静定结构位移计算
合集下载
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
13、静定结构位移计算
§13-3 结构位移计算的一般公式
___
P2 K
P 1
R1
P1
K
实际位移状态
c2
c1
K
M , N , Q , Rk
R2
虚设单位力状态
结构位移计算的一般步骤： (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加虚设单位力； (2) 求虚设单位力状态下的内力及反力 M , N , Q , Rk 的表达式；
A
B
§13-4 荷载作用下的位移计算
例13.2 求ΔCV ，EA=const。 解：1、虚设单位力状态。 P D
2P
P
P
0 0
(NP ) E
P
a
2、求 N 和 N P 。(标示于图中) 3、代入桁架的位移计算公式：A
2P
P
B
C
NNP 4a P P ΔCV l EA 1 1 2 ) ( 2 P ) 2a ( 1) ( P ) 2a 2 P 2a ( EA 2 2 (N ) 1 42 2 Pa 2 2 2 EA 2 2 2 2 6.83 2 Pa ___ EA 1/2 1/2
h
*
l
1 xc l 2
27
§13-5 图乘法
标准三次抛物线
三. 不同结构形式Δ公式的具体应用 梁、刚架： Δ
桁架：Δ
MM P ds EI
NNP l EA
一般情况： Δ 拱
MM P ds EI
Δ 扁平拱：
组合结构： Δ
MMP ds EI
NNP ds EA
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
建筑材料力学第四章静 定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
静定结构位移计算
⑷需求某两截面相对角位移时，应在两截面处加一对大小相等、转向相反
的单位力偶矩 m=1，如图(d)。
F=1 • A
(a)
m=1 •A
•A
F=1
(b)
F=1
•
B
(c)
•
B m=1
•A m=1
(d)
*⑸需求桁架某杆件角位移或某两杆相对角位移时，因桁架只受轴力，故
须将单位力偶矩 m=1 转化为
1 d
的结点力作用在该杆两端上，下图
结构在使用过程中不允许产生过大变形，必须加以限制。 ⑵为制作和架设结构提供计算依据（如起拱，作图说明）。 ⑶为分析超静定结构作准备。 使结构产生位移的因素主要有三个： ⑴荷载作用。 ⑵温度变化和材料热胀冷缩。 ⑶支座沉降和制造误差。 计算结构位移的两种方法： ⑴以杆件变形关系为基础的几何物理方法。
如计算梁挠度、转角的重积分法。 ⑵以功能原理为基础的单位荷载法，即以虚功原理为基础的单位荷载法。
A l
x B (a) 单位力作用下的弯矩表达式为：
M = -x
1
实际荷载作用下的弯矩表达式为：
A l
B (b)
x
MP
=
-
qx 2 2
故 B 端竖向位移为：
ΔBy =
l MP (x)M(x)dx = 1
0 EI
EI
l (-
0
1qx2 )(-x)dx 2
=
1 qx4 [
EI 8
Δ =
MP (x)M(x)dx + FNP FN L
EI
EA
（5-8）
（梁式杆）
（链杆）
*⑷拱和曲杆
对于一般的拱和曲杆，通常只考虑弯曲变形的影响，即可按梁和刚架
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
静 定 结 构 的 位 移 计 算
式（b）仅要求结构为小变形，因此： （1）适合于各类变形； （2）适合于静定结构和超静定结构； （3）适合于弹性材料和非弹性材料； （4）适合于荷载作用和非荷载因素作用； （5）可计算绝对位移和相对位移。
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
(最新整理)静定结构的位移计算
图乘法
2. 竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲 线中取值。
yc M图
ω
MP图
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
若M图与MP图都是直线图形，则yc可以取自其中 任一图形。
ω1
y2
M图
y1
ω2
MP图
ΔE1Iω1y1E1Iω2y2
图乘法
3. 若与 y c 在杆件的同侧， y c取正值；反之，
取负值。
yc
k
k
du、d、dv
ds
位移状态
FPk=1 k
FN、M、FQ
ds
力状态
结构位移计算
外力虚功：
W F P K K F R 1 c 1 F R 2 c 2 F R 3 c 3 K F R c
内力虚功：
W ( i)lF N d u lM d lF Q Fd Qv d
由虚功原理W=W＇有
MP图
l
yC
FP=1 M
（1）绘制MP图。
（ 2）建立相应的虚拟 状态,绘制 M 图 。
（ 3）图乘求位移。
1 ql2 l
22
yC
3 4
BE1I13q22ll4 3l
ql 4 8 EI
图乘法
例 求图示简支梁A端截面的转角 A 及跨中竖向位移 CV 。
q
解：1. 求A端截面的转角 A A
yc
M图
ω
MP图
ω
Δ
1 EI
ωyC
Δ
1 EI
ωyC
图乘法
4. 若Mp图是曲线图形，M 图是折线图形，则应
当从转折点分段图乘，然后叠加。
y1
y2
M图
第7章 静定结构的位移计算
（3）刚体的虚功原理 设Fi表示刚体体系S上的一组力系； ui表示体系在空间 上和Fi匹配的一组微小现实位移。记
7.2.3 弹性体虚功原理 （1）变形体的虚功原理
（2）弹性杆件的内力虚功表达式
q − 微段上的外力 d R − 微段的刚体位移
M − 微段上的外力（杆件内力） d D − 微段的自身变形引起的位移
例7-3 图示刚架结点B作用一顺时针方向的力偶m。试求 刚架在该力偶作用下C点的竖向位移 。刚架中各杆的 EI相同，几何尺寸如图所示。
例7-4 图示桁架上弦结点作用有结点力 。试求桁架在 作用下C点的竖向位移 。桁架中各杆的EA相同， 几何尺寸如图所示。
【习题7-8】
【习题7-9】
§7.5 图乘法
（3）力状态和位移状态-虚力和虚位移
力状态和位移状态注意： 1）属同一体系； 2）均为可能状态: 位移应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 3）位移状态与力状态完全无关；
7.2.2 刚体的虚功原理 （1）刚体的虚位移原理 设刚体体系S上作用有某任意力系Fi，又设该体系发生 虚位移ui。则体系S在该力系作用下保持平衡的充分必 要条件是：该力系在此虚位移上所做的虚功总和为 零，即 虚位移方程，也泛称虚功方程
例7-1 试用刚体虚位移原理求图所示多跨静定梁C支座的 反力。
（2）刚体的虚力原理 设刚体体系S在某广义荷载影响下产生微小位移ui ；又 设体系S在某外力系Fi作用下保持平衡。则力系Fi（虚 力）在位移ui上所作的虚功总和为零 ，即
虚力方程，也泛称虚功方程
FP = 1
例7-2 如图所示刚架的B支座竖直向上发生微小位移d。试 用刚体虚力原理求该刚架C铰两侧截面的相对转角 以及D 点的水平位移 。
建筑力学第五章_静定结构位移计算
建筑力学第五章_静定结构位移计算静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过位移计算可以得到结构在荷载作用下的变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
本文将介绍静定结构位移计算的基本原理和具体步骤。
首先，我们需要明确什么是静定结构。
静定结构指的是结构所有部件之间的变形由完全互相嵌入融合而不产生相对变动，这样的结构称为静定结构。
而非静定结构则是指结构所有部件之间的变形不会由于完全互相嵌入而互相制约的结构。
静定结构位移计算的基本原理是根据平衡条件和变形约束条件进行计算。
具体步骤如下：1.建立结构模型：根据实际情况，建立结构的几何形状和支撑条件的数学模型。
可以采用杆件模型、面单元模型等方法进行简化。
2.确定荷载：根据设计要求和实际情况确定结构所受的荷载，包括重力荷载、风荷载、地震荷载等。
3.建立方程：根据平衡条件，建立结构的受力平衡方程。
在平衡方程中，包括结构的受力平衡方程和变形约束条件等。
4.求解方程：根据建立的方程进行求解。
可以通过解析方法、数值方法或者计算机模拟等方式进行求解。
5.分析结果：得到结构在荷载作用下的位移情况。
根据计算结果进行分析，评估结构的稳定性和安全性。
如果结果超出了允许的范围，则需要对结构进行调整或优化重新计算。
静定结构位移计算过程中需要注意的是，要考虑结构的边界条件和材料的性质等因素。
边界条件包括支座的约束条件和结构的支承情况等，材料的性质包括刚度、强度等。
静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，对于结构的安全性和稳定性评估非常关键。
通过位移计算，可以得到结构的变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
但需要注意的是，位移计算只能适用于静定结构，对于非静定结构需要采用其他方法进行分析和计算。
总之，静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过建立结构模型、确定荷载、建立方程、求解方程和分析结果等步骤，可以得到结构在荷载作用下的位移情况。
这对于评估结构的稳定性和安全性非常有帮助。
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
15.静定结构位移计算
P y0
结论：在满足前述条件下，积分式
M M P ds
l EI
之值等于某一图形 面积乘以该面积形心所对应的另一直
线图形的纵标y0,再除以EI。
四、使用乘法时应注意的问题
1、y0 必须取自直线图形
y0
MK 图
p
MP 图
Δ
1 EI ωP y0
2、当 M 为折线图形时，必须分段计算；
三、图乘法的证明
y
MP(x) d
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx
dx
MK(X)
y yo
o
A x
Bx
xo
1 tg EI
b
a xMPdx
1
tg
B
xd
EI
A
1 EI
tg
x0
P
1 EI
i (FN FQ 0 M k)ds FRKcK
1.求截面线位移
单位荷载的设置
1
2.求两截面间相对线位移 B
A
1
3.求截面角位移
A
1
(c)
4.求两截面间相对角位移
1 A
(b)
5.求桁架杆件的角位移
1
Ad
B1 A
1
(d)
M=1
A
B
6.求桁架两杆间相对角位移 (e)
11
一对力偶；广义位移是相应的沿力
ф
方向的线位移和沿力偶转向的角位 移或相对位移。
P (b) P
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十四章 静定结构的位移计算
概述 变形体的虚功原理 荷载作用下的位移计算 图乘法 温度变化和支座移动时的位移计算 互等定理
14.1 概 述 结构的位移
定义:结构在荷载作用下,由于每个杆件的变形将
使整个结构的形状发生改变, 因而每个点的位置 将发生改变, 点位置的改变统称为位移. 线位移 绝对位移 角位移 广义位移 相对位移
应用:
虚位移原理求解力状态中的未知力(不讨论) 虚力原理求解位移状态中的未知位移
14.3 荷载位移计算的一般公式
结构位移计算公式推导
求D点水平位移. 虚力状态中杆件内力:
M、N、Q
虚力状态在实际位 实际状态 移状态上所做虚功： 外力虚功：W外 P Δ R1 c1 R2 c2 1 Δ R c
14.4 图乘法
基本概念
针对梁与刚架
MM P ΔP dx EI
当结构各段符合下列条件：
杆轴为直线
EI=常数
M、M P 至少有一个是直线图形
则可用图乘法代替积分运算,从而简化计算工作。
14.4 图乘法
图乘法基本公式推导
由于 M x tan，则
MM P tan tan EI dx EI xM Pdx EI xd
14.6 互等定理
P1 12= P2 21
12—P1作用点位置由于P2作用产生的位移 21 —P2作用点位置在P1作用下的位移
下标：第一个下标表示位移的地点和方向 第二个下标表示产生位移的原因 功的互等定理 W12=W21
表明：第一状态的外力在第二状态相应的位移上 所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态相 应的位移上所作的虚功。
20 10 10 -0.707 0.5 1.0 -70.71 50.0 0 2415.0
NN P l / A(kN/cm )
707.5 500 0
14.3 荷载位移计算的一般公式
梁及刚架的位移计算
示例:求CV
ΔP MM P dx EI
1.求实际状态和虚设状态的内力: 实际状态:CB段 : NP=0,MP=0,QP=0 BA段: NP=0,MP=-q(x-l/2)2/2,QP=q(x-l/2) 虚设状态:CB段: N 0,M 0,Q 0 l BA段: N 0,M -x,Q 1 l MM kQQP P Δ d x dx CV 2.代入方程并进行分段积分: EI GA l/2 l/2 3.讨论:细长杆Q/M很小,忽略剪 7ql 4 3ql 2 () 切变形及轴向变形影响 384 EI 20GA
14.3 荷载位移计算的一般公式
计算步骤
明确结构的位移和变形(外力、非外力)； 在要求的位移方向作用单位荷载，分别列出实际 状态和虚设状态下有关的内力方程； 将两个状态下的弯矩方程代入位移计算公式进行 积分； 计算结果若为正值，则实际位移方向与单位荷载 的假设方向一致；若得负值，则实际位移方向与 单位荷载的假设方向相反。
代入上述方程，得
式中:
MM P NN P kQQP ΔP dx dx dx EI EA GA
M、N、Q M P、NP、QP
—虚拟状态中由于单位力所产 生的虚拟内力 —实际状态中由实际荷载所产 生的内力
通过静 力平衡 方程求
14.3 荷载位移计算的一般公式
桁架的位移计算
14.2 变形体的虚功原理 位移计算方法
积分法：利用位移和应变之间的几何关系
M/EI==
1/R=d2y/d2x
虚功法：刚体体系的虚功方程
14.2 变形体的虚功原理 虚功的概念
概念:力在由其它原因引起的位移上所作的功.
特点： 在虚功中,力与位移是彼此独立无关的两要素,因 此可把二者看成是彼此无关的两个状态:
变形体虚功方程:
W外= W变
14.2 变形体的虚功原理
变形虚功W变的计算
微段变形: 轴向变形d、弯曲变形d、剪切变形d 微段虚功: dW变=Ndu+Md+Qd 结构变形虚功W变: W变=dW变=Ndu+Md+Qd 平面杆系结构虚功方程:W外=Ndu+Md+Qd
预先控制结构变形，以保证安装时满足设计要求 （适用性设计）。
14.1 概 述
基本假定
线弹性: -,物理线性（结构材料服从虎克定律） 小变形 P-,几何线性(外力与位移成线性变化).变形后用 原来尺寸,荷载作用位置和方向不变 理想约束：刚性支座链杆及无摩擦光滑铰
研究方法
满足上述条件的理想化结构称为线弹性体系,可使 用叠加原理计算位移.本章主要讨论线弹性体,用 功的概念研究位移.
h
l/2
顶点
h
(a+l)/3
l
(b+l)/3
l/2
h
顶点
3l/4
l/4 h
5l/8
3l/8 h
二次抛物线ω=hl/3
顶点
二次抛物线ω=2hl/3
顶点
4l/5
l/5
(n+1)l/(n+2) l/(n+2) n次抛物线ω=hl/(n+1)
三次抛物线ω=hl/4
注:抛物线为标准抛物线，即通过抛物线顶点处的切线应与其基线平行.
ya=2c/3+d/3, yb=c/3+2d/3
14.5 温度变化和支座移动时的位移计算
计算公式
静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形， 只发生刚体位移，位移计算公式可简化为： ΔKV R c c —实际状态中的支座位移 R c 为正值，反之为负。 注： R 与c 方向一致时，
第一状态:力状态,第二状态:位移状态
N 2dx M 2dx kQ2dx P1 Δ12 N1du2 M1d2 Q1d2 N1 ( ) M1 Q1 EA EI GA 第一状态:位移状态,第二状态:力状态 N1dx M 1dx kQ1dx P2 Δ21 N 2du1 M 2d1 Q2d1 N 2 ( ) M2 Q2 EA EI GA
R —虚拟状态中的各支座反力
14.6 互等定理
弹性体的几个互等定理
由变形体的虚功原理导出：
功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理 反力与位移互等定理
14.6 互等定理
功的互等定理
内力N1、M1、Q1 第一状态 变形d1、d1、d1
第二状态 内力N2、M2、Q2
变形d2、d2、d2
14.6 互等定理
位移互等定理
假设P1=1，P2 =1，相应 位移为12、21,则由功的 互等定理,有1· 12= 1· 21 位移互等定理 12= 21
表明：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点 沿其方向的位移12 ，等于第一个单位力所引起的第 二个单位力作用点沿其方向的位移21 。 注: 线位移和角位移之间同样存在位移互等定理.
d=MPdx—MP图中阴影微分面积,故 xd —MP面积对y轴的静矩
根据合力矩定理, xd=xC代入上式:
MM P tan 1 1 d x x x tan yC C C EI EI EI EI
yC=xCtan—MP图中形心C处对应于 M 图中的纵坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 14.4 图乘法
图乘法:
上述积分式等于一个弯矩图面积乘以形心处所 对应的另一个直线弯矩图上竖标yC再除以EI.
注意事项:
杆件为等截面直杆(分段截面相同也可) 竖标yC只能取自直线图形 与yC再若在杆件同侧则乘积取正号,异侧则乘积 取负号
14.4 图乘法
常见弯矩图面积及形心 a b
14.6 互等定理
示例
根据位移互等定理,应有
A =f C
利用图乘法：
fC = 12 =Ml2/16EI
A = 21 = Pl2/16EI
当M=1,P=1, 有A = fC =l2/16EI
14.6 互等定理
反力互等定理
超静定结构在支座发生单位位移时,两个状态中反 力的互等关系. 根据功的互等定理,应有 r12· 1= r21· 2 因1= 2 = 1, 故 r12= r21 表明:支座1发生单位位移所引起的支座2的反力,等 于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力. 注: 这一定理对结构上任何两个支座都适用.
14.1 概 述
相对位移 铰D两侧截面的相对转角为 =+
产生原因: 1.荷载作用； 2.温度改变、材料胀缩、支座沉陷、制造误差等。
14.1 概 述
位移计算的目的
对结构进行刚度校核
为验算结构刚度，控制变形
为分析超静定结构作准备
由变形协调条件，建立补充方程，弥补平衡方程 的不足。
h
ω=hl/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
14.4 图乘法
图乘技巧
叠加与分解：遇到较为复杂的图形，确定yC 及较 困难，可采用叠加法把复杂图形分成几个简单图形 分别图乘后再叠加。
MP=MPa+MPb,故
1 1 MM d x M (M Pa M Pb )dx P EI EI 1 ( MM Pa dx MM Pb dx) EI 1 al bl ( ya yb ) EI 2 2
力的状态
位移状态
14.2 变形体的虚功原理
在虚功中作功的力不限于集中力，可以是力偶， 也可是一组包括支座反力在内的力系。
14.2 变形体的虚功原理 变形体的虚功原理
变形体虚功原理:
变形体处于平衡的必要和充分条件是: 在任何虚位移 过程中，变形体上所有外力所作虚功总和(W外),等于 变形体各微段截面上的内力在其变形上所作变形虚功 的总和(W变).
概述 变形体的虚功原理 荷载作用下的位移计算 图乘法 温度变化和支座移动时的位移计算 互等定理
14.1 概 述 结构的位移
定义:结构在荷载作用下,由于每个杆件的变形将
使整个结构的形状发生改变, 因而每个点的位置 将发生改变, 点位置的改变统称为位移. 线位移 绝对位移 角位移 广义位移 相对位移
应用:
虚位移原理求解力状态中的未知力(不讨论) 虚力原理求解位移状态中的未知位移
14.3 荷载位移计算的一般公式
结构位移计算公式推导
求D点水平位移. 虚力状态中杆件内力:
M、N、Q
虚力状态在实际位 实际状态 移状态上所做虚功： 外力虚功：W外 P Δ R1 c1 R2 c2 1 Δ R c
14.4 图乘法
基本概念
针对梁与刚架
MM P ΔP dx EI
当结构各段符合下列条件：
杆轴为直线
EI=常数
M、M P 至少有一个是直线图形
则可用图乘法代替积分运算,从而简化计算工作。
14.4 图乘法
图乘法基本公式推导
由于 M x tan，则
MM P tan tan EI dx EI xM Pdx EI xd
14.6 互等定理
P1 12= P2 21
12—P1作用点位置由于P2作用产生的位移 21 —P2作用点位置在P1作用下的位移
下标：第一个下标表示位移的地点和方向 第二个下标表示产生位移的原因 功的互等定理 W12=W21
表明：第一状态的外力在第二状态相应的位移上 所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态相 应的位移上所作的虚功。
20 10 10 -0.707 0.5 1.0 -70.71 50.0 0 2415.0
NN P l / A(kN/cm )
707.5 500 0
14.3 荷载位移计算的一般公式
梁及刚架的位移计算
示例:求CV
ΔP MM P dx EI
1.求实际状态和虚设状态的内力: 实际状态:CB段 : NP=0,MP=0,QP=0 BA段: NP=0,MP=-q(x-l/2)2/2,QP=q(x-l/2) 虚设状态:CB段: N 0,M 0,Q 0 l BA段: N 0,M -x,Q 1 l MM kQQP P Δ d x dx CV 2.代入方程并进行分段积分: EI GA l/2 l/2 3.讨论:细长杆Q/M很小,忽略剪 7ql 4 3ql 2 () 切变形及轴向变形影响 384 EI 20GA
14.3 荷载位移计算的一般公式
计算步骤
明确结构的位移和变形(外力、非外力)； 在要求的位移方向作用单位荷载，分别列出实际 状态和虚设状态下有关的内力方程； 将两个状态下的弯矩方程代入位移计算公式进行 积分； 计算结果若为正值，则实际位移方向与单位荷载 的假设方向一致；若得负值，则实际位移方向与 单位荷载的假设方向相反。
代入上述方程，得
式中:
MM P NN P kQQP ΔP dx dx dx EI EA GA
M、N、Q M P、NP、QP
—虚拟状态中由于单位力所产 生的虚拟内力 —实际状态中由实际荷载所产 生的内力
通过静 力平衡 方程求
14.3 荷载位移计算的一般公式
桁架的位移计算
14.2 变形体的虚功原理 位移计算方法
积分法：利用位移和应变之间的几何关系
M/EI==
1/R=d2y/d2x
虚功法：刚体体系的虚功方程
14.2 变形体的虚功原理 虚功的概念
概念:力在由其它原因引起的位移上所作的功.
特点： 在虚功中,力与位移是彼此独立无关的两要素,因 此可把二者看成是彼此无关的两个状态:
变形体虚功方程:
W外= W变
14.2 变形体的虚功原理
变形虚功W变的计算
微段变形: 轴向变形d、弯曲变形d、剪切变形d 微段虚功: dW变=Ndu+Md+Qd 结构变形虚功W变: W变=dW变=Ndu+Md+Qd 平面杆系结构虚功方程:W外=Ndu+Md+Qd
预先控制结构变形，以保证安装时满足设计要求 （适用性设计）。
14.1 概 述
基本假定
线弹性: -,物理线性（结构材料服从虎克定律） 小变形 P-,几何线性(外力与位移成线性变化).变形后用 原来尺寸,荷载作用位置和方向不变 理想约束：刚性支座链杆及无摩擦光滑铰
研究方法
满足上述条件的理想化结构称为线弹性体系,可使 用叠加原理计算位移.本章主要讨论线弹性体,用 功的概念研究位移.
h
l/2
顶点
h
(a+l)/3
l
(b+l)/3
l/2
h
顶点
3l/4
l/4 h
5l/8
3l/8 h
二次抛物线ω=hl/3
顶点
二次抛物线ω=2hl/3
顶点
4l/5
l/5
(n+1)l/(n+2) l/(n+2) n次抛物线ω=hl/(n+1)
三次抛物线ω=hl/4
注:抛物线为标准抛物线，即通过抛物线顶点处的切线应与其基线平行.
ya=2c/3+d/3, yb=c/3+2d/3
14.5 温度变化和支座移动时的位移计算
计算公式
静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形， 只发生刚体位移，位移计算公式可简化为： ΔKV R c c —实际状态中的支座位移 R c 为正值，反之为负。 注： R 与c 方向一致时，
第一状态:力状态,第二状态:位移状态
N 2dx M 2dx kQ2dx P1 Δ12 N1du2 M1d2 Q1d2 N1 ( ) M1 Q1 EA EI GA 第一状态:位移状态,第二状态:力状态 N1dx M 1dx kQ1dx P2 Δ21 N 2du1 M 2d1 Q2d1 N 2 ( ) M2 Q2 EA EI GA
R —虚拟状态中的各支座反力
14.6 互等定理
弹性体的几个互等定理
由变形体的虚功原理导出：
功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理 反力与位移互等定理
14.6 互等定理
功的互等定理
内力N1、M1、Q1 第一状态 变形d1、d1、d1
第二状态 内力N2、M2、Q2
变形d2、d2、d2
14.6 互等定理
位移互等定理
假设P1=1，P2 =1，相应 位移为12、21,则由功的 互等定理,有1· 12= 1· 21 位移互等定理 12= 21
表明：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点 沿其方向的位移12 ，等于第一个单位力所引起的第 二个单位力作用点沿其方向的位移21 。 注: 线位移和角位移之间同样存在位移互等定理.
d=MPdx—MP图中阴影微分面积,故 xd —MP面积对y轴的静矩
根据合力矩定理, xd=xC代入上式:
MM P tan 1 1 d x x x tan yC C C EI EI EI EI
yC=xCtan—MP图中形心C处对应于 M 图中的纵坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 14.4 图乘法
图乘法:
上述积分式等于一个弯矩图面积乘以形心处所 对应的另一个直线弯矩图上竖标yC再除以EI.
注意事项:
杆件为等截面直杆(分段截面相同也可) 竖标yC只能取自直线图形 与yC再若在杆件同侧则乘积取正号,异侧则乘积 取负号
14.4 图乘法
常见弯矩图面积及形心 a b
14.6 互等定理
示例
根据位移互等定理,应有
A =f C
利用图乘法：
fC = 12 =Ml2/16EI
A = 21 = Pl2/16EI
当M=1,P=1, 有A = fC =l2/16EI
14.6 互等定理
反力互等定理
超静定结构在支座发生单位位移时,两个状态中反 力的互等关系. 根据功的互等定理,应有 r12· 1= r21· 2 因1= 2 = 1, 故 r12= r21 表明:支座1发生单位位移所引起的支座2的反力,等 于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力. 注: 这一定理对结构上任何两个支座都适用.
14.1 概 述
相对位移 铰D两侧截面的相对转角为 =+
产生原因: 1.荷载作用； 2.温度改变、材料胀缩、支座沉陷、制造误差等。
14.1 概 述
位移计算的目的
对结构进行刚度校核
为验算结构刚度，控制变形
为分析超静定结构作准备
由变形协调条件，建立补充方程，弥补平衡方程 的不足。
h
ω=hl/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
14.4 图乘法
图乘技巧
叠加与分解：遇到较为复杂的图形，确定yC 及较 困难，可采用叠加法把复杂图形分成几个简单图形 分别图乘后再叠加。
MP=MPa+MPb,故
1 1 MM d x M (M Pa M Pb )dx P EI EI 1 ( MM Pa dx MM Pb dx) EI 1 al bl ( ya yb ) EI 2 2
力的状态
位移状态
14.2 变形体的虚功原理
在虚功中作功的力不限于集中力，可以是力偶， 也可是一组包括支座反力在内的力系。
14.2 变形体的虚功原理 变形体的虚功原理
变形体虚功原理:
变形体处于平衡的必要和充分条件是: 在任何虚位移 过程中，变形体上所有外力所作虚功总和(W外),等于 变形体各微段截面上的内力在其变形上所作变形虚功 的总和(W变).