三角形全等之截长补短(整理)

三角形全等之截长补短（讲义）

一、知识点睛

截长补短：

题目中出现时，考虑截长补短；截长补短的作用是

____________________________________

．

二、精讲精练A

1. 已知：如图，在△ ABC 中，∠ 1=∠2，∠ B=2∠C．

12求证： AC=AB+BD．

C

B D

A

2

1

C

B D

A

2

1

B D C

2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，点 E 为 AB 边上一点，且 DE 平分∠ ADC，CE 平分

∠ BCD．

C 求证： CD=AD+BC．

3.已知：如图，在正方形 ABCD 中， AD=AB，

∠ B=∠ D=∠ BAD=90°，E，F 分别为 CD， BC 边上的点，且∠ EAF=45°，连接

EF．求证： EF=BF+DE．

D

A

E

A D

E

B F C

4.已知：如图，在△ ABC 中，∠ ABC=60°，△ ABC 的角平分线 AD，CE 交于点 O．

求证： AC=AE+CD．

B

D

E

O

A C

B

D

E

O

A C

5.已知：如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC，BD 平分∠ ABC，CE⊥BD 交 BD 的延长线于点

E．

1

求证： CE

BD． 2

A

E

D

B C

A

E

【参考答案】

【知识点睛】

线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】

1.补短法：

证明：如图，延长 AB 到 E，使∵∠ ABD 是△ BDE 的一个外角∴∠ ABD=∠ E＋∠ BDE

∵BE=BD

∴∠ E=∠BDE

∴∠ ABD=2∠E

∵∠ ABD=2∠C B∴∠ E=∠C 在△ ADE 和△ ADC 中

E BE=BD，连接 DE．

A

1

2

D C

E C

1 2

AD AD

∴△ ADE≌△ ADC（AAS ）

∴AE=AC

∴AC=AB＋BE

=AB ＋BD

截长法：

证明：如图，在 AC 上截取 AF=AB，连接 DF ．

在△ ABD 和△ AFD 中

A

AB AF

12

12

F AD AD

∴△ ABD≌△ AFD （SAS）

B D C

∴∠ B=∠AFD， BD=FD

∵∠ B=2∠ C

∴∠ AFD=2∠C

∵∠ AFD 是△ DFC 的一个外角

∴∠ AFD=∠ C +∠FDC

∴∠ FDC=∠ C

∴DF=FC

∴BD=FC

∴AC=AF+FC

=AB+BD

2. 证明：如图，在 CD 上截取 CF=CB．

∵ CE 平分∠ CBD

C ∴∠ 1=∠ 2

F 1 2

在△ CFE 和△ CBE 中D CF CB

3 4

12

CE CE A E B ∴△ CFE≌△ CBE（SAS）

∴∠ CFE=∠ B

∵∠ B=90°

∴∠ CFE=∠ DFE =90 °

∵∠ A=90°

∴∠ DFE=∠ A

∵DE 平分∠ ADC

∴∠ 3=∠ 4

在△ DEF 和△ DEA 中

DFE A

3

4

DE DE

∴△ DEF ≌△ DEA （AAS ）

∴ DF=AD ∴ CD=DF+CF

=AD+BC

3. 证明：如图，延长 FB 到 G ，使 BG=DE ，连接 AG ．

∵∠ D=∠ABC=90°

A D

∴∠ ABG=∠ D=90°

2

1 3

在△ ABG 和△ ADE 中

E

AB=AD ABG= D

BG=DE G BF C

∴△ ABG ≌△ ADE （SAS ） ∴ AG=AE ，∠ 1=∠2

∵∠ BAD=90°，∠ EAF=45° ∴∠ 2+∠ 3=45° ∴∠ 1+∠ 3=45° 即∠ GAF=45° ∴∠ GAF=∠ EAF 在△ AGF 和△ AEF 中

AG AE

GAF

EAF

AF

AF

∴△ AGF ≌△ AEF （SAS ） ∴ GF=EF ∵ GF=BF+BG ∴ EF=BF+DE

4. 证明：如图，在 AC 上截取 AF=AE ，连接

OF ． ∵ AD ， CE 为△ ABC 的角平分线

∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4

B

在△ AEO 和△ AFO 中

AE

AF E

D

1 2 O 7

5

AO

AO

1 6

8

4