椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D. 1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．32 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ace ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.631.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.152.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 答案：454.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt△MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53.法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b29b2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：。
椭圆的性质二 焦点三角形的性质
|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2
椭圆综合应用专题3焦点三角形性质及应用1(1)
对椭圆两焦点所成张角中最大的角.
ｍ
P ｎ
cosθ = PF1 2 + PF2 2 - F1F2 2 = m2 +n2 - 4c2
2 PF1 PF2
2mn
F1
F2
= (m+n)2 -2mn- 4c2 = 4a2 -2mn- 4c2 = 4b2 -2mn = 2b2 -1
2mn
2mn
2mn mn
≥
2b2 (m+n)2
PF1
2 + PF2 2 - F1F2 2 PF1 PF2
2
=
m2
+n2 - 4c2 2mn
P
= (m+n)2 - 2mn- 4c2 = 2b2 -1
2mn
mn
mn= 2b2
F1
F2
1+cosθ
如图此时θ取最大，此时cosθ最小为 - 275，mn最大为： 25
知识小结
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点
P1F =| P7F1 |
y
P1P2
P3
P4 P5 P6 P7
A
B
FO
x
P4F +| P4F |= 2a
∴ P1F + P2F +…… P7F = 7a
跟踪练习3
已知F1、F2是椭圆
x2 + 25
y2 9
=1的左
,
右焦点
,
点P在椭圆上运动
,
则 PF1 PF2 的最大值是_______
解析：cosθ =
2mn
2mn
2mn mn
≥
2b2 (m+n)2
-1
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
作者：章显军
来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第5期
浙江苍南县钱库高级中学（325804）章显军
“焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题.椭圆“焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端点外）与两个焦点构成的三角形.通常“焦点三角形”的问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余弦定理、三角形的面积、内角大小等知识，现笔者就椭圆“焦点三角形”的性质及应用举例分析如下.
综上对椭圆“焦点三角形”性质及其应用的分析，我们可以总结出：学生的学习只有通过自身的操作活动和创造性地做才可能是有效的.教师应通过引发创新思维的问题，让学生学会自主学习，培养他们独立思考的能力，这是培养创造能力的重要手段.学生具有这种能力，就会不断获取新知识，创造也就有了根基.
(责任编辑黄春香）。
椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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椭圆的焦点三角形公式
椭圆的焦点三角形公式椭圆是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要图形，而椭圆的焦点三角形则有着一些独特的公式和有趣的性质。
先来说说啥是椭圆的焦点三角形。
想象一下，椭圆上有一个点 P，然后连接椭圆的两个焦点 F₁和 F₂，这样就形成了一个三角形，这个三角形就叫做焦点三角形。
在焦点三角形中，有几个重要的公式。
比如说，焦点三角形的周长公式是 2a + 2c ，其中 a 是椭圆的长半轴，c 是椭圆的半焦距。
还有一个特别常用的公式是在焦点三角形 PF₁F₂中，设∠F₁PF₂ = θ，那么三角形的面积 S = b² × tan(θ/2) ，这里的 b 是椭圆的短半轴。
那这些公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿您就明白了。
记得有一次我给学生们上课，讲完这些公式后，我出了一道题让他们做。
题目是这样的：已知椭圆方程为 x²/25 + y²/16 = 1 ，点 P 在椭圆上，∠F₁PF₂ = 60°，求焦点三角形 PF₁F₂的面积。
大多数同学看到题目就开始埋头苦算，又是设坐标，又是用距离公式的，算得那叫一个费劲。
但有个聪明的同学就不一样啦，他马上想到了我们刚讲的面积公式S = b² × tan(θ/2) 。
这个椭圆里，b² = 16 ，θ = 60°，所以tan(θ/2) = √3/3 ，那面积 S 一下子就算出来是16√3/3 。
这时候其他同学都恍然大悟，原来用对了公式能这么轻松地解决问题。
从那以后，同学们对这些公式的印象可深刻了，遇到类似的题目也不再害怕。
咱们再回到焦点三角形的公式上来。
这些公式的推导其实也挺有意思的。
就拿面积公式来说吧，它是通过余弦定理和一些巧妙的代数变形得到的。
在学习和运用这些公式的时候，一定要注意理解每个字母代表的含义，还要多做一些练习题来巩固。
比如说，给您一个椭圆方程，让您求焦点三角形的周长或者面积，您就得能迅速判断出要用哪个公式，然后准确地代入数值计算。
焦点三角形的性质(经典!必看)
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba
椭圆中的焦点三角形问题
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
例
2、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 900 ，求△F1PF2 的面积 x
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
变式、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 600 ，求△F1PF2 的面积 x
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
例
2、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 900 ，求△F1PF2 的面积 x
答案为9
变式、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
答案为 3 3 且 F1PF2 600 ，求△F1PF2 的面积
猜想：已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 ，则△F1PF2 的面积为多少？
此问题可以推广到一般情况为：
若
P
是椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上一点，
.
变式2：F1, F2是椭圆C :
秒杀题型 焦点三角形(椭圆与双曲线)
2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。
秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。
2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。
类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。
)。
1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。
1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。
〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。
解析几何解题小论文精选：椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明
22a -m椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在 直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的 两个端点. 证明：延长F 2H 至M ,交PF i 于M ••• PT 平分/ MPF 2 ，又 F 2H 丄 PT,.・.|PM |#PF 2 | 又 I PF i | +| PF 2 |=2a , ••• |PM | +| PR |=2|OH ^|OH |=a . ••• H 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点 . （二）椭圆中，椭圆焦点三角形中 ，以焦半径为直径的圆必 与以椭圆长轴为直径的圆相内切 . 证明：如图，设以焦半径 MF 2为直径的圆的半径为 「1, 圆心为O i , 由椭圆定义知［MF t | +| MF 2 曰 AB 匕| MF , |# AB | —| MF 2 | 1 1 •- |OO i | 石| MF i |=3（| AB| _|MF 2 |） =a-r i •••O O 、O O i 相内切B X（三）设A i 、A 2为椭圆的左、右顶点，则△ PF I F 2在边PF 2 （或PF i ）上的旁切圆，必与A I A 2所在的直线切于 A 2 （或A i ）. 证明：设旁切圆切x 轴于A'，切PF 2于M , F i P 于N ,则 |PN|#P M| , |MF 2| 斗 MA'| , |F i N|=|F i A'| ,••• | PF i |+| PM UF i F 2| +|MF 2 ||PF i |+| PF 2| —| F 2A'|=|F i F 2|+|F 2A'| =2a =2c +2| F 2A'^| F 2A'^^c^ F 2A 2 | ••• A'与A 2重合.2 2（四）椭圆务+与=（（a>b>o ）的两个顶点为 a b 与y 轴平行的直线交椭圆于 P i 、P 2时， 2 2A i P i 与A 2P 2父点的轨迹方程是 务-■yr =i- a b 证明：设交点 S （X o ，y o ） , Rg n ） , P 2（m, 7） * K p i A =K A I S K F 2A> =K P 2S , A （7,0） ,A 2（a,0）,p -A .an _ y 。
椭圆焦点三角形(解析版)
椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。
本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。
定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。
性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。
那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。
由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。
根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。
由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。
因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。
得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。
定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。
高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：椭圆中焦点三角形的周长问题-Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。
利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的2倍。
先看例题： 例：如图,椭圆E :22143x y +=的左焦点为F 1,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,求△ABF 2的周长.规律整理：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1，右焦点为F 2， 过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF V 的周长为4a椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1，右焦点为F 2， 过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则1ABF V 的周长为4a注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。
再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为（ ）即4a =16,a =4.又22c e a ==,所以22c =,所以2222b a c =-=.故椭圆C 的方程是221168x y +=. 练习：1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|F 1B |若|AB |=4， △ABF 2的周长为16，求|AF 2|；若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率. 2. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33 ，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43C 的方程为( ) A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=。
椭圆焦点三角形内切圆圆心轨迹方程
椭圆焦点三角形内切圆圆心轨迹方程引言任务概述在平面几何中，椭圆焦点三角形是由一个椭圆的三个焦点和一个任意点构成的三角形。
本文将讨论椭圆焦点三角形内切圆的圆心轨迹方程。
通过推导和证明，我们将得到该方程。
背景知识在继续我们的讨论之前，让我们快速回顾一下椭圆和焦点三角形的一些基本概念：•椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。
在椭圆上，焦点到任意一点的距离之和是常数。
•椭圆的主轴是连接两个焦点的线段，并通过椭圆的中心。
椭圆的短轴是垂直于主轴并通过椭圆的中心的线段。
•椭圆的焦距是指焦点到椭圆的中心距离的一半。
•焦点三角形是由椭圆的三个焦点和一个任意点构成的三角形。
该三角形满足一个重要的性质：它的外接圆的圆心恰好是椭圆的中心。
目标本文的目标是推导椭圆焦点三角形内切圆圆心轨迹的方程。
通过分析椭圆焦点三角形和内切圆的性质，我们将得到该方程并进行证明。
推导与证明椭圆焦点三角形为了推导内切圆的圆心轨迹方程，我们首先需要了解椭圆焦点三角形的一些性质。
性质1：焦点三角形的外接圆的圆心是椭圆的中心。
根据焦点三角形的定义，它的三个顶点是椭圆的三个焦点。
由于椭圆的所有点到中心的距离相等，所以焦点三角形的外接圆的圆心必然是椭圆的中心。
性质2：焦点三角形的外接圆半径是椭圆的短轴的一半。
证明：考虑椭圆的焦点到椭圆的中心的距离，即焦距。
对于椭圆的长轴，我们将距离中心更远的焦点标记为”F1”，距离中心更近的焦点标记为”F2”。
对于椭圆的短轴，我们将距离中心更远的焦点标记为”F3”，距离中心更近的焦点标记为”F4”。
当我们构建焦点三角形时，我们可以确定三个特殊的角度：F1、F2和F3所形成的角是90度，F1、F2和F4所形成的角也是90度。
这是因为椭圆定义为两个焦点到任意点的距离之和等于常数。
根据此信息，我们可以看到椭圆的短轴和焦点三角形的外接圆的半径之间存在关系。
由于外接圆是焦点三角形的外接圆，它的圆心是椭圆的中心，所以外接圆与椭圆的焦点三角形共享同一中心。
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
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焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，212121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan 221=︒==∆θb S PF F .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ， ∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．32 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且c/a=√5/3， 求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan 22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a ace ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.631.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 答案：454.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．4.解：设|AF 2|＝m ，则|AF 1|＝3m ，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4m . 又在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|＝|AF 1|2－|AF 2|2＝22m .∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2|2a ＝22m 4m ＝22.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53.法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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