型特征是两个根式被开方数之和为定值,如134x x -++=.【变式1】已知函数y =则该函数的值域为________.【解析】易知11≤≤-x,∴22[2,4]y =+,又0y ≥,故函数的值域是]2,2[.8.判别式法【例8】求函数22221x x y x x -+=++的值域.【评注】原分式函数定义域是全体实数,即对任何实数x 都是等式成立,等价于一元二次方程总有两个实数解,只需要判别式为非负数即可;特别应注意的是,关于x 的方程2(1)(1)20y x y x y -+-++=是类二次方程,只有一元二次方程在实数范围内有解,才能使用判别式,这就是判别式法的基本原理. 【变式】已知函数432+=x xy ,则该函数的值域 . 【解析】:2233404xy yx x y x =⇔-+=+.若20,340y yx x y ≠-+=有两个实数解,29160y ∆=-≥,解得3344y -≤≤且0.y ≠ 若0,y =230.4xy x ==+0x =,符合题意 ∴函数432+=x x y 的值域是]43,43[-。

高三数学-2018年浙江高考复习均值不等式课件 精品

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4.在区间[1/2,2]上,函数f(x)=x2+bx+c (b、c∈R) 2 x x 1 与g(x)= 在同一点取得相同的最小值, x 求f(x)在区间[1/2,2]上的知x>0,y>0, x+2y=1,求 的最小值。 x y
变题1:已知x>0,y>0, x+2y=1, a>0, b>0。
2
最值的求法。
典例精析
相关链接: x2 y 2 1.已知x>y>0,且xy=1。求 的最小值及 x y 此时x、y的值。
1 1 n 2.设x>y>z,n∈N*,且 恒 x y y z x z 成立,求n的最大值。
3.已知x>0,y>0, x 求m的最小值。
y m x y 恒成立,
题后反思:
y ax
y
1.对于应用性问题建立适当的数学模型至关重要。 2.对于类似于 b 型的函数最值的求解。
x
x
课堂小结
1.在运用均值不等式时,要特别注意 “拆、拼、凑”等技巧,使其满足“正”、 “定”、“等”的条件。 2.正确理解:“和一定,相等时,积 最大;积一定,相等时,和最小。” 3.注意掌握均值不等式的逆用、变形 等,注重数学的思维和能力的培养。

1.二元均值不等式具有将“和式”转化为 “积式”和将“积式”转化为“和式”的放 缩功能。 2.“和定积最大,积定和最小”,即两个正 数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定 值,则可求其和的最小值。 口诀:一“正”,二“定”,三“等号”。 3.创设应用均值不等式的条件,合理拆分项 或拼凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的目 的在于等号能够成立。
a 2 b2 ab 2 a 2 b 2 2 ab 2 a ,bR 2 2 a b a b 2 2 2 ab a b 2 ab ab b 0 a 0, 2

【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书:第10章 第6讲离散型随机变量及其分布列含解析

【精品】浙江专用2018年高考数学总复习教师用书:第10章 第6讲离散型随机变量及其分布列含解析

第6讲 离散型随机变量及其分布列最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单应用.知 识 梳 理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则表的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质:①p i ≥0(i =1,2,…,n );②p 1+p 2+…+p n =1 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X 服从两点分布,其分布列为,其中p =P (X =1)(2)超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n -kN -MC n N,k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量X服从超几何分布.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.( )(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(3)如果随机变量X的分布列由下表给出,则它服从两点分布.( )(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )解析对于(1),离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件,故各个概率之和等于1,故(1)不正确;对于(3),X的取值不是0,1,故不是两点分布,所以(3)不正确.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取两个,可以作为随机变量的是( )A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数解析选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.答案 C3.(选修2-3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下:则p 为( ) A.16B.13C.14D.112解析 由分布列的性质,112+16+13+16+p =1, ∴p =1-34=14.答案 C4.设随机变量X 等可能取值1,2,3,…,n ,如果P (X <4)=0.3,那么n =______. 解析 由于随机变量X 等可能取1,2,3,…,n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)=P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=3n=0.3,∴n =10.答案 105.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是( ) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6D.ξ≤5解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6. 答案 C6.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X 个红球,则随机变量X =1的概率为________.解析 P (X =1)=C 13C 12C 25=610=35.答案35考点一 离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求:(1)2X+1(2)|X-1|的分布列.解由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.首先列表为(1)2X+1的分布列(2)|X-1|规律方法(1)此时要注意检验,以保证两个概率值均为非负数.(2)若X 是随机变量,则η=|X -1|等仍然是随机变量,求它的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率,进而写出分布列.【训练1】 (2017·丽水月考)设随机变量X 的概率分布列如下表,则P (|X -2|=1)=( )A.712B.2C.12D.16解析 由|X -2|=1得X =1或3,m =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫16+14+13=14,∴P (|X -2|=1)=P (X=1)+P (X =3)=16+14=512.答案 C考点二 离散型随机变量的分布列【例2】 (2016·天津卷节选)某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列.解 (1)由已知,有P (A )=C 13C 14+C 23C 210=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X =0)=C 23+C 23+C 24C 210=415, P (X =1)=C 13C 13+C 13C 14C 210=715,P(X=2)=C13C14C210=415.所以,随机变量X的分布列为规律方法(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i=1,2,3,…,n);(2)求出各取值的概率P(X=x i)=p i;(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 提醒求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.【训练2】某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.解(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=120+520=310.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)=520=14;P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=120+920+520=34.所以X的分布列为考点三超几何分布【例3】(2017·嘉兴模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学,其中2人只会法语;2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解(1)设事件A:选派的三人中恰有2人会法语,则P(A)=C25C12C37=47.(2)依题意知X的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C34C37=435,P(X=1)=C24C13C37=1835,P(X=2)=C14C23C37=1235,P(X=3)=C33C37=135,∴X的分布列为规律方法的个数.超几何分布的特征是:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.【训练3】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求X的分布列.解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则P(A)=C13·C27C310=2140.(2)依据条件,X服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C k3·C3-k7C310(k=0,1,2,3).∴P(X=0)=C03C37C310=724,P(X=1)=C13C27C310=2140,P(X=2)=C23C17C310=740,P(X=3)=C33C07C310=1120.因此X的分布列为[思想方法]1.对于随机变量X 的研究,需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率. [易错防范]掌握离散型随机变量的分布列,须注意:(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量X 所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”,只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.(3)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型,要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布,然后利用相关公式进行计算.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.某射手射击所得环数X 的分布列为A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51解析 P (X >7)=P (X =8)+P (X =9)+P (X =10)=0.28+0.29+0.22=0.79.答案 C2.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为:则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32-336D.32+336解析由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2-3q ≥0,q 2≥0,13+2-3q +q 2=1,解得q =32-336.答案 C3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( ) A.0B.12C.13D.23解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1, 且P (X =1)=2P (X =0),由P (X =1)+P (X =0)=1, 得P (X =0)=13.答案 C4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X =2)B.P (X ≤2)C.P (X =4)D.P (X ≤4)解析X服从超几何分布P(X=k)=C k7C10-k8C1015,故k=4.答案 C5.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P=C23C14C37=1235.答案 C二、填空题6.(2017·金华调研)设离散型随机变量X的分布列为(1)则m=________(2)若随机变量Y=|X-2|,则P(Y=2)=________.解析由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0,∴P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.答案(1)0.3 (2)0.57.袋中有4只红球3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量X,则P(X≤6)=________.解析P(X≤6)=P(取到3只红球1只黑球)+P(取到4只红球)=C34C13C47+C44C47=1335.答案13 358.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数η的分布列为________.解析η的所有可能值为0,1,2.P(η=0)=C11C11C12C12=14,P(η=1)=C11C11×2C12C12=12,P(η=2)=C11C11C12C12=14.∴η的分布列为答案三、解答题9.(2017·浙江三市十二校联考)某高校一专业在一次自主招生中,对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试,结果如下表:语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2 5 .(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率;(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名,设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X,求随机变量X的分布列.解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”,∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6+n)名,∴P(A)=6+n20=25,解得n=2,∴m=4,用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”,∴P(B)=1-C26C29=712.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2.∵20名学生中,语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名,∴P(X=0)=C212C220=3395,P(X=1)=C18C112C220=4895,P(X=2)=C28C220=1495,∴X的分布列为10.300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额,随机变量X 的分布列. 解 (1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A , 则P (A )=A 23A 34=14,故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20.P (X =0)=14,P (X =5)=2A 24=16,P (X =10)=1A 24+A 22A 34=16,P (X =15)=C 12·A 22A 34=16,P (X =20)=A 33A 44=14.所以,随机变量X 的分布列为(建议用时:25分钟)11.随机变量X 的分布列如下:其中a ,b ,c ) A.16B.13C.12D.23解析 ∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c .又a +b +c =1,∴b =13,∴P (|X |=1)=a +c =23.答案 D12.随机变量X 的概率分布规律为P (X =n )=a n (n +1)(n =1,2,3,4),其中a 是常数,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.56解析 因为P (X =n )=a n (n +1)(n =1,2,3,4),所以a 1×2+a 2×3+a 3×4+a 4×5=45a =1.∴a =54,故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=P (X =1)+P (X =2)=12×54+16×54=56.答案 D13.(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量,现抽取5件产品,测量产品中微量元素x ,y 的含量(单位:毫克),测量数据如下:. 现从上述5件产品中,随机抽取2件,则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________.解析 5件抽测品中有2件优等品,则X 的可能取值为0,1,2.P (X =0)=C 23C 25=0.3,P (X =1)=C 13·C 12C 25=0.6,P (X =2)=C 22C 25=0.1.∴优等品数X 的分布列为答案14.盒内有大小相同的9个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率;(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设X为取出的3个球中白色球的个数,求X的分布列.解(1)P=1-C37C39=712.(2)记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C,则P(B+C)=P(B)+P(C)=C12C23C39+C22C14C39=542.(3)X可能的取值为0,1,2,3,X服从超几何分布,所以P(X=k)=C k3C3-k6C39,k=0,1,2,3.故P(X=0)=C36C39=521,P(X=1)=C13C26C39=1528,P(X=2)=C23C16C39=314,P(X=3)=C33C39=184.所以X的分布列为15.3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x ,y ,记X =|x -2|+|y -x |.(1)求随机变量X 的最大值,并求事件“X 取得最大值”的概率; (2)求随机变量X 的分布列.解 (1)由题意知,x ,y 可能的取值为1,2,3, 则|x -2|≤1,|y -x |≤2,所以X ≤3,且当x =1,y =3或x =3,y =1时,X =3. 因此,随机变量X 的最大值为3.而有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),所以P (X =3)=29.故随机变量X 的最大值为3,事件“X 取得最大值”的概率为29. (2)X 的所有取值为0,1,2,3.当X =0时,只有x =2,y =2这一种情况,当X =1时,有x =1,y =1或x =2,y =1或x =2,y =3或x =3,y =3四种情况,当X =2时,有x =1,y =2或x =3,y =2两种情况. 当X =3时,有x =1,y =3或x =3,y =1两种情况. 所以P (X =0)=19,P (X =1)=49,P (X =2)=29,P (X =3)=29.则随机变量X 的分布列为。

浙江2018版高考数学复习三角函数解三角形3.1导数的概念及运算教师用书

浙江2018版高考数学复习三角函数解三角形3.1导数的概念及运算教师用书

(浙江专用)2018版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.1 导数的概念及运算教师用书1.导数与导函数的概念(1)一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f x0+Δx-f x0Δx,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=limΔx→0Δy Δx=limΔx→0f x0+Δx-f x0Δx.(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)[f xg x ]′=fx g x -f x gx[g x2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 【知识拓展】(1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. (2)[1fx ]′=-f x [fx2(f (x )≠0).(3)[af (x )+bg (x )]′=af ′(x )+bg ′(x ).(4)函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y =f (x )在x =x 0附近的平均变化率.( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同.( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f (x )=sin(-x )的导数是f ′(x )=cos x .( × )1.(教材改编)若f (x )=x ·e x,则f ′(1)等于( ) A .0 B .e C .2e D .e 2答案 C解析 f ′(x )=e x+x ·e x ,∴f ′(1)=2e.2.如图所示为函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y =f ′(x )的图象知y =f ′(x )在(0,+∞)上单调递减,说明函数y =f (x )的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A ,C.又由图象知y =f ′(x )与y =g ′(x )的图象在x =x 0处相交,说明y =f (x )与y =g (x )的图象在x =x 0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.3.设函数f (x )的导数为f ′(x ),且f (x )=f ′(π2)sin x +cos x ,则f ′(π4)=________.答案 - 2解析 因为f (x )=f ′(π2)sin x +cos x ,所以f ′(x )=f ′(π2)cos x -sin x ,所以f ′(π2)=f ′(π2)cos π2-sin π2,即f ′(π2)=-1,所以f (x )=-sin x +cos x .f ′(x )=-cos x -sin x .故f ′(π4)=-cos π4-sin π4=- 2.4.曲线y =-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程是________________. 答案 5x +y +2=0解析 因为y ′|x =0=-5e 0=-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为y -(-2)=-5(x -0),即5x +y +2=0.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数.(1)y =x 2sin x ;(2)y =ln x +1x ;(3)y =cos x e x ;(4)y =sin(2x +π3);(5)y =ln(2x -5).解 (1)y ′=(x 2)′·sin x +x 2·(sin x )′ =2x sin x +x 2cos x .(2)y ′=(ln x +1x )′=(ln x )′+(1x)′=1x -1x2.(3)y ′=(cos xex )′=cos x ′·e x -cos x e x′e x 2=-sin x +cos x ex. (4)设u =2x +π3,则y =sin u ,则y ′=(sin u )′·u ′=cos(2x +π3)·2∴y ′=2cos(2x +π3).(5)令u =2x -5,则y =ln u ,则y ′=(ln u )′·u ′=12x -5·2=22x -5,即y ′=22x -5.思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.(1)f (x )=x (2 016+ln x ),若f ′(x 0)=2 017,则x 0等于( )A .e 2B .1C .ln 2D .e(2)若函数f (x )=ax 4+bx 2+c 满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( )A .-1B .-2C .2D .0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )=2 016+ln x +x ×1x=2 017+ln x ,故由f ′(x 0)=2 017,得2 017+lnx 0=2 017,则ln x 0=0,解得x 0=1.(2)f ′(x )=4ax 3+2bx , ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)=2, ∴f ′(-1)=-2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数,当x <0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y =f (x )在点(1,-3)处的切线方程是________.(2)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A .x +y -1=0 B .x -y -1=0 C .x +y +1=0D .x -y +1=0答案 (1)2x +y +1=0 (2)B解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=ln x -3x ,又f (x )为偶函数,f (x )=ln x -3x ,f ′(x )=1x-3,f ′(1)=-2,切线方程为y =-2x -1,即2x +y +1=0.(2)∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0).又∵f ′(x )=1+ln x ,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0=x 0ln x 0,y 0+1=+ln x 0x 0,解得x 0=1,y 0=0.∴切点为(1,0),∴f ′(1)=1+ln 1=1.∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 (2016·舟山模拟)函数y =e x的切线方程为y =mx ,则m =________.(2)已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,与f (x )图象的切点为(1,f (1)),则m 等于( )A .-1B .-3C .-4D .-2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0,y 0),由y ′=e x, 得y ′|x =x 0=0x e ,从而切线方程为y -0x e =0x e (x -x 0), 又切线过定点(0,0),从而-0x e =0x e (-x 0), 解得x 0=1,则m =e. (2)∵f ′(x )=1x,∴直线l 的斜率k =f ′(1)=1.又f (1)=0,∴切线l 的方程为y =x -1.g ′(x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0), 则有x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 20+mx 0+72,m <0,于是解得m =-2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图,点A (2,1),B (3,0),E (x,0)(x ≥0),过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ,则函数S =f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0,+∞),当x ∈[0,2]时,在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大,即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大,因此,函数S =f (x )的图象是上升的且图象是下凸的;当x ∈(2,3)时,在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小,即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小,因此,函数S =f (x )的图象是上升的且图象是上凸的; 当x ∈[3,+∞)时,在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0,即斜率f ′(x )在[3,+∞)内为常数0,此时,函数图象为平行于x 轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值:k =f ′(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)=k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由⎩⎪⎨⎪⎧y 1=f x 1,y 0-y 1=f x 1x 0-x 1求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)(2016·台州模拟)已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A .3 B .2 C .1 D.12(2)(2016·临海模拟)设曲线y =1+cos x sin x 在点(π2,1)处的切线与直线x -ay +1=0平行,则实数a 等于( ) A .-1 B.12 C .-2 D .2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0,∵曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,∴y ′=x 2-3x ,即x 02-3x 0=12,解得x 0=3或x 0=-2(舍去,不符合题意), 即切点的横坐标为3. (2)∵y ′=-1-cos xsin 2x ,∴2'x y π==-1.由条件知1a=-1,∴a =-1.3.求曲线的切线方程典例 若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y =x 3-3x 2+2x 和y =x 2+a 都相切,求a 的值. 错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y =x 3-3x 2+2x 上. (1)当O (0,0)是切点时,由y ′=3x 2-6x +2,得y ′|x =0=2,即直线l 的斜率为2,故直线l 的方程为y =2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,y =x 2+a ,得x 2-2x +a =0,依题意Δ=4-4a =0,得a =1.(2)当O (0,0)不是切点时,设直线l 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切于点P (x 0,y 0),则y 0=x 30-3x 20+2x 0,k =0'x x y ==3x 20-6x 0+2,①又k =y 0x 0=x 20-3x 0+2,②联立①②,得x 0=32(x 0=0舍去),所以k =-14,故直线l 的方程为y =-14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =-14x ,y =x 2+a ,得x 2+14x +a =0,依题意,Δ=116-4a =0,得a =164.综上,a =1或a =164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程,要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1.若f (x )=2xf ′(1)+x 2,则f ′(0)等于( ) A .2 B .0 C .-2 D .-4 答案 D解析 f ′(x )=2f ′(1)+2x ,令x =1,则f ′(1)=2f ′(1)+2,得f ′(1)=-2, 所以f ′(0)=2f ′(1)+0=-4.2.(2016·东阳模拟)若曲线f (x )=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为( ) A .(-1,2) B .(1,-3) C .(1,0) D .(1,5)答案 C解析 设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为f ′(x )=4x 3-1, 所以f ′(x 0)=4x 30-1=3,即x 0=1. 把x 0=1代入函数f (x )=x 4-x ,得y 0=0,所以点P 的坐标为(1,0).3.若直线y =x 是曲线y =x 3-3x 2+px 的切线,则实数p 的值为( ) A .1 B .2 C.134 D .1或134答案 D解析 ∵y ′=3x 2-6x +p ,设切点为P (x 0,y 0),∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20-6x 0+p =1,x 30-3x 20+px 0=x 0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=0,p =1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=32,p =134.4.已知曲线y =ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( ) A .e B .-e C.1e D .-1e答案 C解析 y =ln x 的定义域为(0,+∞),且y ′=1x,设切点为(x 0,ln x 0),则y ′|x =x 0=1x 0,切线方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0),因为切线过点(0,0),所以-ln x 0=-1, 解得x 0=e ,故此切线的斜率为1e.5. (2016·杭州质检)已知y =f (x )是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线,令g (x )=xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)等于( )A .-1B .0C .2D .4 答案 B解析 由题图可知曲线y =f (x )在x =3处切线的斜率等于-13,∴f ′(3)=-13.∵g (x )=xf (x ),∴g ′(x )=f (x )+xf ′(x ),∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3),又由题图可知f (3)=1,∴g ′(3)=1+3×(-13)=0. 6.已知函数f (x )=x +1,g (x )=a ln x ,若在x =14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行,则实数a 的值为( )A.14B.12C .1D .4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )=1212x -,g ′(x )=a x , 由f ′(14)=g ′(14),得12×121()4-=a 14, 可得a =14,经检验,a =14满足题意. 7.已知函数f (x )满足f (x )=f ′(1)ex -1-f (0)x +12x 2.那么f (x )的解析式为________. 答案 f (x )=e x -x +12x 2 解析 由已知得f ′(x )=f ′(1)e x -1-f (0)+x ,所以f ′(1)=f ′(1)-f (0)+1,即f (0)=1.又f (0)=f ′(1)e -1,所以f ′(1)=e.从而f (x )=e x -x +12x 2. 8.(2016·金华模拟)曲线y =log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________.答案 12ln 2解析 y ′=1x ln 2,∴k =1ln 2, ∴切线方程为y =1ln 2(x -1). ∴三角形面积S =12×1×1ln 2=12ln 2.9.若函数f (x )=12x 2-ax +ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________. 答案 [2,+∞)解析 ∵f (x )=12x 2-ax +ln x ,定义域为(0,+∞), ∴f ′(x )=x -a +1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )存在零点,即x +1x -a =0有解,∴a =x +1x≥2. *10.已知曲线f (x )=x n +1(n ∈N *)与直线x =1交于点P ,设曲线y =f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ,则log 2 016x 1+log 2 016x 2+…+log 2 016x 2 015的值为________.答案 -1解析 f ′(x )=(n +1)x n,k =f ′(1)=n +1,点P (1,1)处的切线方程为y -1=(n +1)(x -1),令y =0,得x =1-1n +1=n n +1,即x n =n n +1, ∴x 1·x 2·…·x 2 015=12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016=12 016, 则log 2 016x 1+log 2 016x 2+…+log 2 016x 2 015=log 2 016(x 1x 2…x 2 015)=-1.11.已知曲线y =13x 3+43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程.解 (1)∵P (2,4)在曲线y =13x 3+43上,y ′=x 2, ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x =2=4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.(2)设曲线y =13x 3+43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0,13x 30+43),则切线的斜率为0'x x y =x 0=x 20.∴切线方程为y -(13x 30+43)=x 20(x -x 0),即y =x 20·x -23x 30+43. ∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 20-23x 30+43, 即x 30-3x 20+4=0,∴x 30+x 20-4x 20+4=0,∴x 20(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为x -y +2=0或4x -y -4=0.12.已知函数f (x )=13x 3-2x 2+3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.解 (1)由题意得f ′(x )=x 2-4x +3,则f ′(x )=(x -2)2-1≥-1,即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知, ⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥-1,-1k ≥-1,解得-1≤k <0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x +3<0或x 2-4x +3≥1,得x ∈(-∞,2-2]∪(1,3)∪[2+2,+∞).*13.设函数f (x )=ax -b x,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解 (1)方程7x -4y -12=0可化为y =74x -3.当x =2时,y =12.又f ′(x )=a +b x 2, 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a -b 2=12,a +b 4=74, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =3.故f (x )=x -3x . (2)设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x 2,知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为 y -y 0=203(1)x +(x -x 0), 即y -⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-3x 0=203(1)x +(x -x 0). 令x =0,得y =-6x 0, 从而得切线与直线x =0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-6x 0. 令y =x ,得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为S =12⎪⎪⎪⎪⎪⎪-6x 0|2x 0|=6. 故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。

(浙江版)高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和(测)(2021学年)

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第02节 等差数列及其前n项和一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)1.【2017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ,若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=,24272n a a a ++⋅⋅⋅+=,且1233n a a -=,则该数列的公差是( )A。

3 B 。

-3 C.-2 D 。

—1 【答案】B.2.【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中,564a a +=,则10122log (222)a a a ⋅= ( )A。

10 B.20 C。

40 D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===,所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B 。

3.数列{}n a 为等差数列,满足242010a a a +++=,则数列{}n a 前21项的和等于( )A .212B .21C .42 D.84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式,可知22010()102a a +=,即2202a a +=,所以数列{}n a 前21 项的和为1212121()212a a S +==,故答案为B.4.【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =,对于任意*,m n N ∈,有3n m n a a m +=+,则{}n a 前5项和5S =( )A 。

2018年高考浙江卷数学试题解析(精编版)(解析版)

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2018年高考浙江卷数学试题解析(精编版)(解析版)点睛:先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数,再根据共轭复数的定义确定结果.详解:,∴共轭复数为,选B.点睛:本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.6. 已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立,而必要性显然不成立.详解:因为,所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行,所以是的充分不必要条件,故选A.点睛:充分、必要条件的三种判断方法:(1)定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.(2)等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.7. 设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,A. D(ξ)减小B. D(ξ)增大C. D(ξ)先减小后增大D. D(ξ)先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望,再求方差,最后根据方差函数确定单调性.详解:,,,∴先增后减,因此选D.点睛:8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S−AB−C的平面角为θ3,则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角,再构造直角三角形,根据边的大小关系确定角的大小关系.详解:设O为正方形ABCD的中心,M为AB中点,过E作BC的平行线EF,交CD于F,过O作ON垂直EF于N,连接SO,SN,OM,则SO垂直于底面ABCD,OM垂直于AB,因此从而因为,所以即,选D.点睛:线线角找平行,线面角找垂直,面面角找垂面.9. 已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解:设,则由得,由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.点睛:以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系,是解决这类问题的一般方法.10. 已知成等比数列,且.若,则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式,再确定公比的取值范围,进而作出判断.详解:令则,令得,所以当时,,当时,,因此,若公比,则,不合题意;若公比,则但,即,不合题意;因此,,选B.点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线(知识点讲解)【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义,求轨迹方程及焦点三角形,凸显数学运算、直观想象的核心素养.2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线),结合几何量的计算,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.3.考查直线与双曲线的位置关系,凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养.【知识点展示】(一)双曲线的定义及标准方程1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内;(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3)这一定值一定要小于两定点的距离.2.双曲线的标准方程标准方程x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0) y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0) 图形(二)双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0) y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤-a ,y ∈Rx ∈R ,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A 1(-a,0),A 2(a,0) A 1(0,-a ),A 2(0,a ) 渐近线y =±b axy =±a bx离心率 e =ca,e ∈(1,+∞),其中c =a 2+b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|=2a ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|=2b ;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长.a 、b 、c 的关系c 2=a 2+b 2(c >a >0,c >b >0)(三)常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线,其标准方程可写作:x 2-y 2=λ(λ≠0). (2)等轴双曲线⇔离心率e =2⇔两条渐近线y =±x 相互垂直. 2.双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a +c ,|PF 2|min =c -a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为2b 2a,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a .(4)设P ,A ,B 是双曲线上的三个不同的点,其中A ,B 关于原点对称,直线P A ,PB 斜率存在且不为0,则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则S △PF 1F 2=b 2·1tan θ2,其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一:双曲线的定义及其应用例1.(2020·浙江省高考真题)已知点O (0,0),A (–2,0),B (2,0).设点P 满足|PA |–|PB |=2,且P 为函数y =234x -|OP |=( )A .222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<,所以点P 在以,A B 为焦点,实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上,由2,1c a ==可得,222413bc a=-=-=,即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>,而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩,解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即13271044OP =+= 故选:D.例2.(2017·上海·高考真题)设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ,P 为该双曲线上的一点,若1||5PF =,则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>,可得3a =,根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±,又因为15PF =,所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.2.用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是哪一支,还是全部曲线. 3.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.4.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 题型二:双曲线的标准方程例3.(2021·北京高考真题)双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( ) A .2221x y -= B .2213y x -=C .22531x y -=D .22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =,再将点2,3代入双曲线的方程,求出a 的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==,则2c a =,223b c a a -=,则双曲线的方程为222213x y a a-=,将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==,解得1a =,故3b =因此,双曲线的方程为2213y x -=.故选:B例4. (2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ,()20,3F -,P 是双曲线上一点且124PF PF -=,则双曲线的标准方程为( ) A .22145x y -=B .22154x y -=C .22145y x -=D .22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>,由双曲线的定义知3c =,2a =,即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>,半焦距为c ,则由题意可知3c =,24a =,即2a =,故222945b c a =-=-=,所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选:C .例5.【多选题】(2020·海南·高考真题)已知曲线22:1C mx ny +=.( ) A .若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上 B .若m =n >0,则C n C .若mn <0,则C 是双曲线,其渐近线方程为my x n=±- D .若m =0,n >0,则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解,0m n >>时表示椭圆,0m n =>时表示圆,0mn <时表示双曲线,0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ,若0m n >>,则221mx ny +=可化为22111x y m n +=, 因为0m n >>,所以11m n<, 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确;对于B ,若0m n =>,则221mx ny +=可化为221x y n+=, 此时曲线C 表示圆心在原点,半径为nn的圆,故B 不正确; 对于C ,若0mn <,则221mx ny +=可化为22111x y m n +=, 此时曲线C 表示双曲线, 由220mx ny +=可得my x n=±-,故C 正确; 对于D ,若0,0m n =>,则221mx ny +=可化为21y n=, ny n=±,此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线,故D 正确;故选:ACD. 【规律方法】1.求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x 轴上或y 轴上,则设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a ,b ,c 的方程组,解出a 2,b 2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解). (2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:一是分类讨论,注意考虑要全面;二是注意巧设双曲线:①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>,②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠,(3)等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等,均为待定系数法求标准方程.2.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下:(1)定位置:根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,不能确定时应分类讨论.(2)设方程:根据焦点位置,设方程为x 2a 2-y 2b 2=1或y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),焦点不定时,亦可设为mx 2+ny 2=1(m ·n <0);(3)寻关系:根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组;(4)得方程:解方程组,将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求. 3.双曲线方程的几种形式:(1)双曲线的一般方程:当ABC ≠0时,方程Ax 2+By 2=C可以变形为x 2C A +y 2C B=1,由此可以看出方程Ax 2+By 2=C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0,且A ,B 异号.此时称方程Ax 2+By 2=C 为双曲线的一般方程.利用一般方程求双曲线的标准方程时,可以将其设为Ax 2+By 2=1(AB <0),将其化为标准方程,即x 21A +y 21B=1.因此,当A >0时,表示焦点在x 轴上的双曲线;当B >0时,表示焦点在y 轴上的双曲线.(2)共焦点的双曲线系方程:与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2+λ-y 2b 2-λ=1(a >0,b >0);与双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2+λ-x 2b 2-λ=1(a >0,b >0).题型三:双曲线的实际应用例6.(2023·全国·高三专题练习)江西景德镇青花瓷始创于元代,到明清两代达到了顶峰,它蓝白相映怡然成趣,晶莹明快,美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面,如图所示,若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是( )A .221169x y -=B .2214x y -=C .22189x y -=D .22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上,设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>,代入建立方程组,求解即可得双曲线的标准方程.【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,点()4,3在该双曲线上.设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>,则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =,3b =,故该双曲线的标准方程是22143x y -=.故选:D.例7.(2021·长丰北城衡安学校高二月考(理))如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0,b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,则杯身最细之处的周长为( )A .2B .3πC .3D .4π【分析】103239,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍, 可设5339(2),()M m N m , 代入方程,即可解得23,3a a == 3,从而得解. 【详解】103239,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍, 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= , 即22222213251312,14m m a b a b-=-=,作差可得2273124a =,解得23,3a a ==,所以杯身最细处的周长为23π . 故选:C 【总结提升】解答实际应用问题时,要注意先将实际问题数学化,条件中有两定点,某点与这两定点的距离存在某种联系,解题时先画出图形,分析其关系,看是否与椭圆、双曲线的定义有关,再确定解题思路、步骤. 题型四 已知双曲线的方程,研究其几何性质例8.(2018·浙江·高考真题)双曲线221 3x y -=的焦点坐标是( )A .()2,0-,)2,0B .()2,0-,()2,0C .(0,2-,(2D .()0,2-,()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置,再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=,所以焦点坐标可设为(,0)c ±,因为222314,2c a b c =+=+==,所以焦点坐标为(20),选B.例9.(2021·全国高考真题(文))双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________. 5【分析】先求出右焦点坐标,再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知,22543c a b ++,所以双曲线的右焦点为(3,0), 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.(2020·北京·高考真题)已知双曲线22:163x y C -=,则C 的右焦点的坐标为_________;C 的焦点到其渐近线的距离是_________. 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标,并求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中,6a =,3b =,则223c a b =+=,则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0, 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±,即20x y ±=, 所以,双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为:()3,0;3.例11.(2021·全国·高考真题(理))已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=,则C 的焦距为_________. 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式,得出,a b 的关系,再结合双曲线中22,a b 对应关系,联立求解m ,再由关系式求得c ,即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-,即3b a m =,同时平方得2223b a m =,又双曲线中22,1a m b ==,故231m m=,解得3,0m m ==(舍去),2223142c a b c =+=+=⇒=,故焦距24c =. 故答案为:4.例12.(2021·全国·高考真题)若双曲线22221x y a b -=的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =,结合222+=a b c 得出,a b 关系,即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解:由题可知,离心率2ce a ==,即2c a =, 又22224a b c a +==,即223b a =,则3ba=, 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为:3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质,应先将方程化为标准形式,找出对应的a 、b ,利用c 2=a 2+b 2求出c ,再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.2.画双曲线图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的草图.3.双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a >0,b >0易误认为与椭圆标准方程中a ,b 的要求相同. 若a >b >0,则双曲线的离心率e ∈(1,2); 若a =b >0,则双曲线的离心率e =2; 若0<a <b ,则双曲线的离心率e > 2.4.注意区分双曲线中的a ,b ,c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系,在椭圆中a 2=b 2+c 2,而在双曲线中c 2=a 2+b 2.5.等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e =2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 6.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7.渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中Δ≥0等来解决.题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. (2022·天津·高考真题)已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ,与双曲线的渐近线交于点A ,若124F F A π∠=,则双曲线的标准方程为( )A .22110x y -=B .22116y x -=C .2214y x -=D .2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值,求出点A 的坐标,分析可得112AF F F =,由此可得出关于a 、b 、c 的方程组,解出这三个量的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-,则5c =,则()15,0F -、()25,0F ,不妨设点A 为第二象限内的点,联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩,即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭,因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=,则12F F A △为等腰直角三角形,且112AF F F =,即2=bc c a ,可得2ba=, 所以,22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,因此,双曲线的标准方程为2214y x -=.故选:C.例12.(2021·北京·高考真题)若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2,过点2,3,则该双曲线的方程为( )A .2221x y -= B .2213y x -=C .22531x y -=D .22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =,再将点()2,3代入双曲线的方程,求出a 的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==,则2c a =,223b c a a =-=,则双曲线的方程为222213x y a a-=,将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==,解得1a =,故3b =,因此,双曲线的方程为2213y x -=.故选:B例13.(2018·天津高考真题(文))已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且126,d d +=则双曲线的方程为( )A .22139x y -=B .22193x y -=C .221412x y -=D .221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c (c >0),则A B x x c ==,由22221c y a b-=可得:2b y a =±,不妨设:22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,据此可得:22122bc b bc b d c a b --==+,22222bc b bc b d c a b++==+, 则12226bcd d b c+===,则23,9b b ==, 双曲线的离心率:2229112c b e a a a ==+=+=, 据此可得:23a =,则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx 2-ny 2=1(mn >0),从而直接求得.2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线为y =n m x 的双曲线方程可设为:x 2m 2-y 2n 2=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax ±By =0,那么双曲线的方程可设为A 2x 2-B 2y 2=m (m ≠0);与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2-y 2b 2=λ(λ≠0).题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.(2019·全国·高考真题(文))设F 为双曲线C :22221x y a b -=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( ) A 2B 3C .2 D 5【答案】A【分析】准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 关系,可求双曲线的离心率. 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,又||PQ OF c ==,||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,A ∴为圆心||2cOA =.,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,又P 点在圆222x y a +=上,22244c c a ∴+=,即22222,22c c a e a =∴==.2e ∴=,故选A .例14.(2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试)双曲线2222:1x y C a b -=(0a >,0b >)的左顶点为A ,右焦点为F ,过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ,当BF AF ⊥时满足2AF BF >,则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A .12e << B .312e <<C .322e << D .331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ,再根据给定条件求出|BF |长,列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ,因BF AF ⊥,则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==,而AF a c =+, 于是得22b a c a +>⋅,即222c a a c a-+>⋅,整理得23a c >,从而有32c e a =<,又1e >,所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选:B例15.(2022·浙江·高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ,过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ,交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<.若||3||FB FA =,则双曲线的离心率是_________. 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程,可求出点B ,再根据||3||FB FA =可求得点A ,最后根据点A 在双曲线上,即可解出离心率.【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+,渐近线2:b l y x a=,联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由||3||FB FA =,得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上,于是2222222518181c b c a a b -=,解得:228124c a =,所以离心率36e 4=. 故答案为:364.例16.(2020·全国·高考真题(文))设双曲线C :22221x y a b -= (a >0,b >0)的一条渐近线为y 2,则C 的离心率为_________. 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=,结合双曲线中,,a b c 的关系,即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上,因为其一条渐近线为2y x =,所以2b a =,2213c be a a==+=.故答案为:3 1.在解析几何中,求“范围”问题,一般可从以下几个方面考虑:①与已知范围联系,通过求值域或解不等式来完成;②通过判别式Δ求解;③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解;④利用解析式的结构特点,如a ,a ,|a |等非负性求解.2.求双曲线离心率的取值范围,关键是根据题目条件得到不等关系,并想办法转化为关于a ,b ,c 的不等关 系,结合c 2=a 2+b 2和ca =e 得到关于e 的不等式,然后求解.在建立不等式求e 时,经常用到的结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c -a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题,注意二者参数之间的转化.3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e =c a是一个比值,故只需根据条件得到关于a ,b ,c 的一个关系式,利用b 2=c 2-a 2消去b ,然后变形成关于e 的关系式,并且需注意e >1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=,即得两渐近线方程x a ±y b =0.(3)渐近线的斜率也是一个比值,可类比离心率的求法解答.注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七:与双曲线有关的综合问题例17.(2022·江西·丰城九中高三开学考试(文))已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点,E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点(其中点A 在第一象限),设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心,则ME NE -的取值范围是( )A .4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B .4343⎛ ⎝⎭C .3333⎛ ⎝⎭D .55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质,可知M ,N 的横坐标都是a ,得到MN ⊥x 轴,设直线AB 的倾斜角为θ,有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ,将ME NE -表示为θ的三角函数,结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H 、I 、J , 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=,得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a , ∴122-=HF IF a ,即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ,由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ,则()()002c x c x a +--=, 得0x a =,则E 为直线JM 与x 轴的交点,即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上, 设直线AB 的领斜角为θ,则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ,||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ, 当2πθ=时,||||0ME NE -=; 当2πθ≠时,由题知,2,4,3===ba c a, 因为A ,B 两点在双曲线的右支上, ∴233ππθ<<,且2πθ≠,所以tan 3θ<-或tan 3θ>, ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠, ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ,综上所述,44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选:B.例18.(2018·全国·高考真题(理))已知双曲线C :2213x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形,则|MN |=( ) A .32B .3C .3D .4【答案】B【详解】分析:首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到30FON ︒∠=,根据直角三角形的条件,可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒,根据相关图形的对称性,得知两种情况求得的结果是相等的,从而设其倾斜角为60︒,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程联立,求得33(3,3),(,)22M N -,利用两点间距离公式求得MN 的值.详解:根据题意,可知其渐近线的斜率为33±,且右焦点为(2,0)F , 从而得到30FON ︒∠=,所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒, 根据双曲线的对称性,设其倾斜角为60︒, 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-, 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立, 求得33(3,3),(,)22M N -,所以2233(3)(3)322MN =-++=,故选B.例19.(2020·山东·高考真题)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合,若两曲线相交于M ,N 两点,且线段MN 的中点是点F ,则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质,得到M 的坐标,再带入到双曲线方程中,即可求解. 【详解】由题意知: ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为:224,y px cx =-=-M 在抛物线上,所以(,2),M c c -M 在双曲线上,222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±,又()1,e ∈+∞,2 1.e ∴=+故答案为:21+例20.(2020·全国·高考真题(理))已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点,A 为C 的右顶点,B为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知,2b BF a=,AF c a =-,即可根据斜率列出等式求解即可.【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+,解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩,所以2b BF a =.依题可得,3BF AF =,AF c a =-,即()2223bc a a c a a c a -==--,变形得3c a a +=,2c a =, 因此,双曲线C 的离心率为2. 故答案为:2.例21. (2022·全国·高考真题(理))若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切,则m =_________. 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程,再将圆的方程化为标准式,即可得到圆心坐标与半径,依题意圆心到直线的距离等于圆的半径,即可得到方程,解得即可.【详解】解:双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±,即0x my ±=,不妨取0x my +=,圆22430x y y +-+=,即()2221x y +-=,所以圆心为()0,2,半径1r =,依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+,解得33m =或33m =-(舍去). 故答案为:33.例22. (2022·全国·高三专题练习)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点.若||3||FA FB =,则k =________________. 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=,直线为1x y c k =-,即1433x y a k =-,联立方程,设()()1122,,,A x y B x y ,由||3||FA FB =,得123y y =,由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=, 所以22313b a =,双曲线的方程为22223113x y a a -=,设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-,即1433x y a k =-, 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--,因为||3||FA FB =, 所以123y y =,所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--,消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-, 化简得2121133k =-,即213k =, 因为0k >, 所以33k =, 故答案为:33例23.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)设1F ,2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点,过点2F 的直线:0l x my t --=(,R m t ∈)与Γ的右支交于M ,N 两点,Γ过点(2,3)-,且它的7(1)求双曲线Γ的方程;(2)当121MF F F =时,求实数m 的值;(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ,当2212MF F N =时,求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=; (2)1515m =±; (3)9354. 【分析】(1)根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数,即可得方程;(2)由点在直线上求得2t =,根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等,列方程求参数m ;(3)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,联立双曲线与直线方程,应用韦达定理得1221213m y y m +=-,122913y y m =--,由向量的数量关系可得2135m =,根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. (1)由Γ过点(2,3)-,且它的虚轴的端点与焦点的距离为7,所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩,即2213a b ⎧=⎨=⎩, 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. (2)因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ,所以2t =,由121MF F F =得:等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=, 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高,则2202151m ---=+, 即2115m =,则1515m =±. (3)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得:22(31)1290m y my -++=, 则1221213m y y m +=-,122913y y m=--,又2212MF F N =,即212y y =-, 则121213m y m -=-,2129213y m =-,即22122()13m m =-2913m-,则2135m =, 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ,则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质,与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.。

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12018高考数学知识点总结1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

{}{}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ⊂ (答:,,)-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质:{}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ,22,12,12---n n n 非空真子集个数是真子集个数是非空子集个数是4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)的取值范围。

()),,·∴,∵·∴,∵(259351055550353322⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒≥--∉<--∈a aa M aa M5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真,当且仅当若q p q p ∨ 若为真,当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。

)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,A 中元素不可剩余,允许B 中有元素剩余。

) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?210. 如何求复合函数的定义域? []如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_ [](答:,)a a -11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域) ()()如:求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()(答:)f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y =x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?[](内层)(外层),则,()()()(x f y x u u f y ϕϕ===∴……)15. 如何利用导数判断函数的单调性?()在区间,内,若总有则为增函数。

(在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0零,不影响函数的单调性),反之也对,若呢?f x '()≤0值是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3由已知在,上为增函数,则,即f x aa ()[)1313+∞≤≤ ∴a 的最大值为3)16. 函数f (x )具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义 域关于原点对称)若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

17. 你熟悉周期函数的定义吗?函数,T 是一个周期。

)18. 你掌握常用的图象变换了吗? f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称- f x f x ()()与的图象关于原点对称--f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点,对称--20将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>−→−−−−−−−−>=+=-()()()()()00 上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b ()()()()>−→−−−−−−−−>=++=+-00 注意如下“翻折”变换:19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?()()一次函数:10y kx b k =+≠()()()反比例函数:推广为是中心,200y k x k y b k x ak O a b =≠=+-≠'()的双曲线。

()()二次函数图象为抛物线30244222y ax bx c a a x b a ac b a=++≠=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程②求闭区间[m ,n ]上的最值。

③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如:二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 20020++=⇔≥->>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∆()y=log 2x又如:若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x), 则,f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)] (恒等变形)= -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)] = - f(-x+2b) (恒等变形) = -f[b+(-x+b)] (恒等变形) =-f[b-(-x+b)] [ f(b+x)=f(b-x)] =-f(x) 2a-2b 为半周期由图象记性质! (注意底数的限定!)()()“对勾函数”60y x k xk =+>利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?20. 你在基本运算上常出现错误吗?log log log log log a a a a n a M N M N M nM =-=,121. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)a x(a>1)(),满足,证明是偶函数。

2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()()22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?(二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。

) 如求下列函数的最值:23. 基本初等函数导数公式: (1)为常数)0(c c ='; (2))()(1+-∈='N n nxx n n,)且Q x x ∈≠='-ααααα0()(1;(3)x x x x sin )(cos ,cos )sin -='='(; (4)x x x x e e a a a a a ='≠>=')(),10(ln )且( (5))10(ln 1)log ≠>='a a a x x a 且(,xx 1)(ln ='; (6)[])()()()(x v x u x v x u '±'='±; (7)[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='*;(8))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗?24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义又如:求函数的定义域和值域。

y x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪122cos πx(∵)122120--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-≥cos sin πx x ∴,如图:sin x ≤2225. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?y=tanx()y x k k k Z =-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈sin 的增区间为,2222ππππ ()减区间为,22232k k k Z ππππ++⎡⎣⎢⎤⎦⎥∈ ()()图象的对称点为,,对称轴为k x k k Z πππ02=+∈ []()y x k k k Z =+∈cos 的增区间为,22πππ []()减区间为,222k k k Z ππππ++∈ ()图象的对称点为,,对称轴为k x k k Z πππ+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∈20 y x k k k Z =-+⎛⎝ ⎫⎭⎪∈tan 的增区间为,ππππ22()()[]26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。

或ωϕωϕy A x =+cos ()振幅,周期12||||A T =πω ()若,则为对称轴。

f x A x x 00=±= ()()若,则,为对称点,反之也对。

f x x 0000=()五点作图:令依次为,,,,,求出与,依点202322ωϕππππx x y +(x ,y )作图象。

()根据图象求解析式。

(求、、值)3A ωϕyx O-π2 π2 πy tgx =解条件组求、值ωϕ()∆正切型函数,y A x T =+=tan ||ωϕπω 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换)如:函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=2241sin sin π图象?30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?“·”化为的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”,k παα2±“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。

()如:cos tan sin 947621πππ+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+= 又如:函数,则的值为y y =++sin tan cos cot ααααA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?理解公式之间的联系:应用以上公式对三角函数式化简。

(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。

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