全国高中数学联赛竞赛大纲稿及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容
一、平面几何
1、数学竞赛大纲所确定的所有内容; 补充要求：面积和面积方法;
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点;到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心;三角形内到三边距离之积最大的点--重心;
4、几何不等式;
5、简单的等周问题;了解下述定理：
在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大; 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大;
在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小; 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小;
6、几何中的运动：反射、平移、旋转;
7、复数方法、向量方法; 平面凸集、凸包及应用;
二、代数
1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期,带绝对值的函数的图像;
三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式;
2、第二数学归纳法;
递归,一阶、二阶递归,特征方程法; 函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程;
3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用;
4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用;
5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式;
6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理;
7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质;
三、立体几何
1、多面角,多面角的性质;三面角、直三面角的基本性质;
2、正多面体,欧拉定理;
3、体积证法;
4、截面,会作截面、表面展开图;
四、平面解析几何
1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用;
2、二元一次不等式表示的区域;
3、三角形的面积公式;
4、圆锥曲线的切线和法线;
5、圆的幂和根轴;
五、其它
抽屉原理; 容斤原理; 极端原理; 集合的划分; 覆盖;
数学竞赛中涉及的重要定理
1、第二数学归纳法：
有一个与自然数n有关的命题,如果：
1当n＝1时,命题成立；
2假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n＝k+1时,命题也成立;那么,命题对于一切自然数n来说都成立;
2、棣美弗定理：
设复数z=rcosθ+isinθ,其n次方z^n = r^n cosnθ+isinnθ,其中n为正整数;
3、无穷递降法：
证明方程无解的一种方法;其步骤为：
假设方程有解,并设X为最小的解;从X推出一个更小的解Y;从而与X的最小性相矛盾;所以,方程无解;
4、同余：
两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a ≡ b mod m ,
读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余; 比如26 ≡ 14 mod 12
定义设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|a-b,则称a与b关于模m同余,记作a≡bmod m,读作a同余于b模m.;有如下事实：
1若a≡0mod m,则m|a；2a≡bmod m等价于a与b分别用m去除,余数相同.
5、欧几里得除法：
即辗转相除法; 详见高中数学课标人教B版必修三
6、完全剩余类：
从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系;例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系;可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类;
7、高斯函数：
fx=ae-x-b^2/c^2 其中a、b与c为实数常数 ,且a > 0.
8、费马小定理：
假如p是质数,且a,p=1,那么 a^p-1 ≡１mod p 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的p-1次方除以p的余数恒等;
9、欧拉函数：
φ函数的值：通式：φx=x1-1/p11-1/p21-1/p31-1/p4…..1-1/pn,其中p1, p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数;φ1=1唯一和1互质的数就是1本身;
若n是质数p的k次幂,φn=p^k-p^k-1=p-1p^k-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质;
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φmn=φmφn;
特殊性质：当n为奇数时,φ2n=φn, 证明于上述类似;
10、孙子定理：
此定理的一般形式是设m = m1 ,… ,mk 为两两互素的正整数,m＝m1,…mk ,m＝miMi,i＝1,2,… ,k ;则同余式组x≡b1modm1,…,x≡bkmodmk的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk modm;式中M'iMi≡1 modmi,i＝1,2,…,k ;
11、裴蜀定理：
对任何整数a、b和它们的最大公约
数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程称为裴蜀等式：若a,b是整数,且a,b=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立;
它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
11、梅涅劳斯定理：
如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、
E 、
F 且D 、E 、F 三点共线,则FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理： 如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上
有点D 、E 、F,且满足
FB AF EA CE DC BD ••=1,则D 、E 、F 三点共线; 13、塞瓦定理：
设O 是△ABC 内任意一点,AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、
M,则1=••PA CP NC BN MB AM
14、塞瓦定理的逆定理：
设M 、N 、P 分别在△ABC 的
边AB 、BC 、CA 上,且满足1=••PA CP NC BN MB AM ,则AN 、BP 、CM 相交于一点;
15、广勾股定理的两个推论：
推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和;
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c,对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c
则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2
222221c b a -+
16、三角形内、外角平分线定理：
内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2,则有AC AB DC
BD = 外角平分线定理：如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D,
则有
AC AB DC BD = 17、托勒密定理：
四边形ABCD 是圆内接四边形,则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD
18、三角形位似心定理：
如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P
19、正弦定理、
在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===R 为△ABC 外接圆半径
余弦定理：
a 、
b 、
c 为△ABC 的边,则有：
a 2=
b 2+
c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;
20、西姆松定理：
点P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC,PE ⊥AC,PF ⊥AB,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,此直线称为西姆松线;
21、欧拉定理：
△ABC 的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2
-2Rr.
22、巴斯加线定理：
圆内接六边形ABCDEF不论其六顶点排列次序如何,其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线;。