2021全国卷最新版【初高中数学衔接教材】第04讲函数的单调性最终版

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2021年全国高考数学人教新版特色专题：函数的单调性与奇偶性-(讲义教师版)

函数的单调性与奇偶性知识集结知识元函数的单调性与奇偶性知识讲解1．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f （﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．例题精讲函数的单调性与奇偶性例1.（2021春∙沙坪坝区校级月考）下列函数为奇函数且值域为R的是（）A．y=x+B．y=xD．y=ln（x+）C．y=【答案】D【解析】题干解析:根据题意，依次分析选项：对于A，y=x+，为奇函数，但其值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），不符合题意；对于B，y==，为偶函数，不符合题意；对于C，y=，为奇函数，其值域为（-1，1），不符合题意；对于D，y=ln（x+），为奇函数且值域为R，符合题意；例2.（2021春∙南关区校级月考）下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x【答案】B【解析】题干解析:根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=-（x-1）2，为二次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增，符合题意；对于C，f（x）=3|x|，是偶函数但在（-∞，0）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）=cos x是余弦函数，是偶函数但在（-∞，0）上不是单调函数，不符合题意；例3.（2021∙栖霞市模拟）已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f （x）=2x，则=（）A．2 B．D．C．【答案】B【解析】题干解析:∵f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（x）的周期T=4，则=f（）=f（1010-）=f（252×4+2-）=f（2-）=f（）=2=2∙=2，当堂练习单选题练习1.（2021秋∙张家口期末）已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．【答案】A【解析】题干解析:因为f（x）为（-∞，+∞）上的减函数，所以有，解得≤a<，练习2.（2021∙3月份模拟）已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】题干解析:∵f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1=[（x-1）2-1]sin（x-1）+x-1+2令g（x）=（x-1）2sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），而g（2-x）=（x-1）2sin（1-x）-sin（1-x）+（1-x），∴g（2-x）+g（x）=0，则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[-1，3]上关于（1，2）中心对称。

函数的单调性课件(共17张PPT)

如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量．这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0；这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章函数
3.1.3 函数的单调性

2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件

利用单调性证明不等式
1 2
构造函数根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函数。
判断函数单调性通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调增加，导数小于零的区间内函数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点，需要进一步判断其左右两侧导数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单调性的研究，通过微分可以分析函数的局部变化率，进而判断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性与整体单调性一致，可以通过研究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。

2024版《课件函数单调性》ppt课件

THANKS
感谢观看
如三阶导数大于0时，函数在该区间内为上凹的；三阶导数小于0时，函数在该区间内为下凹的。
06 总结回顾与练习题
知识点总结回顾
01 02
函数单调性的定义
对于函数y=f(x)，如果对于区间I内的任意两个数x1, x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调递增（或单调递减）的。
利用函数的单调性分析市场需求、供给等经济现象。
在物理学中应用
利用函数的单调性描述物理量的变化趋势，如速度、加速度等。
在工程学中应用
利用函数的单调性优化工程设计，如寻找最优解、判断系统稳定性等。
04 复杂函数单调性分析方法
复合函数单调性判断
同增异减原则
内外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内外层函数单调性相反时，复合函数为减函数。
解不等式
根据函数单调性，确定不等式的解集。
利用单调性判断函数图像走势
判断函数单调性
通过求导或判断函数单调性的方法，确定函数在哪些区间上单调
根据函数的单调性，绘制出函数的大致图像。
分析图像走势
通过观察图像，分析函数的增减性、极值点、拐点等特征。
其他应用场景探讨
在经济学中应用
通过具体函数实例，展示如何利用定义法证明函数的单调性，并给出反例以加深理解。
严格单调与非严格单调
根据定义中“任意”两点的取值范围，区分严格单调（不包含端点）和非严格单调（包含端点）。
导数法证明单调性
导数与单调性关系
阐述导数正负与函数单调性之间的内在联系。
一阶导数判别法
通过求解一阶导数，判断函数在各区间内的单调性。

初高中衔接课(第二期)----第5节函数单调性的判断 (原卷版)

初高中衔接课——函数第五讲函数单调性的判断【单调性的定义】增函数与减函数的定义：一般地，设函数的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <，那么就说函数()x f 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f >，那么就说函数()x f 在区间D 上是减函数。

注意：（1）“定义域I 内某个区间D ”，即说明函数的单调区间是其定义域的子集；（2）增，减函数的定义中的21,x x 有三个特征：一是任意性，即不能用特殊值代替，“任意取21,x x ”中“任意”两字决不能去掉；二是有大小，通常规定21x x <；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可。

（3）自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即有()x f 是增（减）函数，则()()21x f x f <⇔21x x <（21x x >）单调性与单调区间：如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

【例题】如图是定义在闭区间[]5,5-上的函数()x f y =的图象，根据图象说出()x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数()x f y =是增函数还是减函数.【练习】下图为函数()x f y =在定义域[]7,4-∈x 的图象，指出它的单调增区间、单调减区间，以及最大值和最小值.【函数单调性的判定及证明】【例题】下列结论中，正确的是（）A.函数k kx y (=为常数，且)0<k 在R 上是增函数B.函数2x y =在R 上是增函数 C.函数xy 1=在定义域内是减函数 D.xy 1=在()0,∞-上是减函数【练习】下列四个函数中，在()+∞,0上是增函数的是（）A.x x f -=3)(B.x x x f 3)(2-=C.11)(+-=x x f D.||)(x x f -=【练习】求3||2)(2++-=x x x f 的单调区间.【例题】求证：函数xx x f 1)(+=在区间()+∞,1上单调递增.【练习】证明：函数1)(2+=x x f 在()0,∞-上是减函数.【练习】已知函数12)(+-=x x x f ，证明：函数)(x f 在()+∞-,1上为减函数.【练习】已知函数b a bx ax x f ,(1)(+=为常数)，且满足25)1(,2)21(==f f . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）试判断并证明函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21的单调性.【例题】（1）函数2)(x x x f -=的单调递增区间是__________.（2）函数|2|-=x x y 的单调递增区间是__________. 【练习】函数3412+--=x x y 的单调递增区间是__________.【练习】设函数⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x x x x x f ，则2)()(2-+=x x f x x g 的单调递增区间为（） A.()+∞∞-, B.[)+∞,0 C.[]2,1 D.[]0,2-【函数单调性的应用】【求参数的范围】【例题】函数32)(2--=mx x x f 在区间[]2,1上单调，则m 的取值范围是__________. 【练习】已知函数4)(2-+=x ax x f 在(]1,∞-上单调递增，求实数a 的取值范围__________.【练习】函数()212)(2+-+-=x a x x f 在[]4,1上是单调函数，则a 的范围是__________. 【练习】已知函数1)(2+-=x x x f ，若函数kx x f x g -=)()(在区间[]4,2上不是单调函数，则k 的范围是__________.【练习】设函数1)(2++=bx ax x f ，若0)1(=-f 且对任意实数x 均有0)(≥x f 成立，当[]2,2-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围.【利用单调性解不等式】【例题】（1）已知)(x f 为R 上的减函数，则满足)3()2(2f x x f <-的实数x 的取值范围是（）.A.[]3,1-B.()()+∞-∞-,31,YC.()13,3-D.()()+∞-∞-,13,Y（2）已知)(x f 是定义在[]1,1-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-，求x 的取值范围__________.【练习】已知函数)(x f 为R 上的减函数，则满足)1(1f x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的实数x 的范围是（） A.()1,1- B.()1,0 C.()Y 0,1-()1,0 D.()()+∞-∞-,11,Y【练习】设函数)(x f 在R 上为减函数，则下列结论正确的序号是__________.①)2()(a f a f >； ②)()(2a f a f <；③)()(2a f a a f <+； ④)()1(2a f a f <+；【练习】定义在[]4,1上的函数()x f 为减函数，求满足不等式0)4()21(2>---a f a f 的a 的值的集合.【练习】已知函数273)(++=x x x f . （1）求函数的单调区间；（2）当()2,2-∈x 时，有()()232m f m f >+-，求m 的范围.【例题】已知函数⎩⎨⎧<+≥++=0,120,1)(2x x x x x x f ，若)2()(2m f m f -<，则实数m 的取值范围是__________.【练习】若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若())(62a f a f ->-，则实数a 的取值范围为__________.。

《新高一数学衔接教程》函数的单调性(刘蒋巍编著)

教学内容（一）知识点讲解单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1,x 2∈I 并且x 1<x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间．（1）所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间上是单调减的。

单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的。

若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间；反之，则为开区间。

（2）设)(x f 在区间1I 和2I 上都分别是单调递增（或递减），且≠⋂21I I Ø，则)(x f 在21I I ⋃上也是单调递增（或递减）的。

若=⋂21I I Ø，则不一定成立。

如函数xy 1=在),0(+∞和)0,(-∞上均为单调递减的，但在),0()0,(+∞⋃-∞上不是单调递减的。

（3）设)(x f y =是在区间I 上的单调递增（或递减）函数，且)(x f 的值域为E ，则它在I 上必存在反函数，且反函数在E 上必是单调递增（或递减）函数。

特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的。

（4）关于复合函数))(( ))((x u x f y ϕϕ==①若)(u f y =与)(x u ϕ=单调性相同，则))(()(x f x F ϕ=是增函数。

②若)(u f y =与)(x u ϕ=单调性相反，则))(()(x f x F ϕ=为减函数。

（5）设)()(x g x f 、是定义在同一区间上的两个函数。

①若)()(x g x f 、是增函数（或减函数），则)()(x g x f +也必为增函数（或减函数）②若)()(x g x f 、恒大于0，且)()(x g x f 、都是单调增（或减）的，则)()(x g x f ⋅也是增函数（或减函数）。

（二）题型讲解例1证明函数()f x =在区间[2,)+∞是增函数。

2021全国卷最新版【初高中数学衔接教材】第05讲函数的奇偶性最终版

x2 −1
⑦ f (x) =
1− x2
；
2− | x + 2 |
⑧ f (= x) 1 + x ⋅ (x −1) ； 1− x
1，x ≥ 0 ⑨ f (x) = −1，x < 0 ；
x −1，x > 0 ⑩ f (x) = x + 1，x < 0 ．
⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；
(x)
= x4
+
1 x2
+ 1是偶函数．⑵证明：
g ( x=)
x3 + 1 是奇函数． x
【例 1】判断下列函数的奇偶性：
① f (x) = 3x ；
② f (x=) 3x −1 ；
④ f (x)= x − 1 ； x
⑤ f (x) = x2 − x +1；
③ f (x=) x4 + 1 ； ⑥ f (x) = x2 − x +1．
【例 2】将下列函数按照奇偶性分类：
① f= (x) x2 ，x ∈ (−1，1] ； ② f (= x) 0，x ∈ (−1，1) ；
③ f (x) = 1 ； x −1
④ f (x)= x −1 + 1 − x ；
⑤ f (x) = 1− x2 + x2 −1 ；
x3 + x
⑥ f (x) =
；
x
f (x) =
1
；⑹
x
f (x) = − 2 ．
x
函数图象的对称性
轴对称
中心对称
函数示意图
奇偶性
f (x) 满足的关系式
偶函数
f (−x) =f ( x)

函数的单调性 PPT精品课件

1. Def（局部极值）若f (x)在x0点的某领域
注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别其导数的符号即可，其步骤是: ⑴ 确定 f ( x) 的定义域； ⑵ 求 f (x) ，令 f(x)0求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间； ⑷ 判别 f (x) 在每个开区间内的符号，即可
确定 f ( x) 的严格单调性（严格单调区间）.
教学方法：启发式教学法和学生探究式教学法
目录
1 教学内容分析 2 学生情况分析 3 教学目标分析 4 教学重难点分析 5 教学方法分析 6 教学过程设计
六、教学过程设计
创设情境引入新课
初步探索概念形成
概念深化延伸拓展
证法探究应用定义
小结评价作业创新
六、教学过程设计
创设情境引入新课
x
(,1) (1,2) (2,)
y'
+
－
+
y
例2. y(x1)2(x2)3.
解：定义域是 R. 由 y f(x ) (x 1 )x ( 2 )2 (5 x 7 ). 令 f(x)0解x 得 1, 7和 2. 现列表讨论如下： 5
x
(,1)
(1 , 7 ) 5
(7 5
,2 )
(2,)
y'
+
－
+
+
y
可见 f(x)，在(7, )严格单调f(上 2)0 升 . ，但 5
注2. 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式．
Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：
(1) 在[a,b]上可导;
( 2 )在 ( a ,b ) 内 ,f( x ) g ( x )( 或 , f( x ) g ( x )); (3 )f(a)g(a),(或 f(b)g(b)),y

高中数学暑假初高衔接讲义函数的单调性

练习主题函数的单调性知识点一：函数的单调性在5.1节开头的第三个问题中，气温θ是关于时间t的函数，记为θ=f(t).观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的.怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高.也就是说，对于这段图象上的任意两点P（t1，θ1），Q（t2，θ2），当t1＜t2时，都有θ1＜θ2；类似地，对于区间（14，24）内任意两个值t1，t2，当t1＜t2时，都有θ1＞θ2.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x)的增区间.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x)的减区间.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间Ⅰ上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.例1、画出下列函数图像，并写出单调区间.（1）y=-x 2+2；（2）y=x1；对应练习：1、（多选）如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在下列区间单调递增的是（）A.[2，5]B.[-6，-4]C.[-1，2]D.[-1 ，2] ∪[5，8] 2、已知函数f(x)=-x 2，则（）A. f(x)是减函数B. f(x)在（-∞，-1）上是减函数C. f(x)是增函数D. f(x)在（-∞，-1）上是增函数 3、函数f(x)=1-x 2-x （） A.在（-1，+∞）内单调递增 B.在（-1，+∞）内单调递减 C.在（1，+∞）内单调递增 D.在（1，+∞）内单调递减 4、函数s=x 3x 2 的单调递减区间为（）A.（-∞，23] B.[23-，+∞） C.[0，+∞） D.（-∞ ，-3] 5、画出函数f （x ）=∣x+1∣的图像，并根据图像写出函数f （x ）的单调区间.例2、证明：函数f(x)=x1--1在区间（-∞，0）上是增函数.对应练习：1、证明：函数f （x ）=-2x+1是减函数.2、根据函数单调性的定义，证明函数f （x ）=-x 3+1在R 上是减函数.3、函数f （x ）=2x3-在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.巩固练习：1、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A.y=∣x+1∣B.y=3-xC.y=x1 D.y=-x 2+4 2、已知函数f(x)的定义域为(a ，b)，且对其内任意实数x 1，x 2，均有(x 1-x 2)·[f(x 1)-f(x 2)]＜0，则f(x)在(a ，b)上是（）A.增函数B.减函数C.既不是增函数也不是减函数D.常数函数 3、已知m ＜-2，点(m-1，y 1)，(m ，y 2)，(m+1，y 3)都在二次函数y=x 2-2x 的图象上，则（）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 3＜y 2＜y 1C.y 1＜y 3＜y 2D.y 2＜y 1＜y 34、如图所示的是定义在区间，[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是（）A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1，4]上单调递增C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减D.函数在区间[-5，5]上没有单调性5、用几何画板画出函数f(x)=x 3-3x+1的图象如下，则函数f(x)的增区间是（）A.(-1，1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)和(1，+∞)D.(-∞，-1)或(1，+∞) 6、函数f(x)=的增区间为（）A.(-∞，0)，[0，+∞)B.(-∞，0)C.[0，+∞)D.(-∞，+∞) 7、已知函数f(x)=4x 2-kx-8在(-∞，5]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A.(-24，40)B.[-24，40]C.(-∞，-24]D.[40，+∞)8、若函数y=f(x)在R 上为增函数，且f(2m)＞f(-m+9)，则实数m 的取值范围是（）A.(-∞，-3)B.(0，+∞)C.(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 9、已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(x 2-2x)＜f(3)的实数x 的取值范围是（）A.[-1，3]B.(-∞，-1)∪(3，+∞)C.(-3，3)D.(-∞，-3)∪(1，+∞) 10、函数f （x ）=∣x-2∣x 的单调递减区间是 . 11、已知函数f （x ）=，则f （x ）的单调递减区间是 .12、若函数f （x ）=1ax 在区间[-1，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .13、已知函数f （x ）=，则不等式f （x 2+x+3）＞f （3x 2-3）的x 的解集是________．14、根据定义证明函数f （x ）=x+x9在区间[3，+∞）上单调递增.函数的最大（小）值例1、求下列函数的最小值：（1）y=x 2-2x ；（2）y=x1，x ∈[1，3]对应练习：1、函数f(x)在[-2，+∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（）A. 3，0B. 3，1C. 3，无最小值D. 3，-2 2、已知二次函数f(x)=2x 2-4x ，则f(x)在[-1，23]上的最大值为 .求函数的最值 1、利用单调性求最值例2、函数y=2x+1-x 的最小值为 .【教材115页】第7题、已知函数f(x)=x+x1，x ∈（0，+∞）. （1）求证：f(x)在区间（0，1]上是减函数，在区间[1，+∞）是增函数；（2）试求函数f(x)的最大值或最小值.例3、已知函数f(x)=1x 23-x 12-x 42 ，x ∈[0，1]，求函数f(x)的单调区间和值域；对应练习：1、设函数f(x)=2-x x2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M 2m =（）A.32 B.83 C.23 D.382、（多选）当x ≥1时，下列函数的最小值为4的有（）A.y=4x+x 1B.y=1-x 25x 4-x 42+C.y=1x 5x 22++D.y=5x x 1-3、已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈[1，+∞），（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈[1，+∞），f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．二次函数的最值问题 1、定轴定区间例4、已知函数f(x)=3x 2-12x+5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值.（1）R ；（2）[0，3]；（3）[-1，1]2、动轴定区间例5、求函数f(x)=x 2-2ax-1，x ∈[0，2]的最大值和最小值.3、定轴动区间例6、已知函数f(x)=x 2-2x+2，x ∈[t ，t+1]，t ∈R 的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式.4、动轴动区间例7、设a 是正数，ax+y=2（x ≥0，y ≥0），记h （x ，y ）=y+3x 2x 21-的最大值为M （a ），求M （a ）的表达式.对应练习：1、已知函数f(x)=x 2+2ax+2，求f(x)在[-5，5]上的最大值与最小值．2、已知函数f(x)=x 2-2x+3，当x ∈[t ，t+1]时，求f(x)的最大值与最小值．3、已知函数f(x)=ax 2+2（a-1）x-3（a ≠0）在区间[23-，2]上的最大值是1，求实数a 的值．巩固练习：1、函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1]上有最小值，则a 的取值范围是（）A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＞1D ． a ≥12、若函数：y=ax+1在区间[1，3]上的最大值是4，则实数a 的值为（）A.-1B.1C.3D.1或3 3、二次函数y=ax 2+4x+a 的最大值是3，则a=（）A.-1B.1C.-2D.1-4、函数y=3x+1-x 的值域是_______．5、函数f （x ）=，的最小值为，最大值为 .6、已知函数y=x 2-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是_______． 7、已知函数f （x ）=1-x 1x 2+，在区间[-8，4）上的最大值为______． 8、已知f(x)=1-x x2≥a 在区间[3，5]上恒成立，则实数a 的最大值是_______． 9、设函数f(x ）=16x 2+-x 在x ∈[-3，0]上的最大值a ，最小值为b ，则a+b=________．10、设f(x)=x 2-2ax+a 2，x ∈[0，2]，当a=-1时，f(x)的最小值是；若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为 .11、已知函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1.若f(x)在区间[-1，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是；若函数f(x)在[1，2]上的最小值为2，则实数a 的值为 . 12、已知函数f(x)=x 2-ax+4.（1）当a=5时，解关于x 的不等式f （x ）＞0；（2）设函数g （x ）=xx f ）（（1≤x ≤5），若g （x ）的最小值为2，求g （x ）的最大值.。

2021年高考数学真题逐题揭秘第4题正弦型函数的单调性及应用(原卷版)

第4题正弦型函数的单调性及应用一、原题呈现【原题】下列区间中,函数()π7sin 6x x f ⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（） A. π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】解法一：因为函数sin y x =的单调递增区间为()ππ222π,2πk k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ,对于函数()π7sin 6x x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由()πππ2π2π262k x k k -<-<+∈Z ,解得()π2π2π2π33k x k k -<<+∈Z ,取0k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为π2π,33⎛⎫-⎪⎝⎭,则ππ2π0,,233⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,ππ2π,π,233⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A 选项满足条件,B 不满足条件；取1k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为5π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭, 3ππ2ππ,,233⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且3π5π8ππ,,233⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3π5π8π,2π,233⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,CD 选项均不满足条件,故选A. 解法二：利用复合函数的单调性逐个验证.设π6t x =-对于A,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时ππ,63t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,由7sin y t =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,可得A 满足条件；对于B,当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时π5π,36t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由7sin y t =在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上不单调,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π4π,63t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由7sin y t =在5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时4π11π,36t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由7sin y t =在4π11π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调,可得D 不满足条件；故选A..解法三：()π7sin 6x x f ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(),a b 上单调递增,则(),x a b ∈时()π7cos 06f x x ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭恒成立. 对于A,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时πππ663x -<-<,()0f x '≥恒成立,A 满足条件；对于B,当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,由5π2π1cos 0632f ⎛⎫'==-< ⎪⎝⎭,可得B 不满足条件；对于C,当3ππ,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由7πcos π106f ⎛⎫'==-< ⎪⎝⎭,可得C 不满足条件；对于D,当3π,2π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,由19π17πcos 01212f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭,可得D 不满足条件；故选A. 【就题论题】本题以正弦型函数为载体,考查三角函数的单调性,试题简洁流畅,属于常规题型,侧重对重要基础知识的考查.三角函数单调性是三角函数的一个重要性质,也是高考考查的热点,对于求正弦型函数的单调性课本有不少类似的题,这说明课本是高考试题的生长点,复习时不要丢掉课本.二、考题揭秘【命题意图】本题考查三角函数的单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质. 【得分秘籍】(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解； (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解；如已知ω>0,函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π2,π)上单调递增,求ω的取值范围．可先根据函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π,2k π],k ∈Z ,列出不等式组⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ,解得4k －52≤ω≤2k －14,k ∈Z ,再根据4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0,k ∈Z 且2k －14＞0,k ∈Z ,得k ＝1,求得ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，74. (3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间[],a b 上的值域或最值,一般根据y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间[],a b 上的单调性来求；(4)研究sin cos y a x b x =+的单调性,要先利用辅助角公式把函数化为构造y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式； (5)研究22sin sin cos cos y a x b x x c x d=+++的单调性,要先利用21cos21sin ,sin cos sin 2,22x x x x x -== 21cos2cos 2xx +=降幂,再利用辅助角公式把函数化为构造y ＝Asin(2x ＋φ)+B 的形式. 【易错警示】(1)研究 y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性时,如果ω＜0,一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错； (2)把sin cos y a x b x =+化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时忽略φ所在象限,导致φ值求错. (3)单调区间表示不规范,如没有用区间表示,没有写k Z ∈等.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021福建省宁德市高三质量检查）若偶函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数,则φ的可能取值为（） A ．6πB ．3πC ．56π-D ．23π-2．（2021广东省燕博园高三3月数学综合能力测试）已知函数()sin f x A =()x ωϕ+（A ,ω,ϕ均为正常数）,相邻两个零点的差为π2-,对任意x ,()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立,则下列结论正确的是（） A ．()()()220f f f -＜＜ B ．()()()022f f f -＜＜ C ．()()()202f f f -＜＜D ．()()()202f f f -＜＜3．（2021河北省沧州市高三三模）把函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可得到函数()f x 的图象,则（） A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减4．（2021湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高三下学期二模）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列,把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位,得到函数()g x 的图象,则函数()g x （） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦5．（2021湖南省三湘名校教育联盟高三下学期第三次大联考）函数f (x )=ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f (x )的单调递增区间为（）A ．[kπ﹣512π,k 12ππ+],k ∈ZB ．[kπ+12π,kπ+712π],k ∈ZC ．[kπ﹣2π,kπ+2π],k ∈ZD ．[kπ+12π,kπ+512π],k ∈Z6．（2021湖南省怀化市高三联考）已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围为（） A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．（2021江苏省镇江市四校高三联考）函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象,则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z8．（2021山东省淄博市高三一模）已知()()cos cos f x x x x =在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是32,则实数m 的最小值是（） A ．12πB ．3πC ．12π-D ．6π 9．（2021山东省日照第一中学高三第二次联合考试）已知函数()f x 在定义域上是单调函数,且()20202021xf f x ⎡⎤-=⎣⎦,当()sing x x x kx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调相同时,实数k 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(-C ．(,-∞D ．⎤+∞⎦10．（2021广东省惠州市高三下学期一模）切割是焊接生产备料工序的重要加工方法,各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要的几何形状和尺寸,绝大多数是通过切割来实现的.原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为28π的球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件,则该零配件最大体积为（）A ．6B ．C ．18D 二、多选题11．（2021广东省珠海市高三二模）已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-,则（）A ．π是函数()f x 的一个周期B ．6x π=-是函数()f x 的一条对称轴C ．函数()f x 的一个增区间是,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．把函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位,得到函数()f x 的图像12．（2021广东省汕头市高三三模）已知函数()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠,且对任意x ∈R 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则以下正确的有（） A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．23x π=是()f x 的一个零点 D ．a b = 13．（2021河北省石家庄市高三下学期质检）函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图,把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度,可得到函数()y g x =的图象,下列结论正确的是（）A ．3πϕ=B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称14．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知函数()()sin sin 03f x x x πωωω⎛⎫⎝+⎪⎭=->在[]0,π上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则实数ω的值可能取（） A ．1 B ．43C ．53D ．215．（2021湖北省十堰市高三下学期4月调研）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+(0,0)a ω>>,若()f x 的最小正周期为π,且对任意的x ∈R ,()0()f x f x ≥恒成立,下列说法正确的有（） A ．2ω=B ．若06x π=-,则a =C ．若022f x π⎫⎛-= ⎪⎝⎭,则a =D ．若()()2|()|g x f x f x =-在003,4x x πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,则324ππθ≤<16．（2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考）将曲线23sin )sin()2y x x x ππ=-+,上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,得到()g x 的图像,则下列说法正确的是（） A ．213g π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()g x 在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()g x 的图像关于点(,0)6π对称 D ．()g x 的图像可由1cos 2y x =+的图像向右平移等23π个单位长度得到17．（2021江苏省南通学科基地2021届高三下学期高考全真模拟）已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且只有三个零点,则下列说法中正确的有（）A ．在()0,π上存在1x ,2x ,使得()()122f x f x -=B ．ω的取值花围为710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在(0,)π上有且只有一个最大值点三、填空题18.（2021湖北省部分重点中学高三联考）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调函数,则实数a 的最大值为__________.19．（2021河北省唐山市高三模拟）若函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω,02πϕ<≤）的图像关于点(,0)6π对称,且()f x 在[0,]6π上单调递减,则ω=__________．。

5.3.1 函数的单调性课件ppt

时,f'(x)>0,故 f(x)在
上单调递增.
≤0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(4)当 a≤-1
+1
时, ≥0,故当
x∈(0,1)时,f'(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,故 f(x)
在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
综上所述,当 a≤-1
时,f(x)在
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法
(1)求解析式中含参数的函数的单调区间一般需要分类讨论:若函数的导函
数的零点能够直接求出,则主要是根据导函数零点的大小分类讨论;若导函
数的零点不能直接求出,则需要结合导函数是否存在零点分类讨论.
导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上
升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自
变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).
变式训练 1(2020甘肃高二期末)已知函数y=xf'(x)的图
象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图
1 2
例4讨论函数f(x)= 2 ax +x-(a+1)ln
x(a≥0)的单调性.
分析根据函数的定义域,结合导函数零点的大小,确定原函数的单调性及单
调区间.
解函数
(1)当
+1
f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+1

高中新教材数学人课件必修时函数的单调性

3. 题目
若一次函数 $f(x) = (m + 2)x + m - 1$ 在 $mathbf{R}$ 上单调递增，求实数 $m$ 的取值范围。
解析
由一次函数单调性定理可知，当 $m + 2 > 0$ 时，函数 $f(x) = (m + 2)x + m - 1$ 在 $mathbf{R}$ 上单调递增。因此，实数 $m$ 的取值范围为 $(-2, +infty)$。
对数函数$y = log_a x$的图像是一条经过点$(1,0)$的曲线，当$a > 1$时，图像在$(0, +infty)$上上升；当$0 < a < 1$时，图像在$(0, +infty)$上下降。
典型例题解析
• 例题1：判断下列函数的单调性
典型例题解析
$y = 2^x$ $y = log_2 x$
二次函数的单调性
03
二次函数单调性定理
对于一般形式的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，当$a > 0$时，函数在$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递增，在$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递减。
首先确定函数的定义域，再分别讨论内层函数 $t=x^2-2x-3$和外层函数$y=log_2 t$的单调性，最后根据复合函数单调性定理确定原函数的单调区间。
已知函数 $f(x)=ln(x^2+1)$，判断其单调性并证明。

2021高考数学考点精讲精练《04 单调性》(讲解)(原卷版)

考点4：单调性【思维导图】【常见考法】考法一：单调性的判断1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（）A ．y x =B ．2y xC ．y x =D ．1y x =-考法二：求单调区间1．函数()()2ln 56f x x x =-+-的递减区间是__________.2.求的函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的增区间，减区间。

3.求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的增区间，减区间。

4．函数ln y x x =的单调递减区间是。

考法三：比大小1．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 2．函数()f x 是R 上的减函数，若13(2)a f =，3(log 2)b f =，21(log )3c f =，则()A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<考法四：解不等式1．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是。

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【练习】用定义法证明 f (x)= x + a （ a > 0 ）在 (−∞ ，− a ) 与 ( a ，+ ∞) 上单调递增，在 (− a ，0) 与 (0 ， a ) 上 x
考点 3 复合函数的单调性【单调性运算】
单调性的运算：函数间 + 、 − 、 × 、 ÷ 的运算的单调性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论） ⑴ 函数 f (x) 与常数 k ：
⑶若函数
在 (−∞ ，2) 上单调递减，在 (2 ，+ ∞) 上单调递增，则 a = ___．
⑷若函数 f (x) =x2 + 2(a −1)x + 2 在区间 (−∞ ，4) 上为减函数，则 a 的取值范围是．
【例 2】 f (x)= x + 1 ， x > 0 ，讨论 f (x) 的单调性． x
增函数还是减函数．
y
4
21
3
O1
4x
【例 2】⑴已知函数 y = ax 和 y = − b 在区间 (0 ，+ ∞) 上都是减函数，则函数=y b x + 1 在 R 上的单
x
a
调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)
⑵已知函数 f (x) =(1 − a2 )x + 2 在 (−∞ ，+ ∞) 上为减函数，则 a 的取值范围为________．
【例 1】(1)证明：函数 f (x) = x3 在定义域上是增函数．
x2
(2)证明：函数 g(x) =
在区间 [1，2] 上是减函数．
x−3
【练习】判断下列函数的单调性：
(1)
f (x) =1− | 3 − x | ；(2)
f (x) =
x2
1
；
+ 2x + 3
（3）
f = ( x)
4x − x2 ．（4） f (x) = − 1 ． 1− x
【例 1】判断下列函数的单调性
⑴ f (x)= x + x ；⑵ f (x=) 2x − 1 ；⑶ f (x)= x
4：复合函数的单调性【图象法，同增异减】
对于复合函数 y = f [g(x)] 的单调性，必须考虑函数 y = f (u) 与函数 u = g(x) 的单调性，
第 04 讲函数的单调性考点 1：单调性的概念
1.一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为 D ，区间 I ⊆ D ：
(1)增函数：如果对于 I 上的任意两个自变量的值 x1 ，x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1 ) < f (x2 ) ，那么就称函数 f (x) 在区间 I 上是增函数 (2)减函数：如果对于 I 上的任意两个自变量的值 x1 ，x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1 ) > f (x2 ) ，那么就称函数 f (x) 在区间 I 上是减函数 2.单调性：如果函数 y = f (x) 在某个区间 I 上是增函数或减函数，那么就说函数 y = f (x) 在这个区间上具有单调性，区间 I 叫做
y = f (x) 的单调区间．
对于函数的单调性，需要注意的是：
① y = 1 的单调区间是 (−∞ ，0) 和 (0 ，+ ∞) ，不能写成并集． x
②高一刚学习单调性时，单调区间包括边界的可以都取闭区间，如二次函数 y = x2 的单调递减区间为 (−∞ ，0] ，
单调递增区间为 [0 ，+ ∞) ；
f (x) ± k 与 f (x) 的单调性相同； kf (x) ： k > 0 时，与 f (x) 单调性相同； k < 0 时，与 f (x) 单调性相反；
⑵ 函数 f (x) 与 g(x) ：
① f (x) 是增函数， g(x) 是增函数时， f (x) + g(x) 是增函数；
② f (x) 是增函数， g(x) 是减函数时， f (x) − g(x) 是增函数；（这可以由⑴⑵①直接推出）
对任意
且
若
O
x
y
y=ax2+bx+c
a<0
b x=-
2a
O
x
y
y=ax2+bx+c
a<0
b x=-
2a
O
x
yk y= x (k>0)
O
x
y
O
x
k y= x (k<0)
则函数在区间为单调增函数；
对任意
且
若
则函数在区间为单调增函数；
考点 1 函数单调性的定义与判断
【例 1】已知定义在区间 [−4，4] 上的函数 y = f (x) 的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是
例：函数 f (x) = x2 − 2x + 3 在 (−∞ ，1] 上单调递减（是减函数），在 [1，+ ∞) 上单调递增（是增函数）．
或者说 f (x) 的单调递减区间为 (−∞ ，1] ，单调递增区间为 [1，+ ∞) ．
函数一次函数
图象
y k<0
k>0
参数范围
单调区间或单调性
二次函数
反比例函数
①取值：即设 x1 ， x2 是该区间内的任意两个值，且 x1 < x2 ．
②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差 f (x1) − f (x2 ) （或 f (x2 ) − f (x1) ）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
y
=
x2
+
1 4x
+
5
y= 2 − 3 4− x
y= 3 − 2 1 −2 x
【例 2】判断下列函数的单调性：
⑴
f (x) =
x2
−
4x
+3
；⑵
f
(x)
=
3−
1 2x
−
x2
；
考点 5：函数单调性的应用
【例 1】(1)若函数 f (x) =| x − a | +2 在 [0 ，+ ∞) 上为增函数，则 a 的取值范围为_________．
【例 3】讨论函数 f (x) = ax （ −1 < x < 1，a ≠ 0 ）的单调性． x2 −1
对于单调性的证明，一般分成以下几个步骤：①取点；②作差；③因式分解（最后要得到的形式是几个因式相乘或相除）；④ 讨论符号；⑤得结论．其中最复杂的步骤是因式分解．考点 2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：
函数 y = f [g(x)] 的单调性如下表：[同增异减]
y = f (u)
增函数增函数
减函数减函数
u = g(x)
增函数减函数
增函数减函数
y = f [g(x)] 增函数减函数
减函数增函数
【例 1】判断函数=y x + 1 的单调性．
【例 2】判断下列函数的单调性．
=y 1 − x
y= 5 − 1 x