高中数学函数的单调性
高中数学 函数的单调性
2.3 函数的单调性学习目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．重点难点：函数单调性的应用一、知识点梳理1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）定义法．步骤是：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2②作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形， ③判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， ④根据定义作出结论．（2）图象法；借助图象直观判断．（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域内为减函数．二、例题精讲题型1：单调性的判断1．写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）x ky =， （3）c bx ax y ++=2．2．求函数22||3y x x =-++的单调区间．３．判断函数f （x ）＝1x 2－4x 的增减情况．题型2：用定义法证明单调性1.证明函数y=2x+5的单调性5．判断函数f （x ）＝x x 1+在（1,2）上的增减情况．题型3：单调性的应用：1．已知2()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围 ．2．函数2()(1)2f x x m x =+-+在(,4]-∞上是减函数,则求m 的取值范围 ．3．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ． 4．函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34）的大小关系 ．题型4：抽象函数的单调性及其应用：1.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．2．设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）求证：（1）f （1）＝0；（2）f （ 1x）＝－f （x ）； （3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数．三、巩固练习1．函数2y x=-的单调递_____区间是______________________． 2．函数221y x x =+-的单调递增区间为_______________________．3．已知()(21)f x k x b =++在R 上是增函数，则k 的取值范围是______________．4．下列说法中，正确命题的个数是______________．①函数2y x =在R 上为增函数； ②函数1y x=-在定义域内为增函数； ③若()f x 为R 上的增函数且12()()f x f x >，则12x x >； ④函数1y x=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 5．函数()1f x x =+的增区间为 ．6．函数1()1f x x =+的单调减区间为 ． 7．函数14)(2+-=mx x x f 在]2,(--∞上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m ＝ ．8．已知函数)y f x =（在R 上是增函数，且f (m 2)＞f (-m )，则m 的取值范围是: __________．9．函数()f x =的单调减区间 ．10．若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范为 ；11．函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 ．12．求证函数1()f x x x=-在()0,+∞是单调增函数．。
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 介绍函数单调性的概念函数单调性是高中数学中一个非常重要的概念，它在分析函数性质、求解极值和解不等式等问题中具有重要作用。
所谓函数单调性，指的是函数的增减性质，也就是函数在定义域内是单调递增还是单调递减。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)小于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递增的；如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)大于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递减的。
函数单调性的概念非常直观和易懂，通过观察函数的图像我们也可以很容易地判断函数的单调性。
在学习函数单调性的过程中，我们需要掌握函数单调性的定义与分类、判断函数的单调性的方法，以及函数单调性在求极值和解不等式中的应用。
函数单调性不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在解决数学问题时提供重要的线索。
深入学习函数单调性是我们在高中数学学习中不可或缺的一部分。
1.2 为什么函数单调性在高中数学中重要函数单调性是研究函数变化规律的基本性质之一。
通过分析函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的增减性质，从而更深入地理解函数在数学中的应用。
在解决实际问题时，函数的单调性也是确定函数取值范围和变化趋势的重要依据。
函数单调性是高中数学中求解极值和解不等式的重要工具。
根据函数的单调性，我们可以快速判断函数的最大值和最小值，进而求解极值问题。
通过函数的单调性可以帮助我们求解各类不等式，从而更好地解决数学中的实际问题。
函数单调性也与函数的图像密切相关。
通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的图像特征，包括函数的上升和下降区间，极值点位置等，从而更好地描绘函数的图像。
函数单调性在高中数学中的学习与运用具有重要的意义，可以帮助我们更深入地理解函数的特性，解决实际问题，并为学习其他数学内容打下扎实的基础。
掌握函数单调性不仅可以提高数学学习的效果，也可以在以后的学习和工作中发挥重要的作用。
高中数学中的函数单调性性质总结
高中数学中的函数单调性性质总结高中数学中，函数单调性是非常重要的概念之一。
在函数的研究中，单调性是指一种自变量变化时，函数值的增减性质。
在本文中，我们将对函数单调性的性质进行总结和探讨，希望能对同学们更好地掌握这一概念。
一、函数单调性及其分类函数单调性是指在定义域内，自变量变大时，函数值单调递增或者单调递减，称为函数的单调性。
具体来说，若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≥ f(x1) ，则函数为单调递增函数；若对于定义域内的任意两个自变量，我们有f(x2) ≤ f(x1) ，则函数为单调递减函数。
二、单调性的判定方法首先，我们需要了解单调性的判定方法。
通常有两种方法：导数法和图像法。
导数法，顾名思义，通过计算函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，若f‘(x)>0，则函数单调递增；若f‘(x)<0，则函数单调递减。
图像法，我们可以画出函数的图像，并观察函数的走向和斜率。
若函数的图像在定义域内逐渐上升，则函数单调递增；若函数的图像在定义域内逐渐下降，则函数单调递减。
三、几类常见函数的单调性1. 常函数：常函数的导数为0，因此常函数的单调性为常数函数。
2. 一次函数：一次函数是一条直线，因此单调性的判定非常简单。
若a>0，则函数单调递增；若a<0，则函数单调递减。
3. 幂函数：幂函数分为2种情况：a>0和a<0。
当a>0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递减，在右半轴上单调递增；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递增。
当a<0时，若n为偶数，则函数在左半轴上单调递增，在右半轴上单调递减；若n为奇数，则函数在整个定义域内单调递减。
4. 指数函数：指数函数y=a^x，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
5. 对数函数：对数函数y=logax，a>0且a≠1。
当a>1时，函数单调递增；当0<a<1时，函数单调递减。
高一数学单调性知识点总结
高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。
单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。
在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。
1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。
简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。
如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。
2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。
递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。
1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。
2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。
根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。
如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。
3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。
如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。
三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。
1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。
这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。
函数单调性知识点总结高中
函数单调性知识点总结高中一、基本概念函数单调性是指在定义域上函数值的变化趋势。
具体来说，如果对于函数f(x)，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1, x2)上是增函数；如果对于函数f(x)，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间(x1, x2)上是减函数。
综合起来，可以将函数的单调性分为增函数、减函数和不单调函数。
其次，函数的单调性还与导数的正负有关。
若函数f(x)在区间I上可导，则：1. 若f'(x) > 0对于x∈I，即f(x)严格递增；2. 若f'(x) < 0对于x∈I，即f(x)严格递减；3. 若f'(x) = 0对于x∈I，即f(x)在区间I上是常数函数或拐点函数，不能确定其单调性。
对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，其单调性还需考虑在端点处的情况。
若f(x)在[a, b]上是增函数，且在a处有定义域，则称f(x)在[a, b]上是关于x的增函数；若f(x)在[a, b]上是减函数，且在a处有定义域，则称f(x)在[a, b]上是关于x的减函数。
二、函数单调性的判定方法1. 利用函数的导数判定单调性函数f(x)在区间I上是增函数，当且仅当f'(x) > 0对于x∈I；函数f(x)在区间I上是减函数，当且仅当f'(x) < 0对于x∈I。
因此，判定函数的单调性，可通过求导数并考察导数的正负来进行。
2. 利用函数的增减表判定单调性若函数f(x)在区间I上可导，则可根据f'(x)的正负或0来构建增减表。
增减表是一个用来判定函数单调性的表格，通过列出各点的f'(x)值，来判断函数在各点的单调性。
三、函数单调性的应用1. 函数的最值问题对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，若可判定出f(x)在[a, b]上为增函数，则f(x)在[a, b]上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若可判定出f(x)在[a, b]上为减函数，则f(x)在[a, b]上的最小值为f(b)，最大值为f(a)。
高中数学 函数的单调性与最值
专题 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×)(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(6)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(×)考点一求函数的单调性(区间)A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A(2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．答案：(－∞，0)(3)判断并证明函数f(x)＝axx2－1(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．（二次除以一次的处理；拓展一次除以一次）[方法引航]判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.(2)利用复合函数关系：简称“同增异减”.(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.(4)性质法：增函数与减函数的加减问题。
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x C．y＝ln x D．y＝|x|选B.2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞选B.3．已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax (x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（掌握对勾函数；明确对勾函数的特征）考点二 利用函数的单调性求最值[例2] (1)函数f (x )＝2x x ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．答案：43，1(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________. 答案：251．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12 f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.考点三 函数单调性的应用[例3] （1）已知11122x y⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等关系一定成立的是（ ）A ．22x y <B ．22log log x y <C ．33x y > D ．cos cos x y <(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2[方法引航] (1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①任意子区间上也是单调的；②注意衔接点的取值.1.在本例(2)中，若f (x )不变且a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.解不等式f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)．f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，74.2.定义在R 上的函数()f x =25,1,, 1.x ax x a x x---≤>⎧⎨⎩ 对任意12xx ≠都有，1212()[()()]0x x f x f x -->成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [－3,－2]B. [－3,0)C.(－∞,－2]D. (－∞,0)[易错警示]定义域的请求——求函数单调区间先求我1．函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则．[典例1] 函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间为________．[答案] [2，＋∞)[警示] 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结． 2．利用函数单调性解不等式时也要先求定义域．[典例2] 已知，定义在[－2,3]上的函数f (x )是减函数，则满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是________． [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3[警示] 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组．[高考真题体验]1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x选项D 符合题意．2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 故选A.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－x故选A. 4．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．答案：25．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减解析：选C.2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) x 的取值范围是x ＞1或x ＜0.3．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞－14 B ．a ≥－14 C ．－14≤a ＜0 D ．－14≤a ≤0综上所述得－14≤a ≤0.5．函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3选C.6．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．答案：(－1,0)∪(0,1)7．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________．答案：(－∞，－1]，[0,1]8．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________． 答案：(－∞，1]9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值． g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t ＜1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t ＞2).(2)画出g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证（判断）f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．B 组 能力突破1．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＞f (2) B ．f (a ＋1)＜f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定选A.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0) C ．(0,2) D ．(－2,0)选A.3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.（函数背景是什么？） (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵[2,9]⊆(0，＋∞)，∴f (x )在[2,9]上为减函数f (x )min ＝f (9)．由题意可知f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋f (x 2)，∴f (9)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＋f (3)＝2f (3)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.专题 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√)(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√)(6)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (7)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (8)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1](1)A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()A．y＝1x B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2D．y＝2x答案：B(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则()A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：D[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；(2)f(x)＝lg 1－x1＋x.（其它底数）（其它变形形式）原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1) 答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2019)＝________.答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求f (－2 017)＋f (2 019)的值．f (－2 017)＋f (2 019)＝2.拓展延伸：已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：选B.考点三 函数奇偶性的综合应用[例3] (1)若函数f (x )＝2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案：C （注重多种解法） (2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. ①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0. 解：①a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x2，经检验适合题意．②证明：（略）f (x )在(－1,1)上为增函数． ③0＜t ＜12.3.设奇函数()f x 在(0，＋∞)上为增函数，且)1(f ＝0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(4)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 满足不等式f＜0的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析] 第一步：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． (赋值法)：令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0.令x ＋y ＝0，∴y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )． ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．第二步：∵f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数． 第三步：由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2) ⇒f (x ＋4)＝f (x )，(代换法)∴周期T ＝4，即f (x )为周期函数．第四步：f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．(代换法) 又∵f (x )为奇函数，∴f (2－x )＝f (x )，∴关于x ＝1对称．第五步：由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于x ＝1对称， ∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)．(赋值法) [答案] ①②③④[回顾反思] 此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数选C.2．已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D3．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案：15．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x解析：选B.2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析：选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 解析：选A.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)B 组 能力突破1．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( ) A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：选D.4．定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2 016)＝2 016，则f(2 028)＝________.解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，则函数f(x)是以12为周期的函数．又∵f(2 016)＝2 016，∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．专题二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质y＝(1)二次函数的图象和性质R ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(4)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)考点一二次函数解析式________.答案：x2＋2x[方法引航]根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案：－2x2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；解：(1) f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解； (3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f(x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围．解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立， 即2a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号． ∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.综合运用：已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) 注重巧解 A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3}解析：选D.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．3答案：B (3)已知f (x )＝，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f (a )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.2．若，则实数a 的取值范围是________．（陷阱） 解析：不等式等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32[规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决．[典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分 ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分 (3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0.第二层：开口方向a>0和a<0.第三层：对称轴x＝1a与区间[0,1]的位置关系，左、内、右．(2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A.2．(2015·高考山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析：选C.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1x B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|解析：选C.4．设函数则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．答案：(－∞，8]5．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.13B.12C.23D.43解析：选A.2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2 B ．－2＜a ＜2 C ．a ＞2或a ＜－2 D ．1＜a ＜3解析：选C.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a . 结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14.答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ac －4＝0.答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 8，＋∞，所以m 8≤2，即m ≤16.答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－(k －2)24.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b2a ＝－1，∴2a －b ＝0.当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0. ∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b . 3．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5. 答案：(3,5)5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．(×)(2)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×)(4)当x＞0时，y＝a x＞1.(×)(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．(×)考点一指数幂的运算解：[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9解析：选B.－(－1)0＝－1＝8－1＝7.考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0答案：D(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B.f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，故选B. 2．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]考点三 指数函数的性质 [例3] (1)(2017·天津模拟)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2答案：D (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 答案：{x |－1＜x ＜4} (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解：①令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.②由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．解析：构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得y 2＜y 3，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故，即y 1＞y 3，∴y 1＞y 3＞y 2.答案：D2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间． 解：当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． 3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解． 解析：当a ＝1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－4x ＋3＝1∴x 2－4x ＋3＝0，∴x ＝1或x ＝3. 答案：1或3[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________． [答案]3＋ 2二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题 [解析] ∵67x ＝27,603y ＝81，[答案] －2三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.[解析] ∵a 2－3a ＋1＝0，∵a ≠0，∴a ＋1a ＝3.[答案]5四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.[答案] 1 五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[解析] 因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a 解析：选B.3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：选B.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 答案：－326．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________． 答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C.2．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选A4．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 解析：选A.5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选C.6．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2. 答案：(1,2)7．计算：＝________.答案：28．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 解析：选B.3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论： 答案：－1 4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m∈R满足f(m)＞f(m2＋2m－2)，求m的范围．解：(1)当a＞1时，a2－1＞0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a －x为增函数．所以f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x 为减函数．所以f(x)为增函数．故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(2)由(1)知函数f(x)在R上单调递增．∴由f(m)＞f(m2＋2m－2)得m＞m2＋2m－2，即m2＋m－2＜0，(m＋2)(m－1)＜0，∴－2＜m＜1.故m的范围为(－2,1)．对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log m a M n＝nm log a M.(2)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0且a≠1)．(3)对数的重要公式：①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与性质(1)定义域：(0，＋∞)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．5．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN＞0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)(2)函数y＝ln 1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)其它底数呢？(3)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)．(√)(4)log2x2＝2log2x.(×)(5)当x＞1时，log a x＞0.(×)(6)当x＞1时，若log a x＞log b x，则a＜b.(×)考点一 对数式的运算[例1] (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( ) A.94 B.54 C.103 D.43答案：D(2) 2lg 2－lg 125的值为( ) （略） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B[方法引航] (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案：102．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72 解析：选A.。
高中数学知识点：基本初等函数的单调性
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：基本初等函数的单调性
1．正比例函数(0)y kx k =≠
当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.
2．一次函数(0)y kx b k =+≠
当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.
3．反比例函数(0)k y k x =≠
当0k >时，函数k y x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；
当0k <时，函数k y x
=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.
4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠
若a>0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是减函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是增函数；
若a<0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是增函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是减函数．。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
高中数学必修一：函数的单调性与最值
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2 6．函数 f(x)＝ 在[－2,0]上的最大值与最小值之差为_____． x－ 1
解析：易知 f(x)在[－2,0]上是减函数， 2 4 ∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－ －(－2)＝ . 3 3
4 答案： 3
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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3．谨防 3 种失误 (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义 域优先”为原则．(如冲关演练第 1 题) (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． (3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，” 连接，不能用“∪”连接．
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[冲关演练] 1．(2017· 全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(4，＋∞) )
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考点一
确定函数的单调性区间
[考什么·怎么考]
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是 高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现， 但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
ax 1．试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
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x－1＋1 1 1 ＋ 解：法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝ a ， x － 1 x－1
为减函数， 为增函数；
3 x∈2，＋∞时，f(x)＝x2－3x
1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数； x＋1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
答案：C
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3．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是 A．[1,2] C．[0,2] B．[－1,0] D．[2，＋∞)
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结函数的单调性，指的是函数的在其定义域或某区间上的增减性。
包括单调增和单调减两种情况。
1.增函数和单调递增区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈上升趋势。
2.减函数和单调递减区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈下降趋势。
3.定义法判断或证明函数单调性的步骤，可以归纳为：取值定大小，作差和变形，定号给结论，3个关键步骤。
4.复合函数的单调性复合函数()()y f u x =的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中()y f u =是外层函数，()u u x =是内层函数,有以下几种情况：①()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；②()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；③()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；④()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；【小结】内外层函数单调性相同时为增函数，单调性相反时为减函数。
例题：判断下列复合函数在()0,1x ∈上的单调性。
（1）y =解：()0,1x ∈时,()20,1u x =∈。
外层函数:y =()0,1u ∈上单调增，内层函数:2u x =在()0,1x ∈上单调减。
高中数学函数的单调性
（一）知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；函数的单调性⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数． 注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑽函数(0,0)by axa b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②（三）典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例2】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例3】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例6】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例7】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例8】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例9】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例10】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数，在[1,)+∞上是增函数，则(1)f =______【例11】讨论函数y 的单调性．【例12】求函数212y x x =++的单调区间．【例13】设1n >，()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数，且对任何,x y A ∈，有()()()()f x f x f y f y =．那么，（ ） A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例14】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（ ）． A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例15】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例16】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例17】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且当*n ∈N 时，*()f n ∈N ，[()]3f f n n =，则(1)(2)f f += ．【例18】求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．点评 由对函数1(),0f x x x x=+>的分析，可以很快得到函数2(),0af x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数，在0a x -<<上为减函数，在0x a <<上为减函数，在x a >上为 增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ，在0x <上有最大值为2a -．【例19】求函数y =【例20】求函数y =【例21】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例22】已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例23】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．【例24】设a 是实数，2()()21xf x a x =-∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数；⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．。
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
高中数学 2.2函数的单调性与最值
高中数学导学案 | 《第二章：函数》第二课时：函数的单调性与最值思维升华确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法．(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”．(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．(4)具有单调性函数的加减．高中数学导学案 | 《 第二章：函数 》 第二课时：函数的单调性与最值姓名： 学校： 年级： 备课人：题型二 函数的最值(值域)1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关2．设函数f (x )＝log 2x ＋ax ＋b (a ＞0)，若存在实数b ，使得对任意的x ∈[t ，t ＋2](t ＞0)都有|f (x )|≤1＋a ，则t 的最小值是( )A ．2B ．1 C.34 D.233．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ln x ，x ＞1，2x ＋a ，x ≤1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例3 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 命题点2 解函数不等式例4 若f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8) 命题点3 求参数范围(或值)例5 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1 (2)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________．跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：(2)图象法：(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．单调性应用的类型 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (19log x )>0的解集为________________．1．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥5 2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13 4．已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f ()f (x )－ln x ＝1，则f (e)等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．e5．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤3，2＋log ax ，x ＞3(a ＞0，且a ≠1)的值域为[3，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．9．函数f (x )＝4－2x ＋x 的值域为________．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．高中数学导学案 | 《第二章：函数》第二课时：函数的单调性与最值10.已知函数f(x)＝2x高中数学导学案 | 《第二章：函数》第二课时：函数的单调性与最值。
高中数学归纳《函数的单调性》
【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断)()(21x f x f -的符号时，没有利用到D x x ∈21,，且12x x <，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定)()(21x f x f -符号. 学.科.网【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<. 【解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令121[(1)]()(1)()()()x xx f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数111212222222(2)0()()()()()()()x xx x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴->时，0+∴∞函数在（，）上是增函数【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的 方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断)()(21x f x f -的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对1()f x 的变形，要充分利用已知条件“1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >”，所以可以这样拆，1122()()x f x f x x =122()()x f x f x =+.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.方法二 导数法使用情景 一般使用于结构较复杂的函数.解题步骤先求函数的定义域，再求导()f x '，再判断()f x '的符号，最后下结论.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.（2）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（1）知在（0，+∞）单调减少，从而12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-等价于 12,(0,)x x ∀∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ①令()()4g x f x x =+，则1'()24a g x ax x+=++ ①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即1240a ax x+++≤.从而22222241(21)42(21)2212121x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为(,2]-∞-.【点评】（1）函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导数求函数的定义域也必须先考虑函数的定义域.（2）对于参数的问题注意分类讨论和分离参数,第1问利用了分类讨论的数学思想，第2问利用了分离参数的方法. 分类讨论和分离参数是处理参数问题很常用的两种重要方法. 【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【点评】对于三角函数，也可以利用求导的方法求函数的单调区间和极值，它们的方法是一样的. 【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（ ）CBPOADA ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【点评】（1）函数的问题，不管是具体函数，还是抽象的函数，都要注意“定义域优先”的原则.所以求函数的单调区间，首先必须求函数的定义域. （2）分解函数时，要把函数分解成一些初等函数,才能比较熟练地写出这些内层函数的单调性.【反馈检测7】 已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1)求w ；(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间． 方法四图像法使用情景 函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【点评】函数的同种单调区间之间一般不用“”连接，一般用“，”隔开.【反馈检测8】 已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值； （3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第06讲： 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或 【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。
高一数学 函数的单调性
1．3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性Q 情景引入ing jing yin ru德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图：这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？X 新知导学in zhi dao xue1．增函数和减函数知识点拨] (1)函数f (x )在区间D 上是增函数，x 1，x 2∈D ，则x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2)．(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2∈D ，则x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调性(1)定义：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是__增函数__或__减函数__，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的__单调区间__.(2)图象特征：函数y ＝f (x )在区间D 上具有单调性，则函数y ＝f (x )在区间D 上的图象是上升的或下降的．[归纳总结] 基本初等函数的单调区间如下表所示：Y 预习自测u xi zi ce1．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是减函数，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1＜x 2，则有( B ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＞f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．以上都有可能[解析] 因为函数y ＝f (x )在(a ，b )上是减函数，且x 1<x 2，所以f (x 1)>f (x 2)，故选B ． 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( B ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B ．3．若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有 f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( A )A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )是先增后减D ．函数f (x )是先减后增[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a 、b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，则f (x )在R 上是增函数，故选A ．4．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为__f (a 2－a ＋1)≤f (34)__.[解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，又∵f (x )在区间(0，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．5．判断并证明函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．[解析] 函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝(－1x 1＋1)－(－1x 2＋1)＝－1x 1＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨利用图象求函数的单调区间典例1 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．[思路分析] (1)函数f (x )在D 上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 『规律方法』 函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．〔跟踪练习1〕据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]． 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]． 命题方向2 ⇨用定义证明函数的单调性典例2 利用函数单调性的定义证明f (x )＝1－x 在(－1,1)上单调递减．[思路分析] 利用减函数的定义来证明，其关键是对f (x 1)－f (x 2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．[解析] 设－1<x 1<x 2<1，∴f (x 1)－f (x 2)＝1－x 1－1－x 2 ＝(1－x 1－1－x 2)(1－x 1＋1－x 2)1－x 1＋1－x 2＝x 2－x 11－x 1＋1－x 2.∵x 1<x 2，所以x 2－x 1>0.又1－x 1＋1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )＝1－x 在(－1,1)上单调递减． 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：2．用定义证明函数单调性时，作差f (x 1)－f (x 2)后，若f (x )为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f (x )是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f (x )解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．〔跟踪练习2〕(1)用函数单调性定义证明函数f (x )＝2x 2＋4x 在(－∞，－1]上是单调减函数； (2)用函数单调性定义证明，函数y ＝2xx ＋1在(－1，＋∞)上为增函数．[证明] (1)设x 1<x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 21＋4x 1)－(2x 22＋4x 2)＝2(x 21－x 22)＋4(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)．∵x 1<x 2≤－1， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－1]上是减函数．(2)设x 1>x 2>－1， 则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， y 1－y 2＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，∴y 1>y 2，∴函数y ＝2xx ＋1在(－1，＋∞)上为增函数．命题方向3 ⇨单调性的应用典例3 已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )，求实数a 的取值范围．[思路分析] 根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )， ∴3a －7>11＋8a ， ∴a <－185， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－185)．『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．〔跟踪练习3〕已知函数g (x )是定义在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )，求实数t 的取值范围． [解析] ∵g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )， ∴t >1－2t ，∴t >13，即所求t 的取值范围为(13，＋∞)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误典例4 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a 的取值范围是__－2__.[错解] 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间(－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.[错因分析] 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．[正解] 因为函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2]，且函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－a ，所以有－a ＝2，即a ＝－2.[警示] 若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f (x )在区间A 上单调增(或减)和f (x )的单调增(或减)区间为A 不等价．X 学科核心素养ue ke he xin su yang抽象函数单调性的判断与证明所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．典例5 设f (x )是定义在R 上的函数，对m ，n ∈R ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )(f (m )≠0，f (n )≠0)，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：(1)f (0)＝1； (2)x ∈R 时，恒有f (x )>0； (3)f (x )在R 上是减函数．[思路分析] (1)可通过赋值求f (0)；(2)可通过f (0)＝f [x ＋(－x )]＝f (x )·f (－x )证明f (x )>0；(3)利用定义可证明函数的单调性．[解析] (1)根据题意，令m ＝0，可得f (0＋n )＝f (0)·f (n )， ∵f (n )≠0，∴f (0)＝1.(2)由题意知x >0时，0<f (x )<1； 当x ＝0时，f (0)＝1>0； 当x <0时，－x >0，∴0<f (－x )<1.∵f [x ＋(－x )]＝f (x )·f (－x )， ∴f (x )·f (－x )＝1， ∴f (x )＝1f (－x )>0. 故x ∈R 时，恒有f (x )>0.(3)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]－f (x 1)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]． 由(2)知f (x 1)>0，又x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1， 故f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )在R 上是减函数．『规律方法』 一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f (x ＋y )”型[即给出f (x ＋y )所具有的性质，如本例]，二是“f (xy )”型．对于f (x ＋y )型的函数，只需构造f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，再利用题设条件将它用f (x 1)与f (x 2－x 1)表示出来，然后利用题设条件确定f (x 2－x 1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f (x 2)与f (x 1)的大小关系；对f (xy )型的函数，则只需构造f (x 2)＝f (x 1·x 2x 1)即可．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( C )A ．[0,1]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]． 2．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( B ) A ．(－∞，13)B ．(13，＋∞)C ．(－∞，13]D ．[13，＋∞)[解析] f (x )＝(3a －1)x ＋b 为增函数，应满足3a －1＞0，即a ＞13，故选B ．3．(2019·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，若a ∈R ，则( D )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．4．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__.[解析]由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．5．求证：函数f(x)＝1x2在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x21x22＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x21x22＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是(D)A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2[解析]A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝1x－1在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝1x－1在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上不单调[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接． 3．函数y ＝－x 2的单调减区间为( C ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 根据二次函数y ＝－x 2的图象可知函数y ＝－x 2的单调递减区间为(0，＋∞)． 4．(2019·河北沧州市高一期中测试)在区间(－∞，0)上为增函数的是( C ) A ．y ＝－2x ＋2 B ．y ＝1xC ．y ＝－|x |＋1D ．y ＝－x 2－2x[解析] 函数y ＝－2x ＋2是减函数，y ＝1x 在(－∞，0)上是减函数，y ＝－x 2－2x ＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，只有函数y ＝－|x |＋1在(－∞，0)上是增函数，故选C ．5．定义在R 上的函数，对任意的x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)[解析] 对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A ．6．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C ．二、填空题7．函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是__[－1，＋∞)__.[解析] ∵函数f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又∵函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，∴(a ，＋∞)⊆(－1，＋∞)，∴a ≥－1. 8．函数f (x )＝－2x 2＋4x －3的单调递增区间为__(－∞，1]__.[解析] f (x )＝－2x 2＋4x －3的图象是开口向下，对称轴为x ＝1的抛物线，∴其单调递增区间为(－∞，1]．三、解答题9．求证函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．[证明] 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．B 级 素养提升一、选择题1．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (2x )>f (1)的实数x 的取值范围是( D ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(12，＋∞)D ．(－∞，12)[解析] ∵f (x )在R 上为减函数且f (2x )>f (1)． ∴2x <1，∴x <12.2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( D )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[解析] ∵x 1，x 2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．3．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( A )A ．减函数且f (0)＜0B ．增函数且f (0)＜0C ．减函数且f (0)＞0D ．增函数且f (0)＞0[解析] ∵y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)都是减函数，∴a ＜0，b ＜0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a ＜0，故选A ．4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( C )A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数[解析] 若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时， 则f (x )＋g (x )＝12x ＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数，∴选C ．二、填空题5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为__[0，32]__. [解析] y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x ＞0)x 2－3x (x ≤0).作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．6．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.[解析] 对称轴为x ＝k 8，则k 8≤5或k 8≥8，得k ≤40或k ≥64. 三、解答题7．用函数单调性的定义判断函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a <12)在(－2，＋∞)上的单调性． [解析] 证明： f (x )在(－2，＋∞)上是减函数．∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)－2a ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2， 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1－2a x 1＋2)－(a ＋1－2a x 2＋2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵－2<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0，∵a <12，∴1－2a >0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是减函数．8．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1－1<2a －1<1，解得0<a <1.① 又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23.② 由①②可知，0<a <23. 即所求a 的取值范围是(0，23)． 9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5.(1)求f (2)的值；(2)解不等式f (m －2)≥3.[解析] (1)f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1，又f (4)＝5，∴f (2)＝3.(2)由(1)知f (2)＝3，∴原不等式可化为f (m －2)≥f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤2m －2＞0，∴2＜m ≤4. ∴不等式的解集为{m |2<m ≤4}．。
高中数学必修一-函数的单调性
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0D．b＜0例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A．（a，f（﹣a））B．（﹣a，f（a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（a，﹣f（a）例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx例2.函数y=（2m-1）x+b在R上是减函数．则（）A．m>B．m<C．m>-D．m<-例3.函数f（x）=-x2+x-1的单调递增区间为（）A．B．C．D．例4.已知函数f（x）=-3x+2sin x，若a=f（3），b=-f（-2），c=f（log27），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a例5.定义在R的函数f（x）=-x3+m与函数g（x）=f（x）+x3+x2-kx在[-1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．[2，+∞）C．[-2，2]D．（-∞，-2]∪[2，+∞）例6.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=lnxC．y=sin x D．y=2-x例7.下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=2x+1C．y=x3+1D．y=（x-1）|x|例8.函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（）A．（-∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤（1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且（2）作差：（3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论2函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性；（5）若，函数与具有相同的单调性；（6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性；（7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性。
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点1、函数单调性的定义：对于某区间内任意给定的两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) ，则f(x)在该区间上是增函数；而如果总有f(x1)≥f(x2) ，则f(x)在该区间上是减函数；特别地，如果总有f(x1)＜f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格增函数；如果总有f(x1)＞f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格减函数。
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
3、利用定义证明函数单调性的步骤：①取值x1和x2，并令x1<x2；②做差f(x1)-f(x2) 并变形，通过因式分解/通分/配方/分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向（即因式相乘/除的形式）变形；③判断f(x1)-f(x2)符号，有参数时，需要分类讨论；④得出结论。
4、判断含参数的函数的单调性时，注意对参数进行分类讨论。
函数的单调区间可以直接由图像判断，从左到右是上升的，则是单调递增区间，从左到右是下降的，则是单调递减区间。
5、复合函数的单调性：同增异减。
即对于复合函数y=f[g(x)]，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相异，则y=f[g(x)]是减函数。
6、基础函数的单调性：①一次函数y=kx+b，k＞0时是增函数，k＜0时是减函数。
②反比例函数y=k/x，当k＞0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，k＜0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是增函数。
③二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时开口向上，对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，当a＜0时开口向下，对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。
④幂函数y=x a，a＞0时，在第一象限是增函数，a＜0时，在第一象限是减函数，其他象限的情况根据奇偶性来判断。
⑤指数函数y=a x，0＜a＜1时，是减函数，a＞1时，是增函数。
高中数学函数的单调性(解析版)
1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结
一、函数的单调性
1、什么是单调性
用单调性来描述一个函数的变化，就是说函数沿着正方向或者反方向
的变化是有规律的，而不是曲折转变，也就是说，函数的变化都是连续的，这就是单调性。
2、单调性的三种情况
(1)上升函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递增，就可以说f(x)为上升函数，可以简写为f(x)为单调增函数。
(2)下降函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递减，就可以说f(x)为下降函数，可以简写为f(x)为单调减函数。
(3)常函数：函数f(x)在区间[a,b]上恒等于常数c，则称函数为常函数，常函数是不存在单调性的。
3、判断函数的单调性
依照函数的单调性情况，可以通过图形方法和导数法来判断函数的单
调性：
(1)图形判断法，即根据函数图像大致的凸凹情况来判断函数的单调性。
(2)导数法，即当函数在其中一区间内正、负、零导数情况来判断函
数的单调性。
二、函数的可导性
1、什么是可导性
可导性是指在其中一区间上，函数的导数存在且唯一，可以说是函数的一种性质，在数学教学中也常常称为连续性或者连续性。
可导代数函数的定义：在其中一区间上，若存在一个函数f(x)的导数f’(x)，并且所有的在该区间上的导数经过等价的变换得到f’(x)，就称f(x)在该区间上为可导函数。
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一、选择题
1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ）
A ． ()()21x f x f <
B ． ()()21x f x f =
C ． ()()21x f x f >
D ． ()()021>x f x f
2．函数()2
2-=x y 的单调递减区间为（ ）
A ．[)+∞,0
B ．(]0,∞+
C ．),2[+∞
D ．]2,(-∞
3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ）
A ．x
y 1=
B ．x y -=
C ．1-=x y
D ．122++=x x y
4. 若函数1
2)(-=
x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞-
B ．()+∞,0
C ．()0,1-
D ．()+∞,1
5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ）
A ．2
1≥
a B ．2
1≤
a C ．2
1>
a D ．2
1<
a
6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a
B ．3≥a
C ．3-≥a
D ．3-≤a
二、填空题
7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π
f b =,)2
3
(f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2
+--=
x x x f 的单调递增区间是_______.
10．若二次函数45)(2
++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________.
三、解答题
11. 证明函数x
x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数.
12．判断函数x x y 1+
=在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明．
13．已知函数)(x f y =在()+∞,0上是减函数，且)()2(2m f m m f >-，求m 的取值范围 ．
能力题
14．若函数⎩⎨
⎧<-≥+=,
1,
1,1,
1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围.
15．讨论函数32)(2+-=ax x x f 在)2,2(-内的单调性.
练习四
一、选择题
二、填空题 7．[)+∞,1 8．b c a << 9．[]1,3-- 10．19 三、解答题
11． 设()0,,21∞-∈x x ，且21x x <，则012>-=∆x x x ，
则2
112)()(x x x x f x f y ⋅∆=
-=∆.
()0,,21∞-∈x x ，∴021>⋅x x ∴0>∆y .
∴)(x f 在()0,∞-上是增函数.
12．函数x
x y 1+
=在区间),1[+∞上单调递增．证明如下：
设[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <，则012>-=∆x x x ， 则2
12112)1()()(x x x x x x f x f y ⋅-∆=
-=∆．
[)+∞∈,1,21x x ，∴0121>-x x ，021>⋅x x ，0>∆x ，
∴0>∆y ，∴x
x y 1+
=在区间),1[+∞上的单调递增.
13． 函数)(x f y =在()+∞,0上是减函数，且)()2(2
m f m m f >-,
∴
⎪⎩
⎪⎨⎧><->-,0,2,022
2m m m m m m 解得32<<m . ∴m 的取值范围是()3,2. 能力题
14． ⎩⎨
⎧<-≥+=)
1(1
)1(1
)(2x ax x x x f 在R 上是单调增函数,
∴ ⎩⎨
⎧+≤-⨯>1
1110
2
a a ，解得30≤<a ∴∈a (]3,0.
15． 2223)(32)(a a x ax x x f -+-=+-=，对称轴a x =.
∴若2-≤a ，则32)(2+-=ax x x f 在)2,2(-上是增函数； 若
22<<-a ，则32)(2+-=ax x x f 在],2(a -上是减函数，在[]2,a 上
是增函数；
若2≥a ，则32)(2+-=ax x x f 在)2,2(-上是减函数.。