高中数学必修一函数的单调性 (共17张PPT)

y x2
o
x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
（1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
y
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
f ( x2 ) f ( x1 ) 0即f ( x2 ) f ( x1 )
定号
所以函数 f ( x) 3x 2 在区间上 , 是增函数. 判断
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： ①取值： 任取x1，x2，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； ④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间上的 单调性）．
b , 2a
b , 2a
a<0
b , 2a
返回
例2
判断函数f ( x) x 2x 的单调性.
2
y
f (x) x 2x
2
单调递减区间：
(, 1]
单调递增区间：
1
o
2
x
1 , )
例3.证明：函数 f ( x) 3x 2 在 , 上是增函数.
f(2) f(1)
O
1 2x
[-5，5] 上的函数y= f(x) 的图象，根 例2 如图定义在闭区间 据图象说出 y= f(x)的单调区间，以及在每一单调区间 上 , y= f(x)是增函数还是减函数? y
2 1 -4 -3 -2 -1
o
-1
-2
1
2
Hale Waihona Puke Baidu
3
4
x
解：函数y= f(x)的单调区间有[-4，-2），[-2，1），[1，
3），[3，4]。其中 y= f(x)在区间[-4，-2）， [1，3）上是减 函数，在[-2，1）， [3，4]是增函数。
注意：函数y= f(x)在[-4，-2）∪[1，3）上不是减函数。 可以说：函数y= f(x)在[-4，-2）和[1，3）上是减函数
y kx b 当k 0时，y在定义域R上单调递增 当k 0时，y在定义域R上单调递减
函数的单调性
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
证明：在区间
, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
3( x2 x1 )
取值 作差 变形
则f ( x2 ) f ( x1 ) (3x2 2) (3x1 2)
x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 x1 0
强化训练：
1.证明函数
2 f ( x) x
在 ( ,0)是减函数
成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
y y

o1
x
o 1
x
a 解：二次函数 f ( x) x ax 4 的对称轴为 x , 2 a 由图象可知只要 x 1 ，即 a 2 即可. 2
k y x k 0, y在(,0), (0,)上单调递减 k 0, y在(,0), (0,)上单调递增
y ax
2
b bx c(a 0)的对称轴为 x 2a
单调增区间 单调减区间
y ax2 bx c
a>0
b , 2a
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 忆完 钟后 钟后 小时 后 t 后 后 月后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；