为什么要证明北师大版八年级数学上册教学课件
北师大版八年级上册数学7.1为什么要证明优秀教案
7． 1为何要证明1．认识推理的意义，知道要判断一个数学结论能否正确，一定进行推理；( 要点 )2．会用实验考证、举出反例、推理等方法简单地考证一个数学结论能否正确． (难点)一、情境导入人的视觉有时遇到四周环境和自己经验的影响，会指引我们做犯错误的判断．只有经过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形仍是梯形？你能必定吗？如何来考证你的结论呢？快来学习本节知识吧！二、合作研究研究点一：数学的结论一定经过严格的论证当 n＝ 1， 2，3， 4，5 时，代数式n2－ 3n＋ 7 的值是质数吗？你能必定：关于全部的自然数，式子 n2－ 3n＋ 7 的值都是质数吗？分析：把 1，2，3，4，5 等自然数代入n2－ 3n＋ 7 中进行考证．解：当 n＝ 1，2， 3， 4，5 时， n2－3n＋7 的值分别是 5， 5，7， 11，17，全部是质数．而当 n＝ 6 时，n2－ 3n＋ 7＝ 62－ 18＋ 7＝25＝ 52. 因此关于全部自然数，式子n2－ 3n ＋ 7 的值不都是质数．方法总结：判断一个数学结论能否正确，只是依赖经验、察看是不够的，一定给出严格的证明或实验考证．研究点二：查验数学结论的常用方法【种类一】实验考证先察看再考证．(1)图①中实线是直的仍是曲折的？(2)图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？(3) 图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？分析：①② 用直尺量；③ 用三角板平推．解：察看可能得出的结论是： (1) 实线是曲折的；(2)a 更长一些； (3)AB 与 DC不平行．而我们用科学的方法考证后发现： (1) 实线是直的； (2)a 与 b 同样长； (3)AB 平行于 CD.方法总结：有时视觉受四周环境的影响，常常误导我们，让我们得犯错误的结论，因此仅靠经验、察看是不够的，只有经过科学的实验进行严格的推理，才能得出最正确的结论．【种类二】举出反例当 n 为正整数时，代数式 (n 2－ 5n＋5) 2的值都等于 1 吗？分析：关于代数式 (n 2－5n＋ 5) 2，n 的取值为正整数，要判断 (n 2－5n＋ 5) 2的值能否为 1，能够先取值分别求出代数式的值．解：当 n＝1 时， (n 2－ 5n＋ 5) 2＝12＝ 1；当 n＝2 时， (n 2－5n＋ 5) 2＝( － 1) 2＝ 1；当 n ＝ 3 时， (n 2－ 5n＋5) 2＝ ( －1) 2＝ 1；当 n＝ 4 时， (n 2－5n＋ 5) 2＝12＝ 1；当 n＝ 5 时， (n 2－ 5n＋ 5) 2＝ 52＝25≠1. 因此当 n 为正整数时， (n 2－5n＋ 5) 2不必定等于 1.方法总结：考证特例是判断一个结论错误的最好方法．【种类三】推理证明如图，从点O 出发生出四条射线OA、OB、 OC、 OD，已知 OA⊥OC， OB⊥ OD.论证等．(1) 若∠ BOC＝ 30°，求∠ AOB 和∠ COD的度数；(2) 若∠ BOC＝ 54°，求∠ AOB 和∠ COD的度数；(3)由(1) 、 (2) 你发现了什么？(4)你能必定上述的发现吗？分析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，依据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．经过计算发现∠AOB＝∠COD，于是能够概括∠AOB＝∠COD.解： (1) ∵OA⊥OC， OB⊥ OD，∴∠ AOC＝∠BOD＝ 90 ° . ∵∠ BOC＝ 30°，∴∠ AOB＝∠AOC－∠ BOC＝ 90°－ 30°＝ 60°，∠COD＝∠ BOD－∠ BOC＝ 90°－ 30°＝ 60° .(2) ∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝ 90 ° －54°＝ 36°，∠ COD＝∠ BOD－∠ BOC＝ 90°－54°＝ 36° .(3)由(1) 、(2) 可发现：∠ AOB＝∠ COD.(4)∵∠ AOB＋∠ BOC＝∠ AOC＝ 90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝ 90 °，∴ ∠ AOB＋∠BOC＝∠ BOC＋∠ COD∴∠. AOB＝∠ COD.方法总结：查验数学结论详细经历的过程是：察看、胸怀、实验→ 猜想概括→ 结论→ 推理→ 正确结论．三、板书设计为什么,要证明)推理的意义：数学结论一定经过严格的论证实验考证查验数学结论的常用方法举出反例推理证明经历察看、考证、概括等过程，使学生对由这些方法获得的结论产生思疑，以此激发学生的好奇心，进而认识证明的必需性，培育学生的推理意识，认识查验数学结论的常用方法：实验考证、举出反例、推理。
北师大版八年级数学上册：71为什么要证明优秀教学案例
一、案例背景
北师大版八年级数学上册第71节“为什么要证明”是学生在掌握了丰富的几何图形知识后，首次接触到的证明内容。在此之前，学生对图形的性质、判定等已经有了较为深入的了解，但在实际应用中，往往缺乏对证明过程的逻辑思考和严谨性。本节课旨在让学生理解证明的意义，学会用几何语言表达证明过程，从而培养其逻辑思维能力和空间想象力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以现实生活中的实际问题为背景，创设一个引导性问题，激发学生的求知欲望，让学生感受到证明在实际生活中的应用价值。
2.几何情境：通过展示一个具有代表性的几何问题，引导学生发现证明的必要性，使学生在具体的情境中，自然地引入证明的概念。
3.动手操作情境：让学生亲自动手操作，通过实际操作体验，培养学生空间想象力，提高其对几何图形的认识和理解。
5.教学方法灵活多样：在教学过程中，我采用了启发式教学、情境教学、小组合作等灵活多样的教学方法，使学生在轻松愉快的氛围中学习。关注学生的个体差异，根据学生的实际情况，给予有针对性的指导，使他们在原有基础上得到提高，感受到成功的喜悦。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：本节课通过现实生活中的实际问题导入新课，使学生在解决问题的过程中自然地引入证明的概念。这种情境创设不仅激发了学生的学习兴趣，还使其感受到证明在实际生活中的应用价值，增强了学习的积极性。
2.问题导向引导思考：在教学过程中，我设计了一系列具有逻辑梯度的问题，引导学生自主探究，激发其思维的火花。通过提问，让学生发现证明过程中的关键步骤和易错点，及时给予引导和点拨。这种问题导向的教学策略，培养了学生独立思考和解决问题的能力。
2.设计具有挑战性的合作任务，让学生在解决实际问题的过程中，运用所学的证明方法。
北师大版八年级数学上册第七章 为什么要证明
【题型二】数学中的推理验证
例2：在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是 负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负 数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：不正确．理由：当n＝6时，n2－6n＝0，所以当n为任意正 整数时，n2－6n的值不一定为负数，所以小明的猜想不正确．
生活中的图片
彭罗斯楼梯
莫比乌斯环
克莱因瓶
视频导入
大家看 到的这 些魔术 是真实 发生的 吗？
眼见不一定为实，遇见问题需要证明
1.请同学们阅读课本162－163页． 2．观察课本162页的图片，完成下列问题.
①图7－1中两条线段a与b的长度相等吗？ 请你先观察， 再测量一下． 结论：a与b 的长度__相_等_____． ②图7－2中的四边形是正方形吗？ 将它四个角的度数，四条边的长度测量出来： _四__个__角__都_是__9_0_°_，__四__条_边__都__是__1_.7__c_m______________. 图7－2中的四边形__是__(填“是”或“不是”)正方形．
例4：如图所示，把一根细长的绳子沿中间对折，再将对折后的绳子沿 中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀将5次对折后的绳子从中 间全部剪断，此时细绳被剪成____3_3___段．
【题型三】实际生活中的推理验证
例5：甲、乙、丙、丁四人的车的颜色分别是白色、银色、蓝色和红色的其 中一种，且互不相同．在问他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白 色的．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说： “甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实
1 为什么要证明
1. 通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学 生对由这些方法得到的结论产生怀疑，从而认识到证明 的必要性，发展推理能力．
北师大版八年级上册数学7.1为什么要证明？
▪ 通过观察、分析图形，体验推理的重要性。
二、情景导入
▪ 曲线幻觉：竖条似乎是弯曲的，但其实他们 是笔直的而且相互平行的。
先观察、再测量
你能判断线段a与线段b长度的大小吗?
a
通过_测__量___，发现_a__=_b___.
已知（1）,(2),(3)中只有一句是真的，苹果 在哪个箱子里？
我们发现（1）与（3）互相矛盾，可两件矛盾 的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一 句。这样（2）必是假话，从而苹果在黄箱子里。
本课小节
▪ 要说明一个数学结论是否正确，无论验 证多少个特殊的例子，也无法保证其正 确性。要确定一个数学结论的正确性， 必须进行一步一步、有根有据的推理。
第七章 平行线的证明
7.1 为什么要证明？
一、前置诊测
▪ 1.线段的长短比较？ 当两条线段的长度相等时，就可以说这两条 线段相等。
▪ 2.什么是质数？ 除了1和他本身外，没有其他约数的数叫做质 数。
二、展示目标
▪ 了解推理的意义，知道要判断一个数学结论 是否正确，仅仅靠经验、观察是不够的，必 须进行推理。
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北师大版数学八年级上册 7.1《为什么要证明》教案-最新教学文档
第七章平行线的证明1 为什么要证明教学目标【知识与技能】1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,从而认识到证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例推理证明等,理解数学的严谨性.【过程与方法】通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识.【情感、态度与价值观】发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实,培养学生进行深入思考的能力和质疑精神.教学重难点【重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.【难点】体会数学推理的重要性和必要性.教学过程一、创设情境,引入新课师:在以前的学习过程中,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?下面我们一起来感受几个例子!1.探究一:观察得到的结论正确吗?教师多媒体出示.(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法体验你观察到的结论.(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.学生凭着自己的观察和直观感觉说想法后,组织学生动手量一量、算一算,验证结论是否正确.(图1中的两条线段相等;图2是正方形;图3中假设地球半径是R,则赤道长2πR,铁丝长(2πR+1)米,那么这个铁丝围成的半径是(R+)米,所以铁丝与赤道之间的间隙为米≈16厘米,能放进一个拳头).然后引导学生回答下列问题:(1)由观察得到的结论正确吗?(2)你还能举出日常生活中的例子吗?2.探究二:归纳得到的结论正确吗?(1)听故事“公鸡归纳法”:某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.天天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,该主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.第1天有食吃,第2天有食吃……第99天有食吃,一定能推出第100天有食吃吗?从这个故事中你明白了什么道理?同桌之间相互交流.(2)算一算验证“归纳法”:①出示代数式n2-n+11,让学生分别计算当n=1,2,3,4,5时,代数式的值是多少,提问它们的值都是质数吗?②追问学生:我们是不是可以由此得出结论,当n为任意自然数时,n2-n+11的值一定是质数呢?③让学生再多取几个数代入代数式中,验证结论是否正确.(不正确,比如当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数.)④思考:由归纳得到的结论一定正确吗?(3)再次验证“归纳法”.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.(DE与BC平行,且等于BC长度的一半;引导学生尝试猜想:连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边,且是第三条边长度的一半;组织学生进行归纳并验证结论,发现这样的结论对所有的三角形都成立.)小结:归纳得到的结论有的正确有的不正确.3.交流与发现.通过上述几类问题的分析,你有什么发现吗?(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢?(2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.二、例题讲解【例1】观察图1中的两条线段a与b,你认为哪条线段长些?图1分析:观察往往会产生错觉,得出的结论不一定正确,想要判断两条线段是否一样长,最科学、合理的方式是量一量,组织学生动手操作量一量.【答案】两条线段一样长【例2】图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用三角尺验证一下.【答案】线段b与线段d在同一直线上三、课堂小结1.通过本节课的学习,我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确,从而明白证明的意义和必要性.2.让学生反思自己在本节课学习中的优缺点、不足之处以及改进的方法,并能积极地参与与总结性的发言.。
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
北师大版数学八年级上册为什么要证明课件
探究新知
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD， 已知OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
有时视觉受周围环境的影响，往往误 导我们，让我们得出错误的结论，所以仅 靠经验、视察是不够的，只有通过科学的 实验进行严格的推理，才能得出最准确的 结论．
15
巩固练习
变变式式训训练练 图中两条线段a与b的长度相等吗?
a
b
a=b
巩固练习
变式训练
a
b 线段a与线段b哪个 比较长？
a bc
d 谁与线段d在 一条直线上？
解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC ＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC ＝90°－54°＝36°.
探究新知
例3 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD， 已知OA⊥OC，OB⊥OD. (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 解：(3)由(1)、(2)可发现：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态 度2..没有严格的推理，仅由若干特例归纳、
猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 3.要证明一个结论是错误的，举反例就 是一种常用方法.
探究新知 知识点 2 检验数学结论的常用方法 素养考点 1 实验验证法
例1 先视察再验证．
(1)图①中实线是直的还是曲折的？
2. 会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证 一个数学结论是否正确．
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否 正确，必须进行推理．
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明平行线的判定课件
C.三个都不正确 D.只有一个不正确
分析：这是一个文字证明题，需要先把 命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.
已知：∠1和∠2是直线a、b被直线c
截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b．
a
证明：∵∠1=∠2（已知）,
b
∴∠1=∠3（对顶角相等）,
c 3 1
2
∴∠3=∠2（等量代换）.
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
定理 两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补，那么这两条直线平行．
(2)同位角相等，两直线平行.
(3)同旁内角互补，两直线平行.
(4)内错角相等，两直线平行.
(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两
条直线相互平行.
(6)如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线平行.
(1)根据题意画出图形(若已给出图形， 则可省略)；
(2)根据题设和结论，结合图形，写出 已知和求证；
c
∵∠1=∠2， ∴a∥b。
a
1
b
2.上节课我们学到了要证明一个命题是真
命题，除公理、定义外，其他真命题都需 要通过推理的方法证实。下面我们就用 “同位角相等，两直线平行”这个基本事 实，来证明两直线平行的两个判定定理.
学习新知
定理 两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，那么这两条直线平行． 简述为：内错角相等，两直线平行.
a
1
2 b
3
∵∠3+∠2=180°（平角定代换）,
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
知识拓展
应用该定理判定两直线平行时；其关键是辨 认哪两个角是同旁内角，因此一定要抓住同 旁内角“在两条直线的内部且在截线的同 旁”的特点.
7.1 为什么要证明-北师大版八年级上册数学作业课件(共15张PPT)
A．若a＝10 cm，b＝10 cm，则a＝b A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解：(2n＋1)2－25＝4n2＋4n＋1－25＝4n2＋4n－
C．300人一定没有两人生日相同 9．警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋，经过审讯，A，B，C三名警察各自得出结论．A：主谋
只有可能是甲或乙；
5．下列推理正确的是( A ) A．若a＞b，b＞c，则a＞c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c C．因为∠AOB＝∠BOC，所以两角是对顶角 D．因为两个三角形的面积相等，所以它们全等
知识点二 检验数学结论的常用方法
12．设n为整数，试说明：(2n＋1)2－25能被4整除．
B．观察得到了五边形有五个内角 A．若甲对，则乙对
A．甲
B．乙
B．若乙对，则甲对
C．丙
D．丁
A．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．物理老师告诉了我们许多关于“引力波” 12．设n为整数，试说明：(2n＋1)2－25能被4整除．
6．某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说： “只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两 项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的 说法，下列四种说法中正确的是( B ) A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对 C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
解析：若甲对，即只参加一项的人数大于14 人，假设只参加一项的人数是15人，则两项 都参加的人数为5人，故乙错．若乙对，即 两项都参加的人数小于5人，则两项都参加 的人数至多为4人，此时只参加一项的人数 至少为16人，故甲对．故选B.
北师大版八年级数学上册《7.1 为什么要证明》公开课课件
是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是
② 如图，假如用一根比地球的赤道长1米 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球 赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形） 能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道 之间的间隙为 ：
c2 12c 21 0.1(6 m )
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头。
③ 如图，四边形ABCD四边的中点为E、F、G、H，度量四边形 EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状， 还能得到类似的结论吗？
解：通过度量，可以猜测：四边形 EFHG为平行四边形。
A E B
H
DGF源自C活动总结判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、 有根有据的推理。
请举例说明，你用到过的推理。
练一练
中间的圆大小一样吗？
练一练
两条线段一样长吗？
①
②
练一练
三条线段a,b,c，哪条和线段d在同一直线上？ ab c
d
练一练
当n为正整数时，n2+3n+1的值总是质数吗？
解：当n为1，2，3，4，5时， n2+3n+1的值分别为5，7，19，29，41， 但是当n等于6时， n2+3n+1的值为55， 55是合数， 所以，当n为正整数时， n2+3n+1的值不总是质数。
今天的收获
• 要说明一个数学结论是否正确，无论 验证 多少个特殊的例子，也无法保证其正 确性。
要确定一个数学结论的正确性，必须进行 一步一步、有根有据的推理。
今天的作业
课本习题6.1第2，3题
7.1 为什么要证明 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
7.1 为什么要证明
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［解析］若 A 错，则 B 为第一，C 为第二或第三，D
重
难
题 为最后一名，符合题意；若 B 错，则 B 最后，D 也是最后
型 一名，出现矛盾；若 C 错，则C 是第一或最后一名，与 A
突
破 是第一、D 是最后一名，矛盾；若 D 错，其他都对的话，
则没有最后一名．
7.1 为什么要证明
● 考点清单解读
● 重难题型突破
7.1 为什么要证明
■考点
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推理证明的必要性
考
点
1. 推理论证的意义：实验、观察、归纳得到的结论可能
清
单
解 正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确
读 ，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据
的证明.
2. 检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证法、验
1－（−1）
a3 是 a2的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，以此类推，则
1
3
a211＝______.
7.1 为什么要证明
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解题通法
在解决数式规律这类问题时，先猜想结论
重
难
题 或判断给出的猜想是否正确，然后再根据计算验证猜想是
型 否正确.
突
破
［答案］ 解：小明的猜想正确.理由：因为 n 为奇数
重
难
2-1=（2k+1
，所以可设
n=2k+1（k
为自然数），
所以
n
题
型 ）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1），
初中数学北师大版八年级上册1 为什么要证明
都是质数
当n=5时，
22n 1
= 4294967297=641×6700417
合数
如图，在三角形ABC中，点D、E分别是AB,AC的中
点，连接DE.DE与BC有怎样的数量关系和位置关系？
请先猜一猜再设法验三角形都成立吗？
A
A
A
D
E
D
E
D
EB
C
B
CB
n2-n+11
11 11 13 17 23 41 53 67 83 101121
是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 否
对于所有自然数n，代数式 n2-n+11的值都是质数吗？
费马 欧拉
当n=0，1，2，3，4时，
22n 1 = 3，5，17，257，65537
对于所有自
然数n，22n 1
为什么要证明
教师：张晶晶 单位：达川中学
这几条边是直的还是弯的？
中间的两个圆一样大吗？
中间的是正方形吗？
a
a bc
b d
线段a与线段b哪个 谁与线段d在
比较长？
一条直线上？
a
b
a=b
a bc
d
b和d在一条直线上
当n=0,1,2,3,4,5,时代数式n2-n+11的值是质数吗？
合
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数
C
结论： DE=1/2BC DE//BC
知识扩展：三角形中位线等于第三边的一半
且平行于第三边
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间 隙能有多大（把地球看成球形）？
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A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E
赛了（ B ）盘.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第七章第1课 为什么要证明-2020秋北师大版八年级 数学上 册课件
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4. 好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一起，他们
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第七章第1课 为什么要证明-2020秋北师大版八年级 数学上 册课件
解：AC2=32+12=10，BC2=32+12=10， AB2=22+42=20. 因为10+10=20，所以AC2+BC2=AB2. 所以△ABC为直角三角形. 所以∠ACB=90°. 所以△ABC是等腰直角三角形，即小莉画得对.
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那么最短交货期为
42
工作日.
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第七章第1课 为什么要证明-2020秋北师大版八年级 数学上 册课件
11. 某轮船往返于A，B两地之间，设船在静水中的
速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一
次所用的时间（ B ） A. 不变
B. 增加
C. 减少
D. 增加，减少都有可能
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二级能力提升练
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13. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人
比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，
重难易错
8. 某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个
景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙
只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根
据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的
景点是（ D ）
A. 甲、丙
B. 甲、丁
C. 乙、丁
D. 丙、丁
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些四位数共有 12 个.
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6. （例3）如果
，那么一定有x>y吗？
解：不一定有x>y.假设x=-3，y=2，
则
，但此时x<y.
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15. 顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一 件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务. 每件原 料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成 制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道 工序所需时间（单位：工作日）如下：
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7. 下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的
规律拼接而成. 依此规律，第5个图案中小正方形的个
数为 41
.
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第七章 平行线的证明
第1课 为什么要证明
新课学习
知识点1.推理证明的必要性 实验、观察、归纳得到的论可能正确，也可能不正确. 因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、 观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
1. （例1）观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间 的圆圈大？
解：一样大.
每一局比赛没有平局. 已知甲、乙各比赛了4局，丙当
了3次裁判，则第二局的输者是（ C ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
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三级拓展延伸练 14. 在如图所示的方格纸中，每一格小正方形的边长 均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对 吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法.
相互握手一次，中途统计各位同学握手次数：A同学握手
4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手第1课 为什么要证明-2020秋北师大版八年级 数学上 册课件
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5. 用1个6，1个8，2个9可组成多种不同的四位数，则这
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一级基础巩固练
三级检测练
10. 下列问题用到推理的是（ A ） A. 根据a=10，b=10，得到a=b B. 观察得到了三角形有三个角 C. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D. 由公理知道过两点有且只有一条直线
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2. 我们知道：2×2=4，2+2=4. 试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b=a+b？
解：不是.
知识点2.检验数学结论常用的方法
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3. （例2）有A，B，C，D，E共5位同学一起比赛象棋，
每两人之间只比赛1盘，比赛过程中间统计比赛的盘数：
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9. A，B，C，D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，
现已知：如果A中奖，那么B也中奖；如果B中奖，那么
C中奖或A不中奖；如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖；
如果D中奖，那么A也中奖，则这四个人中，中奖的人
数是
4
人.
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