2.3.1抛物线的定义与标准方程

分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发
现点M满足的几何条件吗？
M H
E
mm
F
l
如图所示，把一根直尺固定在 图上直线的位置，把一块三角 尺的一条直角边紧靠着直尺的 边缘，再把一条细绳的一端固 定在三角尺的另一条直角边的 一点，取绳长等于点到直角顶 点的长（即点A到直线的距 离），并且把绳子的另一端固 定在图板上的一点，用铅笔尖 扣着绳子，使点到笔尖的一段 绳子紧靠着三角尺，然后将三 角尺沿着直尺上下滑动，笔尖 就在图板上描出了一条曲线. 请同学们说出这条曲线有什么 特征？
p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0) , 2
p 准线方程为: x
2
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式简单 ？
y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
例 1 方程 2[x＋32＋y－12]＝|x－y＋3|表示的曲线是
二、标准方程的推导
类比椭圆标准方程的建立过程，你认为如何选择坐 标系，求抛物线的方程？
Ly
Ly
N
M N
M
Ly
N
M
K Fx K F x
K Fx
y2 2px p2( p 0) y2 2 px p2 ( p 0) y2 2 px( p 0)
三、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程。表示焦点在 x 轴正半轴上.
抛物线的生活实例
夜色下的喷泉
思考：
我们知道，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图 象是一条抛物线，而且还研究过它的顶点坐标、 对称轴等问题。那么，抛物线到底有怎样的几 何特征？它还有哪些几何性质？
思考：如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H
是l上任意一点，经过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平
一、抛物线的定义:
H
在平面内,与一个定点F和一条
定直线l(l不经过点F)的距离相等的
点的轨迹叫抛物线.
· d M
C
焦点
·F
点F叫抛物线的焦点,
l
准线
e=1
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d
那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简
单,其标准方程形式怎样?
切，则点 M 到定点(2,0)的距离为 r＋1，动圆与直线 x＝－1
相切，
则点 M 到定直线 x＝－1 的距离是 r，所以点 M 到定点(2,0)
和定直线 x＝－2 的距离相等，故轨迹为抛物线．
课堂小结
1.抛物线的定义;
2.p的几何意义是: 焦点到准线的距离;
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
() D．抛物线D
解析 原方程变形为 x＋32＋y－12＝|x－y2＋3|，它表 示点 M(x，y)与点 F(－3,1)的距离等于点 M 到直线 x－y ＋3＝0 的距离． 根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．
小结 根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定 点的轨迹．注意定义中“点 F 不在直线 l 上”这个条件．
跟踪训练：若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1 相外切，又与直线 x
＋1＝0 相切，则动圆圆心的轨迹是
()
D
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析，则动圆圆心到直线的距离等于动圆的
半径， 设动圆圆心为 M，半径为 r，动圆与圆(x－2)2＋y2＝1 相外