临沂一中导数及其应用期末复习题

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高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题复习题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（）A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可；对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得．【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<．令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确．故选：BD ．【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内；当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确；对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根，由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确；对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>，所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>，所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误；对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln x a x +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln x t x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增；当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减. 所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x m x+=，则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点，当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m e x -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x y e -=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x m e -=-的两个根，即y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x x y e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11y x x =--，12x x y e-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x ∈时，11122x x x x x e ---<-<-，由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--，从而()11112,1x x --∈--，解得11,12x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭，所以选项AD 正确，选项C 错误，又121310x x x x -=<<.故选：ABD .本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

临沂一中期末考试卷物理

临沂一中期末考试卷物理一、选择题（每题3分，共30分）1. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。

如果一个物体受到的力增加到原来的两倍，而质量不变，那么它的加速度将：A. 保持不变B. 增加到原来的两倍C. 减少到原来的一半D. 增加到原来的四倍2. 电场强度是描述电场力作用的物理量，其单位是：A. 牛顿B. 库仑C. 伏特D. 牛顿/库仑3. 光在真空中的速度是：A. 299792公里/秒B. 299792米/秒C. 2997920米/秒D. 299792000米/秒4. 根据能量守恒定律，在一个封闭系统中，能量不能被创造或销毁，只能从一种形式转化为另一种形式。

以下哪个选项不符合能量守恒定律？A. 水力发电B. 摩擦生热C. 永动机D. 太阳能电池板5. 电流通过导体时会产生热量，这种现象称为焦耳热。

如果电流和导体的电阻不变，导体中的电流时间加倍，那么产生的热量将：A. 保持不变B. 增加到原来的两倍C. 增加到原来的四倍D. 减少到原来的一半6. 电磁波谱中，波长最长的是：A. 无线电波B. 微波C. 红外线D. 紫外线7. 物体的动能与它的质量和速度的平方成正比。

如果一个物体的质量增加到原来的两倍，速度也增加到原来的两倍，那么它的动能将：A. 保持不变B. 增加到原来的两倍C. 增加到原来的四倍D. 增加到原来的八倍8. 根据理想气体定律，一定质量的理想气体，其压强与体积成反比，与温度成正比。

如果温度和体积不变，压强增加到原来的两倍，那么气体的分子数：A. 保持不变B. 增加到原来的两倍C. 减少到原来的一半D. 增加到原来的四倍9. 根据量子力学的不确定性原理，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

以下哪个说法是正确的？A. 粒子的位置越确定，其动量越不确定B. 粒子的位置越不确定，其动量越确定C. 粒子的位置和动量可以同时被精确测量D. 粒子的位置和动量没有关系10. 根据相对论，当物体的速度接近光速时，其质量会增加。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确；对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解，令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解，则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解，即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而()()()0,0,00g g g ππ-===，作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点，即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确；对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-，令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=，当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确；对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数）【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以()g x 在R 有且仅有一个零点，即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数，因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断；对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断；对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <，所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<，所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确；当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1，所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=，从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增，所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ，在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=，令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根，也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立，故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞，恒成立，也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

导数专题训练(含答案)

导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)，令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上．又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)，即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0，因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43，所以a 3－3a 2＋4＝0，即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意．综上a ＝－1或a ＝2.变式训练解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )，所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823，解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。

导数及其应用试题及详细解答(基础)

x
当 x 1时， f x 0 ，即 f x 1 ln x 单调递减，
x
又函数 f x 1 ln x 在区间 a, a 2 上不是单调函数，
x
a 0 所以有 a 1 ，解得 0 a 1 ．故选 C．
a 2 1
8．【答案】B
（2）求曲线 y = f (x) 过原点 O 的切线方程．
20．（12 分）已知函数（1）当时，求曲线（2）求的单调区间．
．在点
处的切线方程；
18．（12 分）设函数 f (x) a ln x bx2 ，若函数 f (x) 的图象在点 (1, f (1)) 处与直线 y 1 x 相切． 2
可得切线斜率 k 3m2 3 ，
由点斜式方程可得切线方程为 y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），
代入点 P(2, 6) ，可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），解得 m＝0 或 m＝3，
当 m=0 时，切线方程为 3x y 0 ；当 m=3 时，切线方程为 24x y 54 0 ，故选 A．
x
x
若函数 f x 有两个不同的极值点，则 g x x2 2x a 在（0，+∞）由 2 个不同的实数根，
Δ 4 4a 0

故
x1

2

4
4a

，解得 0 0

a
1 ，故选
D．
2
6．【答案】A
【解析】设切点为（m，m3-3m）， f (x) x3 3x 的导数为 f (x) 3x2 3 ，
，即
1 3 5 2a 8 12 5 3a 27 27 5 4a

高考数学山东卷导数的应用历年真题解析

高考数学山东卷导数的应用历年真题解析一、选择题解析1. 题目描述：设函数f(x) = (x + a) ln(x + b)，其中a, b是常数，则f'(x)的导函数是（）解析：根据链式法则，对函数f(x) = (x + a) ln(x + b)求导，f'(x) =ln(x + b) + (x + a) * (1 / (x + b)) = ln(x + b) + (x + a) / (x + b)因此，选项中的导函数为ln(x + b) + (x + a) / (x + b)，故选项A为正确答案。

2. 题目描述：已知函数f(x) = (2x^2 + a)cosx的一个极大值点的横坐标为x = π/2，求实数a的值。

解析：极值点的横坐标为x = π/2，代入函数f(x) = (2x^2 + a)cosx得f(π/2) = (2(π/2)^2 + a)cos(π/2) = (π^2 + a) * 0 = 0因此，(π^2 + a) = 0，解得a = -π^2。

故实数a的值为-π^2。

3. 题目描述：已知曲线y = x^3 - 3x^2 + ax的点P(x, y)在y轴上的截距为4，则a的值为（）解析：当点P(x, y)在y轴上的截距为4时，即考虑x = 0时的函数值。

代入曲线y = x^3 - 3x^2 + ax得y = a。

因此，a的值为4。

故选项D为正确答案。

二、填空题解析4. 题目描述：若f(x) = (3x - 1)lnx，g(x) = 3xln2，则f(x) + g'(x) =__________。

解析：由已知，求g'(x)。

对g(x) = 3xln2求导，g'(x) = 3ln2。

因此，f(x) + g'(x) = (3x - 1)lnx + 3ln2。

故答案为(3x - 1)lnx + 3ln2。

5. 题目描述：若曲线y = (3 + x)e^x的斜率为k，则k的值为__________。

导数及应用高考题及解析

导数及应用高考题及解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1。

(2008山东文21题）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小． 2。

(2008山东理21）已知函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N ＊,a 为常数。

（Ⅰ)当n =2时，求函数f (x ）的极值;（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f （x ）≤x —1。

3.（2009山东文21题）已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠ （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围.4.（2010山东文10题)观察2'()2x x =，4'2()4x x =，(cos )'sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()()g x f x 为的导函数，则()g x -=（A ）()f x(B)()f x -（C ）()g x（D)()g x -5。

（2010山东文21题)已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-= （Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性． 6. （2011山东理16题)已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =__________。

山东临沂第一中学上册期末精选章末练习卷(Word版含解析)

山东临沂第一中学上册期末精选章末练习卷（Word版含解析）一、第一章运动的描述易错题培优（难）1．质点做直线运动的v-t 图象如图所示，则（）A．3 ~ 4 s 内质点做匀减速直线运动B．3 s 末质点的速度为零，且运动方向改变C．0 ~ 2 s 内质点做匀加速直线运动，4 ~ 6 s 内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为 2 m/s2D．6 s内质点发生的位移为 8 m【答案】BC【解析】试题分析：矢量的负号，只表示物体运动的方向，不参与大小的比较，所以3 s～4 s内质点的速度负方向增大，所以做加速运动，A错误，3s质点的速度为零，之后开始向负方向运动，运动方向发生变化，B错误，图线的斜率表示物体运动的加速度，所以0～2 s内质点做匀加速直线运动，4 s～6 s内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s2，C正确，v-t图像围成的面积表示物体的位移，所以6 s内质点发生的位移为0，D错误，考点：考查了对v-t图像的理解点评：做本题的关键是理解v-t图像的斜率表示运动的加速度，围成的面积表示运动的位移，负面积表示负方向位移，2．如图所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，AB、ABC、ABCD、ABCDE四段曲线轨迹运动所用的时间分别是：1s、2s、3s、4s，下列说法正确的是（）A．物体在AB段的平均速度为1m/sB．物体在ABC5m/sC．AB段的平均速度比ABC段的平均速度更能反映物体处于A点时的瞬时速度D．物体在B点的速度等于AC段的平均速度【答案】ABC【分析】【详解】 A ．由图可知物体在AB 段的位移为1m ，则物体在AB 段的平均速度1m/s 1m/s 1x v t === 选项A 正确；B ．物体在ABC 段的位移大小为 2212m 5m x =+=所以物体在ABC 段的平均速度5m/s x v t == 选项B 正确；C ．根据公式x v t=可知，当物体位移无限小、时间无限短时，物体的平均速度可以代替某点的瞬时速度，位移越小平均速度越能代表某点的瞬时速度，则AB 段的平均速度比ABC 段的平均速度更能反映物体处于A 点时的瞬时速度，选项C 正确；D ．根据题给条件，无法得知物体的B 点的运动速度，可能很大，也可能很小，所以不能得出物体在B 点的速度等于AC 段的平均速度，选项D 错误。

临沂一中高二数学上学期期末考试试题

郯城一中高二上学期期末考试试题一、选择题:1．设R a ∈,则1a >是11a< 的（） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．221169y x += B ．2211612y x += C ．22143y x += D ．22134y x += 3．不等式022>++bx ax的解集是{}11|23x x -<<，则b a +的值为( ）A ．14B ．—14C ．10D ．—10 4．已知双曲线222212(,0)y x e y px e -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为，则p的值为( ） A ．－2B ．－4C ．2D ．45．公差不为0的等差数列}{,022,}{11273n n b a a a a 数列中=+-是等比数列，且==8677,b b a b 则（）A ．2B ．4C ．8D ．166．数列｛a n ｝前n 项和是n S ，如果32n n S a =+（n ∈N＊），则这个数列是（ )A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比数列D ．除去最后一项为等差数列7．下列函数中，最小值为2的是（）A ．y = B ．21x y x+=C ．),(0y x x x =<< D ．2y =8．在ABC △中，若2sin sin sin A B C =⋅且()()3b c a b c a bc +++-=,则该三角形的形状是（ )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．在0,0ab >>的条件下，四个结论： ①2()2≥a b ab +， ②22≤ab a b a b ++，③2222≤a b a b ++,④22≤b a a b a b++;其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．有关命题的说法错误．．的是( ） A ．命题“若2320x x -+=则1=x "的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”B ．“1=x”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．对于命题p ：0R x ∃∈，20010x x ++<. 则⌝p ：R x ∀∈， 210≥x x ++ D ．若q p ∧为假命题,则p 、q 均为假命题11．（理)若方程2210ax x ++=至少有一个负的实根，则a 的取值范围是( )A ．1≤aB ．1a <C ．01≤a <D ．01≤a < 或0a < (文）命题“ax 2－2ax + 3 〉 0恒成立"是假命题，则实数a 的取值范围是（ ) A ．a 〈 0或3≥a B ．0≤a 或3≥a C ．a < 0或a >3 D ．0〈a 〈3 12．双曲线22221y x a b -=和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a b y m x 的离心率互为倒数，那么以,,a b m 为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：13．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状是______________________。

山东省高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用.docx

山东省13市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（德州市2016届高三上学期期末）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x +<，(0)2016f =，则不等式()2015x x e f x e ->（其中e 为自然对数的底数）的解集为A ．(2015,)+∞B ．(,0)(2015,)-∞+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(,0)-∞2、（济南市2016届高三上学期期末）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，若对于任意实数x ，有()()0f x f x '->，则 A. ()()20152016ef f > B. ()()20152016ef f <C. ()()20152016ef f =D. ()()20152016ef f 与大小不确定3、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()21=cos 4f x x x +，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是4、（临沂市2016届高三上学期期末）对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x '⋅<⋅恒成立，则下列不等式错误．．的是 A. 234f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()cos113f f π⎛⎫>2⋅⎪⎝⎭C. ()2cos114f f π⎛⎫<⋅⎪⎝⎭D. 6426f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭5、（泰安市2016届高三上学期期末）设()f x 在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数()f x '的图象可能是6、（烟台市2016届高三上学期期末）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()11,f f x =的导数()()2f x x R '<∈，则不等式()21f x x <-的解集为 A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()1,2D. ()(),11,-∞-⋃+∞参考答案1、D2、A3、A4、D5、B6、B 二、解答题1、（德州市2016届高三上学期期末）已知函数2()22ln f x x ax x =-+。

临沂市选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测题(有答案解析)

一、选择题1．已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（） A．(-∞B．)+∞C ．(],42ln2-∞-D ．[)42ln2,-+∞2．已知函数()2ln f x ax x x -=-有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭3．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤4．已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ-且()'f x 是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈-都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（）A ．(,)23ππ- B ．(,)(,)2332ππππ--⋃C ．(,)33ππ-D ．(,)32ππ5．已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且(1)f e =，则不等式(ln )f x x <的解集为（）A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,) eD ．(0,1)6．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--7．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（） A ．{}|33x x -<< B ．{}|3x x >- C ．{}|3x x >D ．{|3x x <-或3x8．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（） A ．1BC ．2D ．39．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（）A ．sin11-B ．1sin1-C ．1sin1+D ．1sin1--10．已知函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤，e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,e e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -< D ．()()211f f ->12．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>二、填空题13．曲线()1xf x e x=-在点()()1,1f 处的切线的方程为_______. 14．若函数()12sin 2cos 2f x =x x a x ++在R 上递增，则a 的取值范围___________. 15．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________.16．已知函数()ln e xf x x ax =--在()1,2上不单调，则a 的取值范围是_________．17．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）（为正方形的边长），三维测度（体积）；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度，则其四维测度__________．18．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．20．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______．参考答案三、解答题21．设函数()ln f x x x =．（1）设()()f xg x x'=，求()g x 的极值点；（2）若210x x >>时，总有()()()2221212m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=. （1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由； 23．已知函数()3212f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若当[]1,2x ∈-时，()2f x c <恒成立，求c 的取值范围；（Ⅲ）对任意的[]12,1,2x x ∈-，()()1272f x f x -≤是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由． 24．设函数22()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点． 25．已知函数321()2()32a f x x x x a R =-+-∈. (1)当3a =时，求函数()f x 的单调递减区间；(2)若对于任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a '<-成立，求实数a 的取值范围. 26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥，当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ，则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-，令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-；则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<=⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.2．B解析：B 【分析】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，即方程2ln x xa x+=有两个根，设()2ln x xg x x+=，求出()g x '，研究出函数()g x 的单调性，由()g x 的图象与y a =有两个交点，得出a 参数的范围，即得结果. 【详解】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，由题意得方程2ln x x a x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，则y a =与()y g x =有两个不同的交点，又()2431(1)(ln (2)12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'==，设()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)1g =，22111()01e g e e ee -==-<⎛⎫ ⎪⎝⎭，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x >，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，但恒正. 作出函数()y g x =的大致图象如下：要使()y g x =的图象与y a =有两个交点，所以实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．C解析：C 【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围．【详解】解：函数sin ()cos x af x x+= 则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'=(0,)2x π∈上，2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增， 22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2x π∈上恒成立，即：sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立，(0,)2x π∈上，sin (0,1)x ∈1a ∴-故选：C ．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．D解析：D 【分析】令()()cos f x g x x =，先判断函数()g x 为奇函数，再判断函数()g x 在区间(2π-，)2π上单调递减，由()2cos ()3f f πθθ<⋅，得()()3g g πθ<，即可求出．【详解】令()()cos f x g x x=，(2x π∈-，)2π，()f x 为奇函数，cos y x =为偶函数，()g x ∴为奇函数．(2x π∀∈-，0)，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+∴'=<， ()g x ∴在区间(2π-，0)上单调递减，又()g x 为奇函数，()g x ∴在区间(2π-，)2π上单调递减，当(2x π∈-，)2π，cos 0x >， ()2cos ()3f f πθθ<⋅，∴()()3cos cos 3f f πθπθ<， ()()3g g πθ∴<，∴32ππθ<<故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.5．C解析：C 【分析】由不等式()f lnx x <，令t lnx =，可知()()t f lnx x f t e <⇔<，令()()xf xg x e =，求导可得函数单调性，从而可解：10lnx x e <⇔<<，【详解】解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e <⇔<，令()()xf xg x e =，则()()()0x f x f x g x e '-'=>，因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '>()g x ∴在R 上单调递增，∴()()()()11t tf t f t eg t g e <⇔<⇔<110t lnx x e ⇔<⇔<⇔<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题．6．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<，由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.7．C解析：C 【分析】根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+，又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<，则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，又由函数()g x 为减函数，则有3x >，则不等式2()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >；故选：C ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．8．B解析：B 【分析】根据函数()xf x e =与函数()lng x x =互为反函数，将问题转化为求函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()xf x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()xf x e '=，所以函数()xf x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离2d ==，所以||MN 故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果．【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意可将问题转化为方程2ln x ax x -=在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数可得2ln x x a x -=，令()2ln x xh x x-=，利用导数求出()h x 值域即可求解. 【详解】因为函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数2()f x x ax =-(1x e e≤≤，e 为自然对数的底数) 与函数()ln g x x =的图象有交点，即2ln x ax x -=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即2ln x x a x-=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令()2ln x xh x x-=，（1x e e ≤≤），()221ln x x h x x -+'=，当11x e≤<时，()0h x '<，函数为减函数，当1x e <≤时，()0h x '>，函数为增函数，故1x =时，函数取得最小值1，当1=x e 时，11h e e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当x e =时，()h e e =，故实数a 的取值范围是11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.11．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->．故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．12．D解析：D 【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.二、填空题13．【分析】求得函数的导数得到结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得所以即所求切线的斜率为又由所以所求切线的方程为可得即所以所求切线的方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义解析：20ex x y +--=【分析】求得函数的导数()21'xf x e x =+，得到()'11f e =+，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()1xf x e x =-，可得()21'xf x e x=+，所以()'11f e =+，即所求切线的斜率为1k e =+，又由()11f e =-，所以所求切线的方程为()()1'1y f k x f -=-⎡⎤⎣⎦，可得()()()111y e e x --=+-，即()()()111y e e x e --=+-+. 所以所求切线的方程为20ex x y +--=. 故答案为：20ex x y +--=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】根据函数求导由函数在上递增则在上恒成立令转化为在恒成立求解【详解】由函数所以因为函数在上递增所以在上恒成立令所以在恒成立令所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用还考查了解析：11a -≤≤【分析】根据函数()12sin 2cos 2f x =x x a x ++，求导()22sin sin 3f x =x a x '--+，由函数()12sin 2cos 2f x =x x a x ++在R 上递增，则22sin sin 30x a x --+≥在R 上恒成立，令[]sin 1,1t x =∈-，转化为2230t at +-≤在[]1,1-恒成立求解. 【详解】由函数()12sin 2cos 2f x =x x a x ++，所以()22cos2sin 2sin sin 3f x =x a x=x a x '+---+，因为函数()12sin 2cos 2f x =x x a x ++在R 上递增，所以22sin sin 30x a x --+≥在R 上恒成立，令[]sin 1,1t x =∈-，所以2230t at +-≤在[]1,1-恒成立，令()223g t t at =+-，所以()()12301230g a g a ⎧=--≤⎪⎨-=+-≤⎪⎩，解得11a -≤≤，故答案为：11a -≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】先求导数再根据导数几何意义列方程根据取值范围得结果【详解】设存在两点满足在该点处的切线相互垂直则因为所以从而或故答案为：【点睛】本题考查导数几何意义利用导数研究存在性问题考查综合分析求解能力解析：22(,)(,)33+∞-∞- 【分析】先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】()()ln 3af x a x ax f x a x'=-+∴=- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直，则21212111()()1(1)(1)0a a a a x x x x a--=-∴--=-< 因为121,,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭从而121131(0,3),1(,0)4x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴=--∈∴>∴>或23a <- 故答案为：22(,)(,)33+∞-∞-【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题.16．【分析】由题意知函数在区间上存在极值点利用导函数在区间上单调可得出有关实数的不等式组解出即可【详解】则函数在上单调递减因为函数在上不单调所以在上有解所以解得因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题解析：21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】由题意知，函数()y f x =在区间()1,2上存在极值点，利用导函数在区间()1,2上单调，可得出有关实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】()ln x f x x ax e =--，()1x f x a e x∴=--'，则函数()y f x ='在()1,2上单调递减，因为函数()y f x =在()1,2上不单调，所以()0f x '=在()1,2上有解，所以()()21101202f a e f a e ⎧=-->⎪⎨=--<''⎪⎩，解得2112e a e -<<-. 因此，实数a 的取值范围是21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：21,12e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题.17．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周解析：【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到．【详解】在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是；在三维空间中，三维测度与二维测度的关系是，故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足，所以，故（为常数），类比各个维度测度的解析式的形式可得，故，填．【点睛】本题考查类比推理，属于基础题．18．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析：-1 【解析】【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+，令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.20．【解析】结合导数的运算法则可得：则导函数的解析式为：据此可得：解析：105【解析】结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+，则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-，导函数的解析式为：()2'1530f x x =-，据此可得：()2'315330105f =⨯-=.三、解答题21．（1）1x =是函数的极大值点，无极小值点；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求得()g x ，进而得到()g x '，判断()g x '与0的关系即可得出函数()g x 的单调区间，得极值点；（2）引入新函数()()22m m x f x x =-，依题意可得函数()m x 在()0,∞+上单调递减，求导可知1ln xm x+≥在()0,∞+上恒成立，结合函数()g x 的单调性，求得()g x 在()0,∞+上的最大值，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()1ln f x x '=+，()1ln xg x x+=， ()2ln xg x x ∴'=-，显然，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，∴函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故1x =是函数的极大值点；（2）对于()()()2221212m x x f x f x ->-可化为()()22112222m m f x x f x x ->-，令()()22m m x f x x =-，210x x >>，()m x ∴在()0,∞+上单调递减，()1ln 0m x x mx ∴'=+-≤在()0,∞+上恒成立，即1ln xm x+≥，又()1ln xg x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()g x ∴的最大值为()11g =，1m ∴≥，即实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数()()22m m x f x x =-，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围． 22．（1）答案见解析；（2）存在，2a e =.【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；（2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；【详解】（1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故 ()11ax g x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数，当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. （2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以 ()()min 1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去. 当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<③对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可.23．（Ⅰ）2b =-；（Ⅱ）c 的取值范围是()(),12,-∞-+∞．（Ⅲ）成立，证明见解析.【分析】（Ⅰ）由题意得f （x ）在x ＝1处取得极值所以f ′（1）＝3﹣1+b ＝0所以b ＝﹣2．（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g （x ）的最大值，则有c 2＞2+c ，解得：c ＞2或c ＜﹣1．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立，等价于|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=．【详解】（Ⅰ）∵f （x ）＝x 312-x 2+bx +c ， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x +b ．∵f （x ）在x ＝1处取得极值， ∴f ′（1）＝3﹣1+b ＝0． ∴b ＝﹣2．经检验，符合题意．（Ⅱ）f （x ）＝x 312-x 2﹣2x +c ． ∵f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），当x ∈（﹣1，23-）时，f ′（x ）＞0 当x ∈（23-，1）时，f ′（x ）＜0 当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0∴当x 23=-时，f （x ）有极大值2227+c ．又f （2）＝2+c 2227+＞c ，f （﹣1）12=+c 2227+＜c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最大值为f （2）＝2+c ． ∴c 2＞2+c ．∴c ＜﹣1或c ＞2．（Ⅲ）对任意的x 1，x 2∈[﹣1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|72≤恒成立．由（Ⅱ）可知，当x ＝1时，f （x ）有极小值32-+c ．又f （﹣1）12=+c 32-+＞c ∴x ∈[﹣1，2]时，f （x ）最小值为32-+c ． ∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min 72=，故结论成立．【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f （x 1）﹣f （x 2）|≤a 恒成立等价为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤a24．（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 极小值2(12ln )2k k -；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=，由()0f k ≤得e k ≥，讨论e k =和e k >时端点的函数值即可得证.【详解】（Ⅰ）由22()ln 02 ()x f x k x k >=-得222()k x k f x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x k =．()f x 与()'f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：x (0,)k k(,)k +∞()'f x-+()f x↘极小值↗所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值2(12ln )()2k k f k -=，无极大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=．因为()f x 存在零点，所以2(12ln )02k k -≤，从而e k ≥．当e k =时，()f x 在区间(1,e)上单调递减，且(e)0f =，所以e x =是()f x 在区间(1,e]上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,e)上单调递减，且1(1)02f =>， 2e (e)02kf -=<，所以()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,e]上仅有一个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；分离参变量，即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题.25．（1）(),1-∞和()2,+∞；（2）()1,8-. 【分析】（1）求出函数的导数，令导数小于0，解出不等式即得单调递减区间；（2）可得不等式等价于220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，讨论对称轴的范围，令22x ax a -+在[)1,x ∈+∞的最小值大于0即可求出. 【详解】（1）当3a =时，3213()232f x x x x =-+-，则()()()23212f x x x x x '=-+-=---，令()0f x '<，解得1x <或 2x >，()f x ∴的单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞；（2）()22'=-+-f x x ax ，则()2221x ax a -+-<-，即 220x ax a -+>对于任意[)1,x ∈+∞恒成立，令()22g x x ax a =-+，对称轴为 2ax =，开口向上，当12a≤，即2a ≤时，()g x 在 [)1,+∞单调递增， ∴()()min 1120g x g a a ==-+>，解得 1a >-，12a ∴-<≤；当12a >，即2a >时，()2min 20242a aa g x g a a ⎛⎫==-⨯+> ⎪⎝⎭，解得 08a <<， 28a ∴<<，综上，18a -<<. 【点睛】方法点睛：解决一元二次不等式在给定区间的恒成立问题的方法：构造二次函数，求出函数的对称轴和开口方向，讨论对称轴的范围，结合二次函数的单调性求出最值，然后列出不等式即可求解.26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28. 【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。

高考数学压轴专题临沂备战高考《函数与导数》真题汇编

【高中数学】数学《函数与导数》试卷含答案一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（） ABCD【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <；当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．已知()(1)|ln |xf x x x =≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m的取值范围是（）A．1,2(2,)e e⎛⎫⋃⎪⎝⎭B．11,ee⎛⎫+⎪⎝⎭C．(1,)e e-D．1ee⎛⎫⎪⎝⎭,【答案】C【解析】【分析】由已知易知()f x m=与()1f x m=+的根一共有4个，作出()f x图象，数形结合即可得到答案.【详解】由22[()](21)()0f x m f x m m-+++=，得()f x m=或()1f x m=+，由题意()f x m=与()1f x m=+两个方程的根一共有4个，又()f x的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()|ln|lnx xf xx x==，令()lnxg xx=，则'2ln1()(ln)xg xx-=，由'()0g x>得x e>，由'()0g x<得1x e<<或01x<<，故()g x在(0,1),(1,)e单调递减，在(,)e+∞上单调递增，由图象变换作出()f x图象如图所示要使原方程有4个根，则1m em e<<⎧⎨+>⎩，解得1e m e-<<.故选：C【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.3．已知直线2y kx=-与曲线lny x x=相切，则实数k的值为（）A．ln2B．1 C．1ln2-D．1ln2+【答案】D【解析】由lny x x=得'ln1y x=+，设切点为()00,x y，则ln1k x=+，000002lny kxy x x=-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.4．已知21()cos 4f x x x =+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】Q ()21f cos 4x x x =+，()()1'sin ,'2f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．故选C ．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．6．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<,所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.7．336ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（）A ．2ln 2B ．ln 2C ．2D ．1【答案】A 【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（）A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f << B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.31.130.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.9．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．10．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C 【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质11．已知函数()ln xf x x=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】令()ln xt f x x==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】令()ln x t f x x ==，当01x <<时，()0ln xt f x x==<，当1x >时，()2ln 1()ln x t f x x -''==，当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥，如图所示：所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解，令ln t m t =，21ln 0t m t -'=≤，所以ln tm t=在[),e +∞上递减，所以10m e<≤，所以10a e <≤，当1a e=时，x e =，只有一个零点，不合题意，所以10a e<< 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．已知ln 3ln 4ln ,,34a b e c e===（e是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（） A ．c a b << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】【分析】根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e===的结构特点，令()ln x f x x =，求导()21ln xf x x-'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】令()ln xf x x=，所以()21ln xf x x -'=，当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减. 因为34e <<，所以 ()()()34>>f e f f ，即b a c <<. 故选：C 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.13．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（） A ．5ln )4[2,2+B ．5[2ln 2,ln 2)4-+C ．5(ln 2,2ln 2)4+- D ．(]2ln2,2-【答案】A 【解析】【分析】将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】()f x Q 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，即221ln 3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，令()2ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x---+'=+-==， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，又15ln 224h m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，()12h m =-，()2ln 22h m =-+，原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.14．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2f -的值为（）A ．0B ．3C ．32D ．92-【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则函数的周期3T =，据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】【分析】判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()331log log 55b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a b << 故选：B【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.16．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥17．函数()()2ln 43f x x x=+-的单调递减区间是（） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】D【解析】【分析】先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论．【详解】由2430x x +->得14x -<<，即函数定义域是(1,4)-，2232543()24u x x x =+-=--+在3(1,]2-上递增，在3[,4)2上递减，而ln y u =是增函数，∴()f x 的减区间是3[,4)2．故选：D ．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．18．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（） A ．20152016 B ．20162017 C ．20172018 D ．20182019【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值．【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直， ()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．19．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（）A ．(),2-∞-B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．()2,-+∞【答案】D【解析】【分析】设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.【详解】设()()36g x f x x =--， Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.20．函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭ C ．51,3⎛⎫⎪⎝⎭ D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】根据0a >可知5y ax =-在定义域内单调递减，若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解不等式即可. 【详解】0a >Q5y ax ∴=-在定义域内单调递减若使得函数()()()log 5,0,1a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数则需1530a a >⎧⎨-≥⎩，解得513a <≤ 故选：D【点睛】本题考查对数函数的单调性，属于中档题.。

山东省临沂一中11-12学年高二数学上学期期末考前训练试题新人教A版【会员独享】

）
4
A.(1,0)
B.
1 ,0
16
C.(0,1)
D.
1 0,
16
5. 方程 2 x2 5 x 2 0 的两个根可分别作为（
）的离心率。
A．椭圆和双曲线 B ．两条抛物线 C ．椭圆和抛物线 D ．两个椭圆
6. 若双曲线的顶点为椭圆 x 2
为 1，则双曲线的方程是（
y 2 1 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积 2
n
n
n
6000
( 2 15n
400) A 1000A （元）
n
当且仅当 15n
6000
,
n =20（层）时，总费用
y 最少．
n
答：当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 时 , 最少总费用为 1000A 元．
22. 1 ， x2
y2
x2
1或
y2 1
2 12 9
9 12
sin 135
在 Rt △ ABC中，∠ ACB＝ 60°，
AB BC tan 60 15 2 3 15 6 （米）
答：塔 AB的高为 15 6 米． …………………………… 10 分
18.
解：由
2
x
mx 1
0 有两个不相等的负根
m2
,则
4
0，, 解之得 m
2.
m0
即命题 p : m 2.
由 4x2 4(m 2) 1 0无实根 , 则 16(m 2)2 16 0 , 解之得 1 m 3 .
是
．
15. 已知点 A 0,2 及椭圆 x 2 y 2 1上任意一点 P ，则 PA 最大值为
。
4
16. 直线 y kx 2 交抛物线 y 2 8x 于 A，B 两点，若 AB中点的横坐标是 2, 则 AB =_______.[

高考数学压轴专题临沂备战高考《函数与导数》经典测试题及答案

【最新】数学高考《函数与导数》复习资料一、选择题1．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.2．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．3．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()1,+?C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<.故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.4．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，若(1)1f =.则不等式1()2f x x <-的解集是（） A ．(2,3) B ．(,1)-∞C ．()(1,2)2,3⋃D ．()(,1)3,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令()|2|()F x x f x =-，当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，利用导数可得当2x >时，()F x 单调递增，根据题意可得()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠，从而()(1)F x F <，利用对称性可得|2||12|x -<-，解不等式即可. 【详解】当2x >时，()()2()x f x f x f x ''⋅+>，∴(2)()()0x f x f x '-+>，令()|2|()F x x f x =-.当2x >时，则()(2)()F x x f x =-，()(2)()()0F x x f x f x ''=-+>，即当2x >时，()F x 单调递增. 函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以(2)(2)F x F x +=-，即()F x 的图象关于2x =对称，不等式1()|2|f x x <-等价于|2|()1(2)x f x x -<≠， (1)|12|(1)(1)1F f f =-==，即()(1)F x F <，所以|2||12|x -<-，解得13x <<且2x ≠，解集为(1,2)(2,3)U . 故选：C 【点睛】本题考查了导数在解不等式中的应用、函数的对称性的应用以及绝对值不等式的解法，属于中档题.6．三个数2233ln a b c e ===，的大小顺序为( ) A ．b <c <a B ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <b <c【答案】D 【解析】【分析】通过证明13a b c <<<，由此得出三者的大小关系. 【详解】132221ln 63a e e =<==，由于6123e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6328==，所以13e <，所以131ln 3e =<13a b <<.而66113232228,339⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113223<，所以11321ln 2ln 3ln 33<=，即b c <，所以a b c <<.故选：D 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，考查指数运算和对数运算，属于中档题.7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（） A ．()0,1B ．()1,eC ．()0,eD ．(),e +∞【解析】【分析】设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案. 【详解】设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-，因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <，所以ln 0x <，得01x <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数单调性可得到0.632log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可得大小关系. 【详解】()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 【点睛】本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.9．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．(0,1)(1,)⋃+∞D ．(1,)-+∞【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ，因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.10．已知函数()2f x x x =+，且()1231ln log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】【分析】由函数()2f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2f x x x =+，满足()()22()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，又当0x ≥时，()2f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，又由31ln22<=，113222log log 1<=-，1122-=，根据对称性，可得11323(ln )(2)(log )2f f f -<<，即a c b <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++ ≥17+24n 4mm n⋅=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ；函数有1-，0，1三个零点，故排除A ；当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.13．已知函数()ln xf x x=，则使ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点的a 的取值范围（） A ．(0,1) B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】令()ln xt f x x==，利用导数研究其图象和值域，再将ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解求解. 【详解】令()ln x t f x x ==，当01x <<时，()0ln xt f x x==<，当1x >时，()2ln 1()ln x t f x x -''==，当1x e <<时，0t '<，当x e >时，0t '>，所以当x e =时，t 取得最小值e ，所以t e ≥，如图所示：所以ln ()()()f x g x a f x =-有2个零点，转化为ln ta t=在[),e +∞上只有一解，令ln t m t =，21ln 0t m t -'=≤，所以ln tm t=在[),e +∞上递减，所以10m e <≤，所以10a e <≤，当1a e=时，x e =，只有一个零点，不合题意，所以10a e<< 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．15．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020xf x =，则()2020f =（） A ．2020B ．12020C ．11010D ．0【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.16．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c <<本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.17．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数【答案】D【解析】【分析】由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18．下列求导运算正确的是（）A ．()cos sin x x '=B ．()1ln 2x x '=C ．()333log x x e '=D ．()22x x x e xe '= 【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.19．函数2ln x xy x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.20．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（） A ．(4][2,)-∞-+∞U B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-UD ．[4,2]- 【答案】D【解析】【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.。

2023-2024学年山东省临沂市高中数学人教A版选修二一元函数导数及应用专项提升-11-含解析

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年山东省临沂市高中数学人教A 版选修二一元函数导数及应用专项提升(11)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）函数f (x )在上单调递减函数f （x ）有三个零点当x ＝0时，函数f （x ）取得最大值当x ＝0时，函数f （x ）取得极大值1. 已知函数f （x ）的导函数图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A. B. C. D. -8-76-52. 函数的图象在点处的切线的斜率为（）．A. B. C. D. 3. 已知函数，其中e 是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A ，B ，且A ，B 的横坐标分别为，则实数a 的值为（）A. B. C. D.3，33，﹣1﹣1，3﹣2，﹣24. 已知曲线y=f （x ）在x=5处的切线方程是y=﹣2x+8，则f （5）与f′（5）分别为（）A. B. C. D.5. 已知M是曲线上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于的锐角，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.6. 设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{ }（n∈N*）的前n项和是（）A. B. C. D.17. 设函数，直线是曲线的切线，则a+b的最大值是（）A. B. C. D.8. 若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7911129. 设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（）．A. B. C. D.01210. 函数，则（）A. B. C. D.11. 设是定义域为R的恒大于0的可导函数，且，则当时有（）A. B.C. D.是函数的极小值点-4是函数的极小值点函数在区间上单调递增函数在区间上先增后减12. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.13. 若点P是函数上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为 .14. 若是定义在上偶函数，当时，，且，则不等式的解集为 .15. 已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为 .16. 若函数，则．17. 已知函数，且函数在处的切线为．(1) 求a，b的值并分析函数单调性；(2) 若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围．18. 已知函数，为函数的导数.(1) 求的解集；(2) 求曲线在点处的切线方程.19. 已知函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程为．(1) 求和的值；(2) 当时，恒成立，求的最大值．20. 已知函数注：是自然对数的底数．(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；(2) 当时，函数在区间内有唯一的极值点．①求实数的取值范围；②求证：在区间内有唯一的零点，且．21. 已知函数 .(1) 当时,讨论函数的单调性；(2) 当时,对于任意正实数，不等式恒成立，试判断实数的大小关系.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。

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导数及其应用期末检测题一、选择题1.函数xx x x f ln 42)(2--=的单调增区间为( ) A. ),0(+∞ B. ),2()0,1(+∞- C. ),2(+∞ D.)0,1(-2．(2011·山东乳山4月模拟) 若函数s in ()x f x x =，则()f x 在(0,]2π上的最小值为（）A B ．sin1 C ．2π D ．无法确定3．设曲线11x y x +=-在点(3,2)P 处的切线与直线10a x y ++=垂直，则a =( ) A ．2B ．2-C ．12-D ．124．（2011·四川通江中学）函数32(1)(1)x y x -=+的单调减区间．．．．．是（） A ．)1,5(--和)1,1(- B ．)5,(--∞和),1(+∞ C ．)1,5(- D ．)1,5(--5．(2011·全国Ⅰ，理9)由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A ．103B ．4C ．163D ．66．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）7． (2011·合肥模拟) 已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞- C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞ 8．(2010·常德市检测)若2a >，则方程321103x a x -+=在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个根 B ．3个根 C ．2个根 D ．1个根9.（2010江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x=在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( )A ．4B ．14-C ．2D ．12- 10（2011·新乡模拟）函数1()e (s i n c o s)2x f x x x =+在区间[0,]2π上的值域为( )A ． 211[,e ]22πB ．41[e ]2πC ．421e ,e ]2ππD ．21[0,e ]2π二、填空题11.若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．12．若函数2()2l n f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内有极值．．．，则实数k 的取值范围是 .13.已知曲线lnx 34x y 2-=的一条切线的斜率为25-，则切点的坐标为；14．已知()()d xFx f t t π-=⎰，[,]22x ππ∈-，若()c o s f t t =，则下列叙述正确的是_______． ①()F x 是增函数 ②()F x 是奇函数③()()Fx f x '= ④()()F x f x +的最小值为 15．有下列命题： ①若)(x f 存在导函数，则;)]'2([)2('x f x f =②若函数()(1)(2)(2011)(2012)g x x x x x =--⋅⋅--，则(2012)2011!g '= ③若三次函数,)(23d cx bx ax x f +++=则"0"=++c b a 是“)(x f 有极值点”的充要条件． ④函数[]s i n (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的面积是s i n d S x x ππ-=⎰；⑤函数3y x =在点(0,0)O 处切线是x 轴．其中真命题的序号是 . 三、解答题16、求下列函数的导数． (1)y ＝x ＋xcos x －cos x ；(2)y ＝2xcos x －3x log 2 009x ； (3)y ＝x ·tan x ；17、求下列各函数的最值．(1)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2， x ∈[0,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．18. 已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立．19.(2011.全国高考）已知函数()()e xf x x k =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．20．已知函数1l n ()x f x x+=．（Ⅰ）若函数在区间1(,)2a a +(0)a >上存在极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果当1≥x 时，不等式()1≥k f x x +恒成立，求实数k 的取值范围．21.已知函数cx 6x 2)(a ax f(x)23-++-=（a,c 为常数），（Ⅰ）若函数f(x)为奇函数，求此函数的单调区间（Ⅱ）记c3x 2)(a 21g(x)2-++=，当0≤a 时，试讨论函数g(x)y =与f(x)y =的图象的交点个数.导数及其应用·参考答案一、选择题 CCBDC ADD AA7. D 【解析】不等式2(23)()0x x f x '-->化为2230,(1)()0x x f x ⎧-->⎨'>⎩或2230,(2)()0.x x f x ⎧--<⎨'<⎩∴由(1)得13,11x x x x <->⎧⎨<->⎩或或，∴x <－1或x >3；∴由(2)得13,11x x -<<⎧⎨-<<⎩ ， ∴－1<x <1.综上可知，(,1)(1,1)(3,)x ∈-∞--+∞．8．D 【解析】设321()13f x x a x =-+，则2()2(2)fxx a x x xa '=-=-．解()0f x '<得，02x a <<，(0,2)(0,2)a ⊂，所以函数()f x 在(0,2)上为减函数, 且(0)10,f =>11(2)40,3f a =-<(0)(2)0,f f ∴⋅< 由零点判定定理知，函数在区间(0,2)上恰好有一个根．9.解析：由已知(1)2g '=，而()()2fx g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A 二、填空题 11．20 12. 3[1,)213.（1，41） 14. ①②③ 15. ②⑤13． 3[1,)2【解析】由2411()40,x f x x x x -'=-=>得12x >；所以函数()f x 在1(0,)2上为减函数，在1(,)2+∞上为增函数．故只需1012112≤k k ⎧-<⎪⎨+>⎪⎩，解之得312k <≤．三、解答题16、略17．解 (1)因为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，所以f ′(x )＝11＋x －12x ＝－x2－x ＋221＋x ＝－x ＋2x －121＋x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表∴当x ＝又∵ln 3－1>0，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值0.即f (x )在[0,2]上的最大值为ln 2－14，最小值为0. (2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.18解：（Ⅰ）2()32(0)fx a x b x c a '=++≠，由题意得(1)11(1)5(1)0f f f =-⎧⎪-=⎨⎪'-=⎩ ，即115320a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ，解得139a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，.因此xx x x f 93)(23--=， 2()3693(1)(3)f xxx xx '=--=+-．当 ),3()1,(+∞--∞∈ x 时，'()0f x >；当)3,1(-∈x 时，'()0f x <．所以函数()f x 的单调增区间为)1,(--∞，),3(+∞；单调减区间为)3,1(-.故函数()f x 在1x =-处取得极大值，()(1)5fx f =-=极大值，在3=x 处取得极小值，()(3)27fx f ==-极小值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()39fx x x x =--在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减，所以m a x ()(1)5fx f =-=；m i n()(3)27fx f =±=-．所以，对任意12,x x )3,3(-∈恒有 12|()()||5(27)|32f xf x -<--=． 19．解：（Ⅰ）()(1)exf x xk '=-+．令()0,f x '=得1x k =-．当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是(,1)k -∞-；单调递增区间是(1,)k -+∞．（Ⅱ）当10k -≤，即1k ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)f k =-；当011k <-<，即12k <<时，由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1)k -上单调递减；在(1,1]k -上单调递增．所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为1(1)e k f k --=-；当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)e f k =-． 20．解：（Ⅰ）因为1l n ()x f x x +=， x >0，则2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值．因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<．（Ⅱ）不等式(),1k f x x +≥ 即为(1)(1l n ),x x k x ++≥记(1)(1l n)(),x xgx x ++=则m i n(),1.k g x x ≤≥ 所以2[(1)(1l n )](1)(1l n )()x x xx x g x x'++-++'=2ln x xx -=．令()l n h x x x=-，则1()1h x x'=-， 1x ≥Q ，()0,h x '∴≥[()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，m i n ()(1)10h x h ∴==>，从而()(1)0h x h >≥，所以()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，所以m i n()(1)2g x g ==．所以2k ≤．21.解：（Ⅰ）∵cx 6x 2)(a ax f(x)23-++-=为奇函数，∴2a 0,c -==.……………2分 ∴11)(x 6(x 6x 6(x)'f x,6x 2f(x)23-+-=+-=+-=. ,110)('≤≤-⇒≥x x f ∴f(x)y =单调递增区间为[-1，1]; 10)('-≤⇒≤x x f 或1≥x ，∴f(x)y =单调递减区间为),1[],1,(+∞--∞. ………… 5分（Ⅱ）函数)(x g y =的图象与f(x)y =的图象的交点的个数即为方程g(x)f(x)=的根的个数，即03x 6x 2)(a 23ax 23=-++-的根的个数. 令3x 6x 2)(a 23ax F(x)23-++-=，即是求函数)(x F y =的图象与x 轴的交点个数. 21)(ax 3(x 6x 2)3(a ax 3(x)'F 2--=++-=.…………………………………………7分 ①当0a =时，F(y ,1)3(x F(x)2=--=的图象与X 轴只有1个交点；……………8分 ②当0a <时，)21)(a(x 3(x)F'1,a 2ax --=<. 当x 变化时，、F(x)(x)F'的变化情况如下表：由表格知：043)43a 14()a2F(F(x)2极小值<---==， 0.2aF(1)F(x)极大值>-==经验算03a 2F(2)<-=. ∴F(x)y =的图象x 轴有3个不同交点.……………………………………………………12分综上所述：当a=0时，函数g(x)y =的图象与函数f(x)y =的图象的交点的个数为1；当a<0时，函数g(x)y =的图象与函数f(x)y =的图象的交点的个数为3. …………………… 14分。