2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
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2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知i为虚数单位,计算i(1+i)=()
A.1﹣i B.1+i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
2.已知集合A={x|x2<1},B={x|2x<1},则A∩B=()
A.(﹣1,0)B.(﹣1,1)C.(﹣∞,0]D.(﹣∞,1)
3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()
A.y=2﹣x B.y=x3+x C.y=﹣D.y=lnx
4.点P(2,﹣1)为圆(x﹣1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()A.x+y﹣1=0 B.2x+y﹣3=0 C.x﹣y﹣3=0 D.2x﹣y﹣5=0
5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是()
A.15 B.21 C.24 D.35
6.已知a,b∈R,则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.在平面直角坐标系中,若不等式组,(a为常数)表示的区域面积等于3,
则a的值为()
A.﹣5 B.﹣2 C.2 D.5
8.如图,矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直,将△DEF沿FD翻折,翻折后的点E(记为点P)恰好落在BC上,设AB=1,FA=x(x>1),AD=y,则以下结论正确的是()
A.当x=2时,y有最小值B.当x=2时,有最大值
C.当x=时,y有最小值2 D.当x=时,y有最大值2
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量=(2,1),+=(1,k),若⊥则实数k等于_______.
10.抛物线y2=8x的准线与双曲线C:﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为
_______.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2bsinA,则B=_______.12.已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是_______(单位:cm2).
13.国家新能源汽车补贴政策,刺激了电动汽车的销售,据市场调查发现,某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长;R型电动汽车的销售将每月递增20辆,已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆,据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆;这两款车的销售总量约为_______辆.(参考数据:1.111≈2.9,1.112≈3.1,1.113≈3.5)
14.设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m,则M=_______,
m=_______.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.
15.已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x.x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在[0,]上的最大值与最小值.
16.某农业科研实验室,对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究,分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数,得到如表数据:
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日
昼夜温差(℃)9 11 13 12 8 10
发芽数(粒)23 25 30 26 16 24
(1)求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率;
(2)从3月1日至3月6日这六天中,按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子
数分别为m,n,用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足的事件A的
概率.
17.已知等差数列{a n},a2=3,a5=9.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)令b n=c,其中c为常数,且c>0,求数列{b n}的前n项和S n.
18.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD是等边三角形,AD=DE=2AB=2,F,G分别为AD,DC的中点.
(1)求证:CF⊥平面ABED;
(2)求四棱锥C﹣ABED的体积;
(3)判断直线AG与平面BCE的位置关系,并加以证明.
19.已知函数f(x)=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点,求实数m的取值范围.20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的一个焦点F(2,0),点A(2,)为椭圆上
一点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设M、N为椭圆上两点,若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数,求证:直线MN的斜率为定值;
(3)在(2)的条件下,△AMN的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知i为虚数单位,计算i(1+i)=()
A.1﹣i B.1+i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可.
【解答】解:i(1+i)=i+i2=﹣1+i,
故选C.
2.已知集合A={x|x2<1},B={x|2x<1},则A∩B=()
A.(﹣1,0)B.(﹣1,1)C.(﹣∞,0]D.(﹣∞,1)
【考点】交集及其运算.
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出两集合的交集即可.
【解答】解:由A中不等式解得:﹣1<x<1,即A=(﹣1,1),
由B中不等式变形得:2x<1=20,
解得:x<0,即A=(﹣∞,0),
则A∩B=(﹣1,0),
故选:A.
3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()
A.y=2﹣x B.y=x3+x C.y=﹣D.y=lnx
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】根据奇函数图象关于原点对称,一次函数和y=x3在R上的单调性,反比例函数在定义域上的单调性,以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
【解答】解:A.y=2﹣x的图象不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误;
B.y=x3+x的定义域为R,且(﹣x)3+(﹣x)=﹣(x3+x);
∴该函数为定义域R上的奇函数;
y=x3和y=x在R上都是增函数,∴y=x3+x在R上为增函数,∴该选项正确;
C.反比例函数在定义域上没有单调性,∴该选项错误;
D.y=lnx的图象不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误.
故选:B.
4.点P(2,﹣1)为圆(x﹣1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为()A.x+y﹣1=0 B.2x+y﹣3=0 C.x﹣y﹣3=0 D.2x﹣y﹣5=0
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】由垂径定理,得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直,由此算出AB的斜率
k=1,结合直线方程的点斜式列式,即可得到直线AB的方程.
【解答】解:∵AB是圆(x﹣1)2+y2=25的弦,圆心为C(1,0)
∴设AB的中点是P(2,﹣1)满足AB⊥CP
因此,PQ的斜率k===1
可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2,化简得x﹣y﹣3=0
故选:C
5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是()
A.15 B.21 C.24 D.35
【考点】程序框图.
【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,从而到结论.
【解答】解:模拟执行程序,可得
S=0,i=1
T=3,S=3,i=2
不满足i>4,T=5,S=8,i=3
不满足i>4,T=7,S=15,i=4
不满足i>4,T=9,S=24,i=5
满足i>4,退出循环,输出S的值为24.
故选:C.
6.已知a,b∈R,则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】ab≥2,可得:a2+b2≥2ab≥4.反之不成立,例如取a=,b=2.即可判断出结论.【解答】解:∵ab≥2,∴a2+b2≥2ab≥4,当且仅当a=b=时取等号.
反之不成立,例如取a=,b=2.
∴“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的充分不必要条件.
故选:A.
7.在平面直角坐标系中,若不等式组,(a为常数)表示的区域面积等于3,
则a的值为()
A.﹣5 B.﹣2 C.2 D.5
【考点】简单线性规划.
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,根据已知条件中,表示的平面区域的面积等于3,构造关于a的方程,解方程即可得到答案.
【解答】解:不等式组,(a为常数)围成的区域如图所示.
∵由于x,y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3,
∴×|AC|×|x A﹣x B|=3,解得|AC|=6,
∴C的坐标为(1,6),
由于点C在直线ax﹣y+1=0上,
则a﹣6+1=0,解得a=5.
故选:D.
8.如图,矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直,将△DEF沿FD翻折,翻折后的点E(记为点P)恰好落在BC上,设AB=1,FA=x(x>1),AD=y,则以下结论正确的是()
A.当x=2时,y有最小值B.当x=2时,有最大值
C.当x=时,y有最小值2 D.当x=时,y有最大值2
【考点】二面角的平面角及求法.
【分析】由已知得FE=FP=AD=BC=y,AB=DC=1,FA=DE=DP=x,从而PC=,AP=,BP=,进而得到y2==,由此利用换元法及
二次函数性质能求出结果.
【解答】解:∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直,
AB=1,FA=x(x>1),AD=y,
∴FE=FP=AD=BC=y,AB=DC=1,FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中,PC=,
在Rt△FAP中,AP=,
在Rt△ABP中,BP=,
∵BC=BP+PC=+=y
整理得y2==,令t=
则y2=,
则当t=,即x=时,y取最小值.
故选:C.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知向量=(2,1),+=(1,k),若⊥则实数k等于3.
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】由条件求出的坐标,由⊥可得•=0,解方程求得k 的值.
【解答】解:∵向量=(2,1),+=(1,k),
∴=(﹣1,k﹣1)
∵⊥,则•=(2,1)•(﹣1,k﹣1)=﹣2+k﹣1=0,
∴k=3,
故答案为3.
10.抛物线y2=8x的准线与双曲线C:﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程,解得两交点,由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.
【解答】解:抛物线y2=8x的准线为x=﹣2,
双曲线C:﹣=1的两条渐近线为y=±x,
可得两交点为(﹣2,),(﹣2,﹣),
即有三角形的面积为×2×2=2.
故答案为:2.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2bsinA,则B=或.
【考点】正弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理可得,sinA=2sinBsinA,从而可求sinB,进而可求B.
【解答】解:∵a=2bsinA,
由正弦定理可得,sinA=2sinBsinA,
∵sinA≠0,
∴sinB=,
∵0°<B<180°.
∴B=或.
故答案为:或.
12.已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是3π+4(单位:cm2).
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知几何体是半个圆柱,由三视图求出几何元素的长度,由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积.
【解答】解:根据三视图可知几何体是半个圆柱,且正视图是底面,
∴底面圆的半径是1cm,母线长是2cm,
∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4(cm2),
故答案为:3π+4.
13.国家新能源汽车补贴政策,刺激了电动汽车的销售,据市场调查发现,某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长;R型电动汽车的销售将每月递增20辆,已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆,据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为1050辆;这两款车的销售总量约为2970辆.(参考数据:1.111≈2.9,1.112≈3.1,1.113≈3.5)
【考点】等差数列与等比数列的综合;对数的运算性质.
【分析】由题意可得,今年Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列,然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解.
【解答】解:由题意可得,今年Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项,以1.1为公比的等比数列,
则今年Q型电动汽车的销售量为≈1050;
R型电动汽车的月销售量构成以50为首项,以20为公差的等差数列,
则R型电动汽车的销售量为=1920.
∴这两款车的销售总量约为:1050+1920=2970.
故答案为:1050;2970.
14.设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m,则M=5,m=2.
【考点】集合的表示法.
【分析】根据级别不等式的性质求出最小值,a取最小值1,b取最大值2时,求出最大值M.
【解答】解: +b≥+a≥2,故m=2,
a=1,b=2时+b=5,故M=5,
故答案为:.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.
15.已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x.x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在[0,]上的最大值与最小值.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.
【分析】(1)根据两角差的正弦公式得到f(x)=,从而求出f(x)的最小正周期;
(2)根据x的范围,求出2x﹣的范围,从而求出f(x)的最大值和最小值即可.
【解答】解:(1)由已知f(x)=sin2x﹣2cos2x=,
∴f(x)的最小正周期为π;
(2)∵,
∴,
∴当,
即x=0时,f min(x)=﹣2,
当,即时,.
16.某农业科研实验室,对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究,分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数,得到如表数据:
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日
昼夜温差(℃)9 11 13 12 8 10
发芽数(粒)23 25 30 26 16 24
(1)求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率;
(2)从3月1日至3月6日这六天中,按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m,n,用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足的事件A的
概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(1)根据平均数即可求出,
(2)一一列举出所有的基本事件,再找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可.(1)这6天的平均发芽率为:,【解答】解:
∴这6天的平均发芽率为24%,
(2)(m,n)的取值情况有
事件数为15,
设为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26)(30,26),∴所求概率.
17.已知等差数列{a n},a2=3,a5=9.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)令b n=c,其中c为常数,且c>0,求数列{b n}的前n项和S n.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)利用等差数列通项公式即可得出.
(2)对c分类讨论,利用等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:(1)由已知,
解得d=2,a1=1,
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1.
(2)由(Ⅰ)知:b n=c=c2n﹣1,
当c=1时,b n=1,∴S n=n.
当c≠1时,∵,
∴{b n}是b1=c,公比为c2的等比数列;
∴.
18.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD是等边三角形,AD=DE=2AB=2,F,G分别为AD,DC的中点.
(1)求证:CF⊥平面ABED;
(2)求四棱锥C﹣ABED的体积;
(3)判断直线AG与平面BCE的位置关系,并加以证明.
【考点】直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED,由等边三角形得出CF⊥AD,利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED;
(2)棱锥的底面ABED为直角梯形,高为CF,代入体积公式计算即可;'
(3)取CE的中点H,连结GH,BH,则可证明四边形ABHG是平行四边形,于是AG∥BH,得出AG∥平面BCE.
【解答】证明:(1)∵F为等腰△ACD的边AD的中点,
∴CF⊥AD,
∵AB⊥平面ACD,AB⊂平面ABED,
∴平面ACD⊥平面ABED,
∵平面ACD∩平面ABED=AD,CF⊥AD,.CF⊂平面ACD,
∴CF⊥平面ABED.
(2)∵△ACD是边长为2的等边三角形,∴CF=.
==3,
∵S
梯形ABED
∴.
(3)结论:直线AG∥平面BCE.
证明:取CE的中点H,连结GH,BH,
∵G是CD的中点,
∴GH∥DE,且GH==1,
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴GH∥AB,又GH=AB=1,
∴四边形ABHG为平行四边形,
∴AG∥BH,又AG⊄平面BCE,BH⊂平面BCE,
∴AG∥平面BCE.
19.已知函数f(x)=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点,求实数m的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2,2]上恰有两个不同的实根.令g(x)=xe x+x2+2x,求出函数的单调性求出g(x)的最小值,从而求出m的范围即可.
【解答】解:(1)f'(x)=e x+xe x+2ax+2,
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f'(﹣1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,
∴f(x)=xe x+x2+2x+1,f'(x)=(x+1)(e x+2),
当x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,﹣1)递减;
当x∈(﹣1+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(﹣1,+∞)递增.
(2)函数y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有两个不同的零点,
等价于xe x+x2+2x﹣m=0在[﹣2,2]上恰有两个不同的实根,
等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2,2]上恰有两个不同的实根.
令g(x)=xe x+x2+2x,∴g'(x)=(x+1)(e x+2),
由(1)知g(x)在(﹣∞,﹣1)递减;在(﹣1,+∞)递增.
g(x)在[﹣2,2]上的极小值也是最小值;
.
又,g(2)=8+2e2>g(﹣2),
∴,即.
20.已知椭圆E: +=1(a>b>0)的一个焦点F(2,0),点A(2,)为椭圆上
一点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设M、N为椭圆上两点,若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数,求证:直线MN的斜率为定值;
(3)在(2)的条件下,△AMN的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由题意可得c=2,由A满足椭圆方程,结合a,b,c的关系,可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线AM的斜率为k,则直线AN的斜率为﹣k,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,结合两点的斜率公式计算即可得到所求定值;
(3)不妨设过M,N的直线方程为:,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公
式,以及点到直线的距离公式,由点到直线的距离公式,结合二次函数的最值求法,即可得到所求最大值.
【解答】解:(1)由已知c=2,∵在椭圆上,
∴,
又a2=b2+c2,解得b2=4,a2=8,
可得椭圆方程为+=1;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线AM的斜率为k,
则直线AN的斜率为﹣k,
∴由,消去y得(1+2k2)x2﹣(8k2﹣4k)x+8k2﹣8k﹣4=0,
由曲线E与直线l只有两个公共点,可得△>0,且x1,2是方程的二根,
∴,∴,
∴,
同理,
∴为定值.
(3)不妨设过M,N的直线方程为:
由,消去y得,
由△>0,解得m2<8,,,计算得:点到直线MN的距离,
∴
=
∴当m2=4,即m=±2时,.
2020年9月8日。