2024年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷+答案解析

2024年江苏省宿迁市沭阳县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.实数的相反数是( )
A. B. C. 3 D.
2.下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为万千米的月球.将384000用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，则( )
A.
B. 3
C.
D.
7.若k为任意整数，则的值总能( )
A. 被2整除
B. 被3整除
C. 被5整除
D. 被7整除
8.如图，直角三角形ACB中，两条直角边，，将绕着
AC中点M旋转一定角度，得到，点F正好落在AB边上，DE和AB交
于点G，则AG的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______.
10.小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，这组数据的众数为______.
11.分解因式：______.
12.已知a为正整数，点在第一象限中，则______.
13.在中，若两直角边长为6cm、8cm，则它的外接圆的面积为______.
14.在中，若，则的度数是______.
15.关于x的分式方程有增根，则______.
16.已知二次函数，当时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是______.
17.如图，与位于平面直角坐标系中，
，，，若，反比例函数
恰好经过点C，则______.
18.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上，点F在边CD上，，则面积的最小值为______.
三、解答题：本题共10小题，共96分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.本小题8分
计算：
20.本小题8分
先化简，再求值：，其中x是方程的根.
21.本小题8分
4月23日是世界读书日.为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学
类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查
结果绘制成如图统计图不完整
请根据图中信息解答下列问题：
求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值.
请将条形统计图补充完整温馨提示：请画在答题卷相对应的图上
若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数.
22.本小题8分
“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．
甲每次做出“石头”手势的概率为____；
用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
23.本小题10分
如图，反比例函数的图象经过点和点B，点B在点A的下方，AC平分，交x 轴于点
求反比例函数的表达式．
请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．要求：不写作法，保留作图痕迹
线段OA与中所作的垂直平分线相交于点D，连接求证：
24.本小题10分
一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东方向上.
求轮船在B处时与小岛P的距离.
已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由.
25.本小题10分
如图，在中，O是AC上异于点A，的一点，恰好经过点A，B，于点D，且AB 平分
判断BC与的位置关系，并说明理由.
若，，求的半径长.
26.本小题10分
某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量
千克与销售价格元/千克存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格元/千克5040
日销售量千克100200
试求出y关于x的函数表达式.
设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，
日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
27.本小题12分
据图回答下列各题.
问题：如图1，在中，，点D是BC边上一点不与B，C重合，将线段AD绕点A
逆时针旋转得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为______.
探索：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，
请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论.
应用：如图3，在四边形ABCD中，，若，，求AD的长.
28.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中，
求该抛物线的表达式；
点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；
在的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.求出所有使得以QF为腰的是等腰三角形的点Q的坐标.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：的相反数是3，
故选：
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．2.【答案】B
【解析】解：A选项，的函数值随着x增大而增大，
故A不符合题意；
B 选项，的函数值随着x增大而减小，
故B符合题意；
C选项，在每一个象限内，的函数值随着x增大而减小，
故C不符合题意；
D选项，在每一个象限内，的函数值随着x增大而增大，
故D不符合题意，
故选：
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．3.【答案】D
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
故选：
利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标．
本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
4.【答案】B
【解析】解：，
故选：
利用科学记数法表示大数．
本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表达形式．
5.【答案】D
【解析】解：A，，故A选项错误，不合题意；
B，，合并同类项结果错误，故B选项错误，不合题意；
C，，故C选项错误，不合题意；
D，，故D选项正确，符合题意；
故选：
分析：根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、幂的乘方法则，逐项计算，即可得出正确答案．
本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式、幂的乘方，熟练掌握各运算法则并正确计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在中，，，
故选：
根据正切函数的定义求解．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
本题考查了因式分解的应用，能求出是解此题的关键．
【解答】
解：
，
为任意整数，
的值总能被3整除，
故选：
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接CF，
，，
，
点M是AC中点，
，
将绕着AC中点M旋转一定角度，得到，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，，
，
，
，
故选：
由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，，
可得，可得，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF 的长，即可求AG的长．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，求AF的长是本题的关
键．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10.【答案】160
【解析】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
11.【答案】
【解析】解：
故答案为：
先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
12.【答案】1
【解析】解：点在第一象限，
，
，
又a为正整数，
故答案为：
根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是，第二象限
内的点的坐标特征是，第三象限内的点的坐标特征是，第四象限内的点的坐标特征是
13.【答案】
【解析】解：，，
，
外接圆的半径，
故答案为：
先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半可得出外接圆的半径，进而得出其面积．
本题主要考查了三角形的内切圆与外心，勾股定理，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．14.【答案】
【解析】解：，
，，
即，，
，，
故答案为：
先利用非负数的性质得到，，即，，则根据特殊角的
三角函数值得到、的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．15.【答案】
【解析】解：方程两边同乘得：，
由题意得：是该整式方程的解，
，
解得：，
故答案为：
先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
16.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】
解：二次函数中，，
此函数开口向下，
当时，函数值y随x的增大而减小，
二次函数的对称轴，即，
故答案为：
17.【答案】
【解析】解：过点C作轴，垂足为E，
，，，，
，，
在中，即，
，
在中，即，，
，即，
，
点，
故答案为：
解含角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出的度数，求出点C的坐标，即可求得k 的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标．
18.【答案】
【解析】解：如图所示，
将绕点A顺时针旋转得到，
则，，
，，
，
，
在，中，
，
≌，
，
，
设，，则，，，，
在中，，
，
当时，，
的最小值为，
故答案为：
将绕点A顺时针旋转得到，证明≌，则，
，设，，则，在中，由得出，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数与图形问题，构造二次函数关系式是解题的关键．
19.【答案】解：
【解析】根据实数的计算法则进行计算．
本题主要考查实数的运算、零指数幂的知识、绝对值的知识、锐角三角函数的知识，难度不大．
20.【答案】解：
，
是方程的根，
，，
时，原分式无意义，
，
当时，原式
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：被抽查的学生人数是人，
，
扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
人，
补全的条形统计图如图所示．
人，
估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【解析】将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
22.【答案】解：
画树状图得：
共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是
【解析】【分析】
本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】
解：甲每次做出“石头”手势的概率为；
故答案为：；
见答案.
23.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
解：如图，直线m即为所求．
证明：平分，
，
直线m垂直平分线段AC，
，
，
，
【解析】【分析】
直接把点A的坐标代入求出k即可；
利用尺规作出线段AC的垂直平分线m即可；
证明，可得结论．
本题考查作图-基本作图，反比例函数的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：过点P作AB的垂线，垂足为M，
由题知，
，，
所以，
所以海里，
答：轮船在B处时与小岛P的距离是12海里．
有触礁的危险．
在中，
，
因为，，
所以，
则，
因为，
所以若轮船继续向东航行，有触礁的危险．
【解析】过点P作AB的垂线，求出角度后，利用等角对等边得出即可解决问题．求出点P到AB的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，过点P作AB的垂线构造出直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：与相切，理由如下：
如图，连接OB，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
，，，
，
，
，
，
，
，
的半径长为
【解析】连接OB，证明，进而可以解决问题；
利用勾股定理求出AD，然后根据平行线分线段成比例定理即可求出半径．
本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，平行线分线段成比例定理，切线的判定，平行线的性质，解决本题的关键是掌握切线的判定方法．
26.【答案】解：设y关于x的函数表达式为
将，和，分别代入，得：，
解得：，
关于x的函数表达式是：
当时，在的范围内，W取到最大值，最大值是
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【解析】设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
根据每日总利润=每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
27.【答案】
【解析】解：问题：结论：，
理由如下：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
探索：结论：，
理由如下：连接CE，如图所示：
在中，，，
则，
由得，≌，
，，
，
，
在中，，
又，
；
应用：过点A作，使，连接CE，DE，如图所示：
即在中，，，
则，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
问题：证明≌，根据全等三角形的性质解答；
探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定
理计算即可；
应用：过点A作，使，连接CE，DE，证明≌，得到，根据勾股定理计算即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
28.【答案】解：将点，，代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为：；
与x轴交于点A，B，
当时，，
解得：，，
，
，
设直线AC的解析式为，
，
解得：，
直线AC的解析式为，
如图所示，过点P作轴于点E，交AC于点Q，
设，则，
，
，，
，
，，
，
，
，
当时，PD取得最大值为，，
；
抛物线，
将该抛物线向右平移5个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到，
平移后的抛物线与y轴交于点F，令，则，
，
，
为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，
则Q点的横坐标为，
设，
，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：，
综上所述，Q点的坐标为或或
【解析】待定系数法求二次函数解析式即可求解；
直线AC的解析式为，过点P作轴于点E，交AC于点Q，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到
，，勾股定理分别表示出，，进而分类讨论即可求解．
本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。