3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
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课件14：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
解：连接 BO，则BF ＝21BP＝12(BO＋OP) ＝12(BA＋ AO＋OP)＝21(c－b－a)＝－21a－12b＋12c. BE＝BC ＋CE＝－a＋12CP ＝－a＋21(CO ＋OP )＝－a－21b＋12c.
AE ＝ AP＋PE＝ AO＋OP＋12(PO＋OC ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. EF ＝12CB＝21OA＝12a.
(2)∵ A1B＝OB－OA1 ＝OB－(OA＋ AA1 ) ＝OB－OA－ AA1 ＝2e2－4e1－4e3, ∴ A1B＝(－4,2，－4)．
(1)三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的 充要条件． (2)用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一 的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的 应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝ xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC.
∴OA，OB ，OC 不共面．
故{OA，OB ，OC }能作为空间的一个基底.
考点二 用基底表示向量 例 2 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC. 设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示BF ,BE, AE ,EF .
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令， 由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火 灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终 于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南 500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单 位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
课件16：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
2．若A→B＝(a，b，c)，则B→A的坐标是多少？ [提示] B→A＝(－a，－b，－c)．
例 3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中， CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量B→N， B→A1，A→1B的坐标．
课堂小结 1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量 都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个 向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当 的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐 标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所 求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
空间向
量的坐 {x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x，
标表示
y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)__
合作探究
类型1 基底的判断
例 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
1＝μ， ∴1＝λ，
0＝λ＋μ，
此方程组无解．
即不存在实数 λ，μ，使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
类型2 用基底表示向量 例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平 面 OABC，设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC， PB 的中点，试用 a，b，c 表示：B→F，B→E，A→E，E→F．
3．三棱锥 P-ABC 中，∠ABC 为直角，PB⊥平面 ABC， AB＝BC＝PB＝1，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点， 以{B→A，B→C，B→P}为基底，则M→N的坐标为________．
《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课件
个.
(2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 O A =e1+2e2-e3, O B =-3e1+e2+2e3, O C =e1+e2-e3,试判断{ OA， OB， OC}能否作为空 间的一个基底.
【解题探究】1.题(1)中由x=a+b,y=b+c,z=c+a可想到向量的哪
一种运算法则?可构造哪一种空间图形来表示对应向量,从而说
【要点探究】 知识点1 空间向量基本定理 空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向 量的一个基底.
(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若 基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则p的坐标为(x,y,z).
2.空间直角坐标系: 以单位正交基底e1,e2,e3的公共起点O为原点,以e1,e2,e3的方向 为x轴、y轴、z轴正方向的空间坐标系要注意的五点: ①记法:空间坐标系O-xyz; ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面,它们分别为xOy 面,xOz面和yOz面;
③坐标向量:e1,e2,e3叫坐标向量; ④画法:一般使用∠xOy=45°或135°,∠yOz=90°; ⑤点的坐标:p=xe1+ye2+ze3则p=(x,y,z),x,y,z分别叫横坐标、 纵坐标、竖坐标.
【知识拓展】 1.空间向量基本定理的证明 存在性证明的四个步骤(如图) (1)平移：把不共面的向量a，b，c与 向量p平移到公共的起点O上，使O A=a， O B=b， O C=c， O=Pp.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
M
一.空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对 空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序 实数组x、y、z，使 p xa yb z c
E A D c
b
C
O
p
B
思路：作 AB // b, BD // a, BC // c
a
p OB BA OC OD OE x a yb z c
BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN 的长。
A1 M A B B1 N C1
C
1 1 BA1 AB B1C1 解： （Ⅰ） MN MA 1A 1B 1B 1N 3 3 1 1 1 1 1 (c a ) a (b a ) a b c 。 3 3 3 3 3
（Ⅱ） (a b c)2 a 2 b2 c 2 2a b 2b c 2c a
1 1 1 1 1 0 2 1 1 2 1 1 5 ， 2 2
1 5 。 | a b c | 5 ， | MN | | a b c | 3 3
a, b, c 都不等于 0
③一个基底是指一个向量组，一个 基向量是指基底中的某一个向量，二者 是相关连的不同概念。
例1：已知四面体OABC，M和N分别
是OA、BC的中点，P和Q分别是MN的 三等分点，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OP , OQ O
M
Q
A
P
C N
B
例2 空间四边形OABC中，G、H分别是 Δ ABC，Δ OBC的重心，设 OA a, OB b, OC c ,试用基向量 a, b, c 表示 向量 OG, GH. O
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
C
N
B
仲元中学黄锡泉
作业 课本第98页,习题A组第11题
仲元中学黄锡泉
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,
p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
p xi y j zk
P
k
io
j
y
x 仲元中学黄锡泉
Q
空间向量的基本定理
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间
任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得
AB’的中点为M,BC’的中点为N,求下列向量
的坐标:
(1, 1 , 1 )
(1)OM ________2_2
(2)ON _______(12_,_1_, 12) (3)MN ______(__12_,_12 ,0)
(4)C ' M
_____(_1_, _12_,_
1 2
)
z
O'
C' B'
G C
B
发展性训练1
1.在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则 AB _(_x_2-_x_1_,y_2_-_y_1_,z_2_-_z1_), BA _(_x_1_-_x_2,_y_1_-y__2,_z_1-_z_2.)
仲元中学黄锡泉
发展性训练２
2.如图,边长为1的正方体OABC-O’A’B’C’中,
p xa yb zc {a, b, c}叫做空间一个基底(base) a,b,c都叫做基向量(base vectors).
仲元中学黄锡泉
单位正任一向量,则存在一个有序
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
x k O i
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
思考：在空间中，如果用任意三个不
共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能得 到类似的结论吗？
A E= A , D1F 平面ADE .
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F AD, AE AD得证.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中， O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
1 ba ） c 则ca x （ 2
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
z
以 i , j , k 为单位正交基底
P ( x, y, z )
k
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p xi y j zk
i , j , k 为基底 ( x, y, z ) p
x
i
O
y
j
y 记
练习 2: ⑴已知 A（ 0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2 ⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F 分别是 C1C 、 D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 174 距离. 6
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
O
a
b
P'
B
A
如果三个向量 a，b ，c 不共面，那么对空间任一向 量 p ，存在有唯一的一组有序实数 组 x, y, z ，使得 p xa yb zc 我们将向量 {a，b ，c}叫做空间的一个基底，a，b ，c
都叫做基向量。
面向量基本定理可知，必然存在实数z，使得 z OP OQ zk ,
而在 i ，j 所确定的平面上，由
平面向量基本定理可知，存在 有序实数对(x, y)，使得 OQ xi yj 从而
P
k
O i
j
Q
y
OP OQ zk xi yj zk .
人教A版高中数学选修2-1
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
平面向量基本定理
如果
e1 , e2
是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任一向量
2 使得
a ，有且只有一对实数 1，
a 1e1 2e 2 .
e1 , e2 叫做这个平面内所有向
空间向量基本定理
特别地，如果向量 i ，j ，k 均为两两垂直的单
位向量，根据空间向量基本定理，必然存在唯一一
组实数组
p xi yj zk 我们把 x， y， z 称作向量 p 在单位正交基底 i ，j ，k
x, y, z ，使得
下的坐标，记作
我们把不共线的向量
量的一组基底.
问题1：设
i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，且有
公共起点 O ，现有一向量 p OP ，如图所示，请尝试将向
a
b
P'
B
A
如果三个向量 a，b ，c 不共面，那么对空间任一向 量 p ，存在有唯一的一组有序实数 组 x, y, z ，使得 p xa yb zc 我们将向量 {a，b ，c}叫做空间的一个基底，a，b ，c
都叫做基向量。
面向量基本定理可知，必然存在实数z，使得 z OP OQ zk ,
而在 i ，j 所确定的平面上，由
平面向量基本定理可知，存在 有序实数对(x, y)，使得 OQ xi yj 从而
P
k
O i
j
Q
y
OP OQ zk xi yj zk .
人教A版高中数学选修2-1
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
平面向量基本定理
如果
e1 , e2
是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任一向量
2 使得
a ，有且只有一对实数 1，
a 1e1 2e 2 .
e1 , e2 叫做这个平面内所有向
空间向量基本定理
特别地，如果向量 i ，j ，k 均为两两垂直的单
位向量，根据空间向量基本定理，必然存在唯一一
组实数组
p xi yj zk 我们把 x， y， z 称作向量 p 在单位正交基底 i ，j ，k
x, y, z ，使得
下的坐标，记作
我们把不共线的向量
量的一组基底.
问题1：设
i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，且有
公共起点 O ，现有一向量 p OP ，如图所示，请尝试将向
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
( x 3)2 ( y 3)2 ( z 1)2 ( x 1)2 ( y 0)2 ( z 5)2 ,
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图 建立直角坐标系，则 DO的坐标是 ______;
z
O’ A’ O
A D
A' B的坐标是 _____.
B’
B
y
x
例3
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
d AB
2 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b ; cos a , b | a || b | a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4 D y C O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , 4 4 A B 1 15 x 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 17 17 BE1 DF1 15 16 . | BE1 | , | DF1 | . cos BE1 , DF1 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理、空间 向量的正交分解与坐标表示。
类比法、一般到特殊、化归 的思想方法
情感态度 体会数学中的相互联系、和谐统一
课后作业
一、思考
1.设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 是否存在有序实数x、y、z 使 OP xOA yOB zOC 成立? 当x+y+z=1时，点P 与A、B、C三点是什么位置关系？
● { a, b, c } 叫做空间的一个基底 , a, b, c 都叫做基向量
LOG新O知生成
辨析 (1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 （ ）
(2) 若a,b, c为空间的一个基底,则 a,b, c 全不是零向量（ ）
(3) 空间向量的基底是唯一的（ ）
LOG新O知生成
空间向量的正交分解
如果 i, j, k 是空间三个 两两垂直 的向量 ，那么，
对空间任一向量 p, 存在有序实数组 x, y, z ,使得
p xi y j zk.
● xi, y j , zk 为向量 p 在 i, j, k 上的分向量
温故知新
平面向量的坐标表示
a xi y j
记作a x, y
OA=( x, y) A( x, y)
探
a, b, c 表示为 p 1a 2b 3c 形式？
究
一
p
c
O
b
a
LOG新O知生成
空间向量基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,
存在有序实数组 1, 2 , 3 ,使 p 1 a 2 b 3 c.
● 空间向量的集合 { p p 1a 2 b 3c, 1, 2 , 3 R}
O
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
������������
=
������������
+
������������
+
1 2
(������������
+
������������ )=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.
������������
=
1 2
������������
=
1 2
������������
=
12a.
延伸探究若本例条件不变,试用 a,b,c 表示向量������������.
xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
课前篇自主预习
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基 底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 ������������ =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数 组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底 e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).
设������������=xi+yj,则向量������������的坐标(x,y)就是点 A 的坐标,即若 ������������=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
第3章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
思考题 2 如图所示，在平行六面体 ABCD －A′B′C′D′中，点 M 是棱 AA′的中点，点 G 在对角线 A′C 上且 CG∶GA′＝2∶1，设C→D＝ a，C→B＝b，C→C′＝c.试用向量 a，b，c 表示向量C→A，CA→′，C→M， C→G.
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
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互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
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(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
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授人以渔
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∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
第19页
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∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
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互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
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(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
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授人以渔
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∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
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∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
新知探究
问题6、上述结论就是空间向量基本定 理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基 底，a，b，c都叫做基向量.那么空间 任意三个向量都能构成一个基底吗？ 零向量能否作基向量？一个基底中的 三个基向量是否要起点相同？
新知探究
问题7、若空间向量的一个基底中的三个 基向量互相垂直，则称这个基底为正交 基底，若三个基向量是互相垂直的单位 向量，则称这个基底为单位正交基底， 在哪些空间几何图形中能找到正交基底 和单位正交基底？
新知探究
问题8、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位 正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底 {e1，e2，e3}可以怎样表示？
z
p e3 e2 e1 O
p＝xe1＋ye2＋ze3
y
x
新知探究
问题9、若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x, y，z称为向量p在单位正交基底e1， e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z). 对一个给定的向量p，其坐标唯一吗？
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固
1.平面向量基本定理是什么？
如果a、b是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面内的任意 向量p，有且只有一对实数λ1，λ2， 使p＝λ1a＋λ2b.
{a,b}叫做平面的一个基底
复习巩固
2.平面向量的坐标表示的基本原理是 什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x， y）叫做向量a的坐标，记作：
相等向量的坐标相等吗？z
p e3 e2
e1 O
y
x
课件13：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
讲一讲 3．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥ BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥底面 ABCD，∠PDA＝30°.试建立适当的坐标 系并求出图中各点的坐标．
解：以点 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在的 直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系．
2．归纳总结，核心必记 (1)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c__不__共__面___，那么对空间任一向 量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝_x_a_＋__y_b_＋__z_c_． 其中{a，b，c}叫做空间的一个__基__底__，a，b，c 都叫 做__基__向__量__．
∵AB＝BC＝a，
∴A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)．
∵AD＝2a，∴D(0，2a，0)．
∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AD.
又∵∠PDA＝30°，∴PA＝ADtan 30°＝233a，
故
P0，0，2
3
3a.
类题通法
(1)要用坐标表示空间向量，首先应建立恰当的空间直 角坐标系，建立空间直角坐标系时，一般选取从同一 点出发的，两两互相垂直的直线作为坐标轴． (2)根据空间向量基本定理对向量进行分解，用三个单 位正交基底的基向量表示，即可得到向量的坐标．
问题导思 (1)平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成 空间向量基底的三个向量有什么条件？
提示：__三__个__向__量__不__共__面____． (2)空间向量的基底是唯一的吗？ 提示：__由__空__间_向__量__基__本__定__理__可__知__，_任__意__三__个__不__共__面____ _的__向__量__都__可__以__组__成__空__间_的__一__个__基__底__，__所__以__空__间__的__基______ _底__有__无__数__个__，__因_此__不__唯__一__.
课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
4．用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结 合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则， 逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”． 5．空间向量基本定理的证明
设 a、b、c 不共面，过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→P ＝p；过点 P 作直线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′；在平
z＝3
x＝32 ，解得3)．
.∴p 在基底{a＋b，a－b，c}
易错辨析
[例 4] 设 a，b，c 是三个不共面的向量，现从①a＋b，②a－b， ③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c 中选出一个，使其与 a，b 构成空间向 量的一个基底，则可以选择的向量有________．
巩固训练
一、选择题
1．如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，
则( )
A．a 与 b 共线
B．a 与 b 同向
C．a 与 b 反向
D．a 与 b 共面
[答案] A
[解析] 由空间向量基底的概念知，A 正确．
2．如果 a、b、c 共面，b、c、d 也共面，则下列说法正确 的是( )
A．若 b 与 c 不共线，则 a、b、c、d 共面 B．若 b 与 c 共线，则 a、b、c、d 共面 C．当且仅当 c＝0 时，a、b、c、d 共面 D．若 b 与 c 不共线，则 a、b、c、d 不共面
[解析] 假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ、μ 使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c 不共面．
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
.此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1 1 2 答案: b+ c- a 2 2 3
数学
课堂探究
题型一 空间向量基本定理的理解
【教师备用】
(1)空间中怎样的向量能构成基底?
(2)基底与基向量的概念有什么不同? 提示: (1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底.
(2)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是
数学
即时训练 3 1:如图所示,PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC
的中点,并且 PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 MN 的坐标.
解:因为 PA=AB=AD=1, PA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,
所以 AB , AD , AP 是两两垂直的单位向量. 设 AB =e1, AD =e2, AP =e3,
数学
【备用例题】 如图,已知正方体 ABCD A′B′C′D′,点 E 是上底面 A′B′C′D′的
中心,分别取向量 AB , AD , AA 为基底,若
(1) BD =x AD +y AB +z AA ; (2) AE =x AD +y AB +z AA .
数学
题后反思
判断某一向量组能否作为或利用一些常见的几何图形进行判断.
数学
即时训练 1 1:已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量 p=a+b,q=a-b 构 成基底的向量是( (A)2a (C)2a+3b ) (B)2b (D)2a+5c
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 有公共起点的三个 两两垂直 的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.
数学
课堂探究
题型一 空间向量基本定理的理解
【教师备用】
(1)空间中怎样的向量能构成基底?
(2)基底与基向量的概念有什么不同? 提示: (1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底.
(2)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是
数学
即时训练 3 1:如图所示,PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC
的中点,并且 PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 MN 的坐标.
解:因为 PA=AB=AD=1, PA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,
所以 AB , AD , AP 是两两垂直的单位向量. 设 AB =e1, AD =e2, AP =e3,
数学
【备用例题】 如图,已知正方体 ABCD A′B′C′D′,点 E 是上底面 A′B′C′D′的
中心,分别取向量 AB , AD , AA 为基底,若
(1) BD =x AD +y AB +z AA ; (2) AE =x AD +y AB +z AA .
数学
题后反思
判断某一向量组能否作为或利用一些常见的几何图形进行判断.
数学
即时训练 1 1:已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量 p=a+b,q=a-b 构 成基底的向量是( (A)2a (C)2a+3b ) (B)2b (D)2a+5c
2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 有公共起点的三个 两两垂直 的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.
原创1：3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
以e1，e2， e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立
P(x，y，z)
e3
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量p，可以把它平移到以原点O为起点， O
e1
e2
y
得到OP=p.由空间向量基本定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p= xe1 + e2 +ze3
Q (x，y，0)
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
2
2
D
x
N
M
C
B
y
归纳小结
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
当堂训练
＝ OA＝ a.
2
2
典例分析
在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
2
D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、1 的坐标．
【解析】(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
1
＝－[OO1＋ (OA＋OB)]
2
1
1
＝－OO1－ OA－ OB.
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
三个不共面的向量
如果有，应该如何表述？
,
Ԧ , Ԧ
P(x，y，z)
e3
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量p，可以把它平移到以原点O为起点， O
e1
e2
y
得到OP=p.由空间向量基本定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p= xe1 + e2 +ze3
Q (x，y，0)
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
2
2
D
x
N
M
C
B
y
归纳小结
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
当堂训练
＝ OA＝ a.
2
2
典例分析
在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
2
D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、1 的坐标．
【解析】(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
1
＝－[OO1＋ (OA＋OB)]
2
1
1
＝－OO1－ OA－ OB.
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
三个不共面的向量
如果有，应该如何表述？
,
Ԧ , Ԧ
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A a p b B
共面向量定理：
共面向量定理的应用： 1、证明四点共面
O
P
2、证明线面平行
练习： 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OE = kOA，OF = kOB，OG = kOC，OH = kOD， 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC. 证明： （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形
1 当x y z 时，P是ABC的重心 3
你能证明这个结论吗？
O
C
A
P
B
例 4.
→＝ 已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且→ OP＝2e1－e2＋3e3，OA
e1＋2e2－e3，→ OB＝－3e1＋e2＋2e3，→ OC＝e1＋e2－e3.
(1)判断 P、A、B、C 四点是否共面； →，→ (2)能否以{OA OB，→ OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若 →. 能，试以这一基底表示向量OP
例1.如图，M,N分别是四面体OABC的边 OA,BC 的中 点，P,Q MN的三等分点.用向量 OA, OB, OC 是线段 表示 OP和 OQ.
Q
P
2.
例3.
O
A
H
G B D
C
3. 空间向量基本定理
对平面内任意三个不共面向量a, b， c, 则空间中任意向量p
面 内 的 任 一 向 量a ， 有 且 只 有 一 对 实 数1 、 2 ， 使
a 1e1 2 e2 .
其 中 不 共 线 的 向 量e1 、 e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有向量的一组
基底 .
对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
空间中三个向量相加的 几何作法
AC AB AD ， EG OG OE
k OC k OA k AC k ( AB AD)
k (OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH . E、F、G、H 共面 .
练习： 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OE = kOA，OF = kOB，OG = kOC，OH = kOD， 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC. 证明：( 2) EF OF OE
e1＝3a－b－5c， → ＝17OA → －5OB → －30OC → e2＝a－c， 所以OP e3＝4a－b－7c.
例 5. 已知空间四个向量 a , b , c , d 满足 | a || b || c || d | 1 ，
a 与 b 夹角为 60°， c 与 d 夹角为 90°，
x＝17， 解得y＝－5， z＝－30，
1，e2，e3}为空间的一个基底，且→ OP＝2e1－e2＋3e3，OA
e1＋2e2－e3，→ OB＝－3e1＋e2＋2e3，→ OC＝e1＋e2－e3.
(1)判断 P、A、B、C 四点是否共面； →，→ (2)能否以{OA OB，→ OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若 →. 能，试以这一基底表示向量OP
2 2 则 a tb c td (t R）最小值是___________
解：原式= 1 2 15 2(t ) (t R) 4 8
f (t ) 2t 2 t 2
1 15 f min (t ) f ( ) 4 8
课后作业
1. 习题3.1B组1、2、3 2. 《乐学七中》3.1.4（注意序号写的是3.1.3空 间向量的正交分解及其坐标表示）
对空间中任意三个不共面向量a, b， c, 则空间中任意向量 p
存在唯一有序实数组 x, y , z使 p x a y b z c
{a, b, c}叫做基底， a, b, c叫做基向量
D/
A/
C/
B/
C
D
A
B
解：OP OM MP
例1.如图，M,N分别是四面体OABC的边 OA,BC 的中 点，P,Q MN的三等分点.用向量 OA, OB, OC 是线段 表示 OP和 OQ.
k (OB OA)
k AB
又由 (1) 小题的证明中知 EG k AC
EF // AB ，EG // AC . EF // 平面 AC , EG // 平面 AC , 又EF EG E ,
平面EG // 平面AC .
平面向量的基本定理
如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不 共线向量， 那么对于这一平
→＋yOB →＋zOC →， 解：(1)假设四点共面，则存在实数 x、y、z 使→ OP＝xOA 且 x＋y＋z＝1， 即 2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)， 比较对应项的系数，得到关于 x、y、z 的方程组
x－3y＋z＝2， 2x＋y＋z＝－1， －x＋2y－z＝3，
1 思考2：当x y z 时， P与 ABC 的关系？ 3
设O, A, B, C是空间中不共面的四点，则对空间中任意一点P， 都存在唯一有序实数组x, y, z , 使， OP xOA yOB z OC
1 思考2：当x y z 时， P与 ABC 的关系？ 3
2 OM MN 3 2 1 OA （ON OM） 2 3 2 1 1 1 OA [ （OB OC） OA] 2 3 2 2 1 1 1 OA OB OC . 6 3 3
共线向量定理的应用：
1、证明三点共线
2、证明两直线平行
2. 共面向量定理 (平面向量基本定理)
共面向量： 平行于同一平面的向量。
对空间中任意两个向量a , b(a / / b ), 则 p, a , b共面 存在实数 x , y，使 p xa yb
Q
P
解：OQ OM MQ 1 1 OA MN 2 3 1 1 OA （ON OM） 2 3 1 1 1 1 OA [ （OB OC） OA] 2 3 2 2 1 1 1 OA OB OC . 3 6 6
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
1. 共线向量定理
共线向量（平行向量）： 表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。 a 记为： a / /b b 共线向量定理：
对空间中任意两个向量a , b(b 0), 则a / / b 存在实数 ，使 a b
D/
A/
C/
B/
D
C
/
A
B
/
AC AB AD AA
思考：空间中任意向量AP能否用AB、 AD、 AA/ 表示？
思考：空间中任意向量AP能否用AB、 AD、 AA 表示？
P E
A/
/
C
D
A
B
AP AC z AA/ x AB y AD z AA/
3. 空间向量基本定理
→＋nOC →， 解：(2)若向量→ OA、→ OB、→ OC共面，则存在实数 m、n 使→ OA＝mOB 同(1)可证，这不可能，因此{→ OA，→ OB，→ OC}可以作为空间的一个基底． 令→ OA＝a，→ OB＝b，→ OC＝c， 由 e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c， 联立得到方程组，从中解得
存在唯一有序实数组x, y , z使 p x a y b z c
都存在唯一有序实数组x, y, z , 使， OP xOA yOB z OC
设O, A, B, C是空间中不共面的四点，则对空间中任意一点P，
思考1：当x y z 1时， A, B , C , P四点是否共面？
共面向量定理：
共面向量定理的应用： 1、证明四点共面
O
P
2、证明线面平行
练习： 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OE = kOA，OF = kOB，OG = kOC，OH = kOD， 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC. 证明： （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形
1 当x y z 时，P是ABC的重心 3
你能证明这个结论吗？
O
C
A
P
B
例 4.
→＝ 已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且→ OP＝2e1－e2＋3e3，OA
e1＋2e2－e3，→ OB＝－3e1＋e2＋2e3，→ OC＝e1＋e2－e3.
(1)判断 P、A、B、C 四点是否共面； →，→ (2)能否以{OA OB，→ OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若 →. 能，试以这一基底表示向量OP
例1.如图，M,N分别是四面体OABC的边 OA,BC 的中 点，P,Q MN的三等分点.用向量 OA, OB, OC 是线段 表示 OP和 OQ.
Q
P
2.
例3.
O
A
H
G B D
C
3. 空间向量基本定理
对平面内任意三个不共面向量a, b， c, 则空间中任意向量p
面 内 的 任 一 向 量a ， 有 且 只 有 一 对 实 数1 、 2 ， 使
a 1e1 2 e2 .
其 中 不 共 线 的 向 量e1 、 e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有向量的一组
基底 .
对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
空间中三个向量相加的 几何作法
AC AB AD ， EG OG OE
k OC k OA k AC k ( AB AD)
k (OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH . E、F、G、H 共面 .
练习： 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OE = kOA，OF = kOB，OG = kOC，OH = kOD， 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC. 证明：( 2) EF OF OE
e1＝3a－b－5c， → ＝17OA → －5OB → －30OC → e2＝a－c， 所以OP e3＝4a－b－7c.
例 5. 已知空间四个向量 a , b , c , d 满足 | a || b || c || d | 1 ，
a 与 b 夹角为 60°， c 与 d 夹角为 90°，
x＝17， 解得y＝－5， z＝－30，
1，e2，e3}为空间的一个基底，且→ OP＝2e1－e2＋3e3，OA
e1＋2e2－e3，→ OB＝－3e1＋e2＋2e3，→ OC＝e1＋e2－e3.
(1)判断 P、A、B、C 四点是否共面； →，→ (2)能否以{OA OB，→ OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若 →. 能，试以这一基底表示向量OP
2 2 则 a tb c td (t R）最小值是___________
解：原式= 1 2 15 2(t ) (t R) 4 8
f (t ) 2t 2 t 2
1 15 f min (t ) f ( ) 4 8
课后作业
1. 习题3.1B组1、2、3 2. 《乐学七中》3.1.4（注意序号写的是3.1.3空 间向量的正交分解及其坐标表示）
对空间中任意三个不共面向量a, b， c, 则空间中任意向量 p
存在唯一有序实数组 x, y , z使 p x a y b z c
{a, b, c}叫做基底， a, b, c叫做基向量
D/
A/
C/
B/
C
D
A
B
解：OP OM MP
例1.如图，M,N分别是四面体OABC的边 OA,BC 的中 点，P,Q MN的三等分点.用向量 OA, OB, OC 是线段 表示 OP和 OQ.
k (OB OA)
k AB
又由 (1) 小题的证明中知 EG k AC
EF // AB ，EG // AC . EF // 平面 AC , EG // 平面 AC , 又EF EG E ,
平面EG // 平面AC .
平面向量的基本定理
如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不 共线向量， 那么对于这一平
→＋yOB →＋zOC →， 解：(1)假设四点共面，则存在实数 x、y、z 使→ OP＝xOA 且 x＋y＋z＝1， 即 2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)， 比较对应项的系数，得到关于 x、y、z 的方程组
x－3y＋z＝2， 2x＋y＋z＝－1， －x＋2y－z＝3，
1 思考2：当x y z 时， P与 ABC 的关系？ 3
设O, A, B, C是空间中不共面的四点，则对空间中任意一点P， 都存在唯一有序实数组x, y, z , 使， OP xOA yOB z OC
1 思考2：当x y z 时， P与 ABC 的关系？ 3
2 OM MN 3 2 1 OA （ON OM） 2 3 2 1 1 1 OA [ （OB OC） OA] 2 3 2 2 1 1 1 OA OB OC . 6 3 3
共线向量定理的应用：
1、证明三点共线
2、证明两直线平行
2. 共面向量定理 (平面向量基本定理)
共面向量： 平行于同一平面的向量。
对空间中任意两个向量a , b(a / / b ), 则 p, a , b共面 存在实数 x , y，使 p xa yb
Q
P
解：OQ OM MQ 1 1 OA MN 2 3 1 1 OA （ON OM） 2 3 1 1 1 1 OA [ （OB OC） OA] 2 3 2 2 1 1 1 OA OB OC . 3 6 6
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
1. 共线向量定理
共线向量（平行向量）： 表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。 a 记为： a / /b b 共线向量定理：
对空间中任意两个向量a , b(b 0), 则a / / b 存在实数 ，使 a b
D/
A/
C/
B/
D
C
/
A
B
/
AC AB AD AA
思考：空间中任意向量AP能否用AB、 AD、 AA/ 表示？
思考：空间中任意向量AP能否用AB、 AD、 AA 表示？
P E
A/
/
C
D
A
B
AP AC z AA/ x AB y AD z AA/
3. 空间向量基本定理
→＋nOC →， 解：(2)若向量→ OA、→ OB、→ OC共面，则存在实数 m、n 使→ OA＝mOB 同(1)可证，这不可能，因此{→ OA，→ OB，→ OC}可以作为空间的一个基底． 令→ OA＝a，→ OB＝b，→ OC＝c， 由 e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c， 联立得到方程组，从中解得
存在唯一有序实数组x, y , z使 p x a y b z c
都存在唯一有序实数组x, y, z , 使， OP xOA yOB z OC
设O, A, B, C是空间中不共面的四点，则对空间中任意一点P，
思考1：当x y z 1时， A, B , C , P四点是否共面？