高一数学函数单调性.ppt

任意x∈R，都有 f (x) f (1)
任意x∈R，都有 f (x) f (1)
函数最大值
一般地,设 y f (x) 的定义域为A.
如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,
都有 f (x) f (x0) 那么称 f (x0) 为 y f (x) 的最大值,
记为 ymax f (x0 )
函数单调性
回顾
1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法．
3、用定义法证明函数单调性的步骤：
①取值； ②作差变形； ③定号； ④下结论 ．
观察下列函数图象并指出对于任意x∈R，
f (与x) 的f (大1) 小关系。
y
y
1
O
x
1
O
x
f (x) (x 1)2 1
f (x) (x 1)2 4
x
问题讨论
1、求下列函数的单调区间
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) 2x 3
x 1 (3) f (x) | x 2 | | 2x 1|
(4) f (x) | x2 2x 3 |
f (x) x2 2x 3
(x 1)2 2 ,如图
f (x) x2 2x 3 在（ ，1）上是单调增函数 ; 在（1,）上是单调减函数 .
(,1)和(1,3)上是单调减函数 ,
-1 O 1 3
x
(1,1)和(3,)上是单调增函数。
2、若函数 f (x) 4x2 在mx 5 m [2, ) 上是增函数，在 (,上2]是减函数，则 实数m的值为 -16 ;
变：若函数 f (x) 4x2 在mx 5 m [2, ) 上是增函数，则实数m的范围为 m≤-16;
变:若定义域改为(-1,1)呢？
小结
1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法． 3、函数的单调性的应用．
思考
若 f (x)为定义在数集A上的增函数,
且 f (x) 0 ,试判断下列函数的单调性:
(1) y 3 2 f (x) (2) y 1 1
f (x) (3) y [ f (x)]2
变：若函数 f (x) 4x2 的mx单 5调 m 递增区间为 [2, ,则) 实数m的值为 .-16
3、若定义在R上的单调减函数 f (x)满
足f (1 a) f (2a 1)，你知道 a的取
值范围吗？
变:若定义在R上的函数 f (x) 对任意的正数
d 都有 f (x d) f (x) ,求满足 f (1 a) f (2a 1) 的 a 的取值范围。
x
3,
1 2
x
2
3x 1, x 2
f (x) | x 2 | | 2x 1|
在（ ， 1）上为单调减函数，
在[
1
，
2 ）上为单调增函数。
2
y
3
O
1
2
x
2
(4) f (x) | x2 2x 3 |
y
x2
x
2Βιβλιοθήκη Baidu
2x 2x
3,
x 1或x 3,1 x
3
3
函数f (x) | x2 2x 3 | 在
(4) y f (x)
(2)若 y f (x)是减函数,则 ymax f (a) , ymin f (b) .
讨论 判断下列说法是否正确 (1)单调函数一定有最大值和最小值.
(2)在定义域内不具有单调性的函数一 定没有最大值和最小值.
例2.求下列函数的最值.
(1)y x2 2x (2) y 1 , x [1,3]
y
1
O
x
f (x) x2 2x 3
(2) f (x) 2x 3 2 1 ，如图
x 1
x 1
f (x) 2x 3 在（ ，1）和（1， ） x 1
上都是单调减函数.
y
2
-1 O
x
f (x) 2 1 x 1
(3) f (x) | x 2 | | 2x 1|
1
3x,
x
1 2
函数最小值
一般地,设 y f (x) 的定义域为A.
如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,
都有 f (x) f (x0) 那么称 f (x0) 为 y f (x) 的最小值,
记为 ymin f (x0 )
讨论
设函数 y f (x) 的定义域为[a,b],
(1)若 y f (x) 是增函数,则 ymax f (b) , ymin f (a) .