高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件

解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(

)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
3
C.f(2)<f(-1)<f(- )
2
3
D.f(2)<f(- )<f(-1)
2
)
答案 D
解析
3
∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).∵-2<-2<-1,又
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
)
答案 D
解析 令t=x2-2x-8.由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)上单
调递减,在(4,+∞)上单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)上单调递增,可得函数
f(x)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.
一般地,当x1≠x2时,称 Δ
为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)
或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率.
常用结论
函数单调性的常用结论:
f(x)在区间D上的单调性
单调递增
单调递减
定义法
x1<x2⇔f(x1)<f(x2)
x1<x2⇔f(x1)>f(x2)
图像法
从左到右函数图像上升
,
1 -1
2 -1 ( 1 -1)( 2 -1)
由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即
f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
从左到右函数图像下降
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
单调递增+单调递增
单调递减+单调递减
复合函数f[g(x)]
内外层单调性相同
内外层单调性相反
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)函数
1
y= 在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.
(2)函数 f(x)=log5(2x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.
(3)利用已知函数的单调性;
(4)导数法.
2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:

(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;
(2)可导函数可以利用导数证明.
3.复合函数单调性的判断方法:
复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单
(3)设任意 x1,x2∈[a,b],且 x1≠x2,那么
( × )
( √ )
( 1 )-( 2 )
f(x)在[a,b]上单调递增⇔
>0.
1 - 2
(4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到.
( √ )
( √ )
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(
A.(-∞,-2)
在I上是减函数(也称在I
上单调递减)
增函数
减函数
自左向右看图像是 上升的
自左向右看图像是下降的
图像
描述
单调 当I为区间时,称I为函数的单调递 当I为区间时,称I为函数的单调递减
区间 增区间
区间
2.函数的最值
前提 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对 任意
条件
结论
f(x)≤f(x0)
2
f(x)= ,x∈[2,6],则
-1
为
.
答案 2
f(x)的最大值为
2
5
解析 易知函数
2
f(x)=-1在
x∈[2,6]上为减函数,故
2
f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)= .
5
,最小值
关键能力 学案突破
考点1
证明或判断函数的单调性
【例 1】 判断并证明函数

f(x)=-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
高考总复习优化设计
第二章
2.2 函数的单调性与最值
【知识梳理】
1.函数的单调性
函数单调性及单调区间的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,且I⊆D:如果对 任意
x1,x2∈I,当
x1<x2时,都有
定义
f(x1)<f(x2)
,则称y=f(x)在I上是增函数(也
称在I上单调递增)
f(x1)>f(x2) ,则称y=f(x)
x∈D,都有
f(x)≥f(x0)
则称f(x)的最大值为f(x0),x0称为f(x) 则称f(x)的最小值为f(x0),x0称为
的 最大值点
f(x)的 最小值点
3.函数的平均变化率
一般地,若 I 是函数 y=f(x)的定义域的 子集
,对
任意 x1,x2∈I
2 -1
Δ
( 2 )-( 1 )
答案 A
3 1
解析 由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵f(x)=x - 3 ,
∴f(-x)=(-x) 3
1
(-)3
=-
上单调递增.故选 A.
3
1
- 3

3 1
=-f(x),∴f(x)为奇函数.易知 f(x)=x - 3 在区间(0,+∞)

5.已知函数
,记
=
(即 =
),则:
2 - 1
Δ
2 - 1
Δ
>0
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 Δ
在I上恒成立;
且 x1≠x2
Δ
y1=f(x1),y2=f(x2),
Δ
Δ
<0
Δ
(2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是
在I上恒成立.
Δ
( 2 )-( 1 )
=
2 - 1