山东省济宁市曲阜市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

2023~2024学年度第一学期期末教学质量监测考试
八年级数学试题注意事项：1、本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，第I 卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题、64分；共100分、考试时间为120分钟．
2．答题前、考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．3．答第I 卷时，必须使用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动、必须先用橡皮擦干净、再改涂其它答案．
4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答、
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ）A ．B ．
C ．
D ．
2．下列计算正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
m m m +=()2
22244m n m mn n +=++()2236x x -=623x x x ÷=
A ．125°
B ．135°6．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定（ ）
A ．
B 7．若，则下列分式化简正确的是（A ．B CAB DAB ∠=∠AB
C AB
D ∠=∠a b ¹22a a b b +=+
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
10．利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，是等边三角形，是边上的高，
是的中点，是
上的一个
动点，当与的和最小时，等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．12．如图，在中，，点D 为线段上一动点（不与点B ，C 重合），连接，作，交线段于点
E ，下列结论：①；②若，则；③当时，则D 为中点；
④当为等腰三角形时，．
222
()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+2222a b a b ab +=+-（）22()()
a b a b a b -=+-ABC AD BC E AC P AD PC PE CPE ∠30︒90︒45︒60︒
ABC AB AC =BC AD 40ADE B ∠=∠=︒DE AC DEC BDA ∠=∠AB DC =AD DE =DE AC ⊥BC ADE V 30BAD ∠=︒
A ．①②
B ．②③④第II 二、填空题：本大题共6小题，每小题13．若分式有意义，则x 的取值范围是16．如图，E 为平分线的距离为 ．
17．如图，在中，，将沿着折叠，点
18．若实数，则我们把称为13x +BAC ∠ABC E CBD △BD 1x ≠-11x -
+
(1)作出关于直线的轴对称图形(2)写出点的坐标（____，____(3)在内有一点，点的坐标（________，________）．
22．如图，在等边中，，交于点，于点．
ABC l A 'ABC (),P m n ABC D N BM AD ⊥M
(1)求证：；
(2)若，求
的长．
23．为落实“双减政策”，某校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是元和元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多本．
(1)求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
(2)该学校拟计划再订购这两种经典读本共本，总费用不超过元，则至少购进“传统文化”经典读本多少本？
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则
，
，解得：，，另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：
(1)若，则______，______；
(2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
(3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
ABE CAD ≌6MN =BN 140007000 1.430010001288024x x m -+()3x +m ()x n +()()243x x m x x n -+=++()22433x x m x n x n -+=+++343n m n +=-⎧∴⎨=⎩
7n =-21m =-∴()7x -m 21-()()223x bx c x x ++=+-b =c =2814x x k --()23x -k 2642x ax ++()2x a +a a
25．已知在中，
，过点引一条射线，是上一点．
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数；
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数．
答案与解析
1．C 【分析】过一个图形的一条直线,把这个图形分成可以完全重合的两个部分，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B 、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，本选项符合题意；
ABC AB AC =B BM D BM 60ABC ∠=︒BM ABC ∠60ADB ∠=︒60BDC ∠=︒BM E AE AD =BDC ∠20ABC ADB ∠=∠=︒BM ABC ∠BDC ∠BM BC BDC ∠BDC ∠
D 、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：C ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题主要考查了同底数幂相除，合并同类项，完全平方公式，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，合并同类项，完全平方公式，积的乘方，逐项判断即可求解．
【详解】解：A ．，故本选项错误，不符合题意；
B ．，故本选项正确，符合题意；
C ．，故本选项错误，不符合题意；
D ．，故本选项错误，不符合题意；
故选：B ．
3．C
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．
【详解】解：设第三边长为x ，
根据三角形的三边关系，得7-4＜x ＜7+4，即3＜x ＜11．
∴10在第三边长的取值范围内．
故选：C ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式）逐项判断即可．
【详解】解：A 、属于因式分解，符合题意；B 、属于整式的乘法运算，不符合题意；
C 、属于整式的乘法运算，不符合题意；2m m m +=()2
22244m n m mn n +=++()2239x x -=624x x x ÷=()2105521x x x x -=-()a m n am an +=+()2
222a b a ab b +=++
变化后图形的面积为：，所以
故选：D
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练利用面积的两种表示方法得到平方差公式的是解题的关键．
11．D
【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，与交于点，此时最小，
是等边三角形，，
，
，
即就是的最小值，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∴故选：D ．
12．C
()()a b a b +-22()()
a b a b a b -=+-BE BE PE PC 30PBC PCB ∠=∠=︒BE AD P PE PC +ABC AD BC ⊥PC PB ∴=PE PC PB PE BE ∴+=+≥BE PE PC +ABC 60BCE ∴∠=︒BA BC = AE EC =BE AC ∴⊥90BEC ∴∠=︒30EBC ∴∠=︒PB PC = 30PCB PBC ∴∠=∠=︒30ACP ∴∠=︒60CPE ∠=︒
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
14．【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．15．6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：和是由摆动得到，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
3x ≠-3x ≠-()()
322m m m -+3312m m -()
234m m =-()()322m m m =-+()()322m m m -+AAS OBD COE ≌ OD CE =AD OA OD =- OB OC OA OB CO ∴= OB OC ⊥90BOC ∴∠=︒BD OA ⊥ CE OA ⊥90BDO OEC ∴∠=∠=︒90BOD OBD ∴∠+∠=︒90BOD EOC ∠+∠=︒OBD COE ∴∠=∠OBD COE BDO OEC OBD COE OB CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AAS OBD COE ∴ ≌
（2
），，，
故答案为：4，1；5，4；3，3；
（3）点关于直线的对称点的坐标为，
故答案为：，．
22．(1)见解析
(2)【分析】本题考查等边三角表的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据等边三角形的性质可得，，即可证明；
（2）根据可证，通过等量代换可证，进而可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
(4,1)A '(5,4)B '(3,3)C 'P l P (2,)m n -2m -n 12
AB BC AC ==60BAC ACB ∠=∠=︒()AAS ABE CAD ≌()AAS ABE CAD ≌ABE CAD ∠=∠60BNM ∠=︒30NBM ∠=︒ABC AB BC AC ∴==60BAC ACB ∠=∠=︒ABE CAD AEB ADC BAE ACD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AAS ABE CAD ∴ ≌ABE CAD ≌ABE CAD ∴∠=∠60BNM BAN ABN BAN CAD BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒
【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
（3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解，
本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：，，
（2）解：设另一个因式为：，
则，
，解得：，，另一个因式是，
故答案为：，，
（3）解：设另一个因式是，则
则，解得：或，是正整数，
，另一个因式是；（不符合题意舍去），
另一个因式是，a 的值是2．
25．(1)详见解析
(2)①；②会变化，()()223x bx c x x ++=+-()4x b +()3x m +()()22236x x x x x bx c +-=--=++ 1b ∴=-6c =-1-6-()4x b +()()()2222348212382123814x x b x bx x b x b x b x x k -+=+--=+--=--212143b b k -=-⎧∴⎨=⎩
1b =-3k =-∴()41x -()41x -3k =-()3x m +()()()2223623642
x a x m x m a x am x ax ++=+++=++2342
m a a am +=⎧⎨=⎩21a m =⎧⎨=⎩21a m =-⎧⎨=-⎩ a 2a ∴=()31x +2a =-∴()31x +140︒40︒
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的
判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到
，根据证明，根据全等三角形的性质得到
，据此可得到答案；
（2）①在上取一点E ，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点E ，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E ，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E ，，如图所示：
∵，，
∴，，ADE V ABC BAE CAD ∠=∠SAS BAE CAD △≌△120ADC AEB ∠=∠=︒BD AE AD =BAE CAD △≌△160ADC ∠=︒DB AE AD =BAE CAD △≌△20ADC E ∠=∠=︒BDC ∠BM AE AD =60ADB ∠=︒ADE V 60EAD ∠=︒AB AC =60ABC ∠=︒ABC 60BAC ∠=︒BAC EAD ∠=∠BAC EAC EAD EAC ∠-∠=∠-∠BAE CAD ∠=∠BAE CAD AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()SAS BAE CAD ≌120ADC AEB ∠=∠=︒1206060BDC ∠=︒-︒=︒BD AE AD =20ABC ADB ∠=∠=︒AB AC =20ABC ACB ∠=∠=︒20AED ADE ∠=∠=︒
∴
，
∴，
∵在和中，∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E ，使得，如图所示：同理①的方法可证：，
∴，
∴．140BAC EAD ∠=∠=︒BAE CAD ∠=∠BAE CAD AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()SAS BAE CAD ≌18020160ADC AEB ∠=∠=︒-︒=︒16020140BDC ∠=︒-︒=︒BDC ∠DB AE AD =BAE CAD △≌△20ADC E ∠=∠=︒202040BDC ADE ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒。