四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学
试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1
4．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）
A．1：3B．1：4C．1：2D．1：9
8．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 米．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），
则点A′的坐标为 ．
13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边
形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．
三、解答题（共48分）
14．（12分）解方程：
（1）2x2+3＝﹣7x；
（2）x2﹣6x+2＝0．
15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．
（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；
（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．
16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇
形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 ．
20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长
为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．
21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 ．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 ．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．
二、解答题（共30分）
24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
25．（10分）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；
【尝试应用】
（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线
上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．
26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存
在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别判断这四个几何体从正面看和从左面看的形状，进而求解．
【解答】解：球从正面看和从左面看都是圆，形状相同；
三棱柱从正面看是长方形，从左面看是三角形，形状不同；
圆锥从正面看和从左面看都是三角形，形状相同；
圆柱从正面看和从左面看都是长方形，形状相同；
综上，从正面看和从左面看形状相同的几何体有3个；
故选：C．
【点评】本题考查了从不同方向看几何体，正确判断从正面看和从左面看的形状是关键．
2．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．
3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1
【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，选择答案即可．
【解答】解：∵将方程5x2﹣1＝4x整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，
∴二次项系数为5，一次项系数为﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．
4．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】根据各角度与直角的关系直接求解即可．
【解答】解：由图可知∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣150°＝30°，
因为四边形是矩形，即∠5＝90°，所以∠4＝90°﹣30°＝60°，
所以∠2＝90°﹣60°＝30°，
故选：B．
【点评】此题考查矩形的性质，解题关键是灵活使用直角和平角．
5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝2，OB＝BD＝3，由勾股定理求出BC
＝＝，由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC•BD，即可求出AE＝，由勾股定理即可得到CE＝＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，
∵AC＝4，BD＝6，
∴OC＝2，OB＝3，
∴BC＝＝，
∵AE⊥BC，
∴菱形的面积＝BC•AE＝AC•BD，
∴AE＝×4×6，
∴AE＝，
∴CE＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC •BD，求出AE的长．
6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和配得紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：根据两个转盘的形状，画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有5种，
∴配得紫色的概率＝，
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）
A．1：3B．1：4C．1：2D．1：9
【分析】根据平行四边形得出AD∥BC，可证△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFE∽△CFB，
∵AE：DE＝1：2，
∴AE：AD＝1：3＝AE：BC，
∴△AFE与△CFB的相似比为1：3，
∴S△AEF：S△BCF＝1：9．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第
一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第
一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是　1　．
【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．
【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1　＜　x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】先判断出点A、B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断．
【解答】解：∵k＝2024＞0，y1＞y2＞0，
∴点A、B在第一象限，且在同一象限内，y随x的增大而减小，
∴x1＜x2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．
11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是　4.5　米．
【分析】根据题意可得∠APB＝∠CPD，根据垂直定义可得∠ABD＝∠CDB＝90°，从而可证△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝4.5，
∴该古城墙的高度CD是4.5m，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为　（10，12）　．
【分析】根据点B、B′的坐标求出△ABC和△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B ′的坐标分别为（8，2）、（16，4），
∴△ABC和△A′B′C′的位似比为1：2，
∵点A的坐标为（5，6），
∴点A′的坐标为（5×2，6×2），即（10，12），
故答案为：（10，12）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．
13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为　5　cm．
【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB
的两条对角线，则根据菱形的面积＝AB×OC求解即可．
【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形．
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，
∴AB×OC＝×2×OC＝5，
解得OC＝5（cm）．
故答案为：5．
【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．
三、解答题（共48分）
14．（12分）解方程：
（1）2x2+3＝﹣7x；
（2）x2﹣6x+2＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：2x2+7x+3＝0，
这里a＝2，b＝7，c＝3，
∵Δ＝49﹣24＝25＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣；
（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣2，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
开方得：x﹣3＝±，
解得：x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；
（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．
【分析】（1）设另一个实数根为m，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1+m＝4，求出m的值即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β＝4，αβ＝c+3，把变形为，然后代入即可．
【解答】解：（1）设关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0另一个实数根为m，
根据题意得：﹣1+m＝4，
∴m＝5，
即另一个实数根为5；
（2）∵方程的两个不相等的实数根为α和β，
∴α+β＝4，αβ＝c+3，
∴，
解得c＝﹣4或1，
当c＝﹣4时，Δ＝20＞0；
当c＝1时，Δ＝0（不符合题意，舍去）．
综上可得，c的值为﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有　20　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为　72　度，图中m的值为　40　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男女1女2男女1、男女2、男
女1男、女1女2、女1
女2男、女2女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；
（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．
【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，
∴∠ADC＝35°+35°＝70°；
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
∵AD＝3，BD＝5，
∴＝，
解得：AC＝2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．
18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，6）代入可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，过D作DF⊥x轴于F，求得CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论；
（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，求得直线OD
的解析式为y＝x，设直线AP的解析式为y＝x+b，得到直线AP的解析式为y＝x+，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）作AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，6）可知，m＝﹣6，AB＝6，OB＝1．
又∠ACO＝45°，AB＝CB，
∴OC＝5．
即C（5，0），
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；
（2）设直线AC与y轴交于E，
由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
∴E（0，5），C（5，0），
∴OC＝OE＝5，
过D作DF⊥x轴于F，
∴CF＝DF，
设OF＝x，则CF＝5﹣x，
∴OD2＝OF2+DF2＝x2+（5﹣x）2，CD＝CF＝（5﹣x），
∵CE＝OC＝5，
∴DE﹣CE﹣CD＝5﹣（5﹣x）＝x，
∵AC＝AB＝6，
∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x，
∵∠AOD＝∠OED＝45°，∠ADO＝∠ODE，
∴△ADO∽△ODE，
∴，
∴OD2＝AD•DE，
∴x2+（5﹣x）2＝（x）×x，
解得x＝，
∴OF＝，DF＝5﹣＝，
∴；
（3）过A作AP∥OD交x轴于P，
则△ODP的面积与△AOD的面积相等，
∵；
∴直线OD的解析式为y＝x，
∴设直线AP的解析式为y＝x+b，
∵点A（﹣1，6），
∴6＝﹣+b，
∴b＝，
∴直线AP的解析式为y＝x+，
当y＝0时，x＝﹣，
∴P（﹣，0），
∴OP＝，
当点P在x轴的正半轴上时，P（，0），
综上所述，P（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是　2023　．
【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把ab﹣2024a﹣2024b变形为ab﹣2024（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
∴ab﹣2024a﹣2024b＝ab﹣2024（a+b）＝﹣1﹣2024×（﹣1）＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的
两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝　
　．
【分析】由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，先利用勾股定理计算出AC＝2，则AD＝2﹣2，所以AE＝2﹣2，再计算出BE＝6﹣2，然后计算的值．【解答】解：由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝2﹣2，
∴AE＝2﹣2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为　或　．
【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
当△APD与△ABC相似时，
∵点D始终在边AC上，
根据折叠PB＝PD，
设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，
∴分两种情况：
①△APD∽△ABC，
此时∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
②△APD∽△ACB，
此时∠APD＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
综上，AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为　5　．
【分析】过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，利用相似三角形的判定与性质求得线段DE的长度，则点C的坐标可得，利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得点B坐标，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，如图，
设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，
∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝mn．
∵DE⊥OA，CF⊥OA，
∴DE∥CF，
∴△ACF∽△ADE，
∴，
∵AC：CD＝2：3，
∴AC：AD＝2：5，
∴，
∴CF＝m．
∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴C（m，n），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+n．
令y＝0，则x+n＝0，
∴x＝m，
∴B（m，0）．
∴OB＝m．
∵S△OBD＝，
∴OB•OE＝，
∴m•n＝，
∴mn＝5，
∴k＝mn＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．
【分析】根据正方形的性质得点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，进而得点D
，点E，则AD＝，CE＝，BE＝，BD＝，再根据△DOE 的面积为4，得3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，由此求出k＝3，则点D （3，1），点E（1，3），在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，根据点E，M关于OC对称，得当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．然后在Rt△MBD中，由勾股定理求出MD的长即得PE+PD的最小值．
【解答】解：∵四边形OABC为正方形，且边长为3，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，AB⊥OA，BC⊥OC，∠B＝90°，
∴点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，
∵点D，E在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴AD＝，CE＝，
∴BE＝BC﹣CE＝，BD＝AB﹣AD＝，
∵△DOE的面积为4，
∴S△DOE＝S正方形OABC﹣S△OAD﹣S△BDE﹣S△OCE＝4，
∴3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，
整理得：，
解得：k＝3，或k＝﹣3（不合题意，舍去），
∴点D（3，1），点E（1，3），
∴AD＝＝1，CE＝1，
∴BD＝2，BE＝2
在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，如图所示：
∵BC⊥OC，CM＝CE＝1，
∴点E，M关于OC对称，
∴当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．
在Rt△MBD中，BD＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
由勾股定理得：MD＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图形，利用轴对称求最短路线，理解理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握利用轴对称求最短路线的方法与技
巧是解决问题的关键．
二、解答题（共30分）
24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
【分析】（1）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x （元/件）的函数关系式；
（2）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解（1）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；
（2）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，
解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为90元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；
【尝试应用】
（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连
结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．
【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，进而证明△EBF∽△FBC，得出BC＝，即可求解；
（3）过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，证明△ECM∽△BCE，得出EM＝16，继而证明△AFE∽△CFM，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DCB，
∴△ABD∽△DBC，
∴，
∴BD2＝BA•BC；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠DFC＝∠FCB，∠EFB＝∠DFC，
∴∠EFB＝∠FCB，
∴△EBF∽△FBC，
∴，
解得：BC＝，
∴AD＝；
（3）解：过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，
∵∠AEF+∠CEF+∠DEC＝180°，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，
∴∠CEF＝180°﹣∠AEF﹣∠DEC，∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠CEF＝∠CBE，
∵CM∥AD，
∴∠DEC＝∠ECM，
∵∠DEC＝∠DCE，
∴∠ECM＝∠DCE，
∴△ECM∽△BCE，
∴，
∵BE＝12，
∴EM＝16，
∵EF＝10，
∴FM＝16﹣10＝6，
∵CM∥AD，
∴△AFE∽△CFM，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的
关键．
26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存
在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；
（3）分两种情况：当点M位于∠OCC′内部时，延长CN交反比例函数于M；当点M 位于∠O′CC′外部时，作O′N'⊥CM'于N′，连接NN′，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，
解得：k＝，m＝8，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣3，反比例函数的表达式为y＝；。