版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
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12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
A.asin A＝bsin B
B.acos A＝bcos B
√C.asin B＝bsin A
D.acos B＝bcos A
由正弦定理sina A＝sinb B，得 asin B＝bsin A，故选 C.
1 2 3 246
2.在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是 答案 解析
15
反思与感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina A＝sinc C， 每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
1 2 3 248
4.在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝π4，则 A＝__π3_或__23_π__.
答案 解析
2
由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝
3·2 2
＝
23，
又 A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝π3或23π.
1 2 3 249
规律与方法
1.定理的表示形式：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R， 或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0). 2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方 面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也 可以化角为边，转化为代数问题来解决.
各自等于什么？ 答案
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝c.
5
思考2
在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C还成立吗？课本是如何 说明的？ 答案
在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C仍然成立，课本采用 边 AB 上的高 CD＝bsin A＝asin B 来证明．
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B. ∴CD＝bsin A＝asin B.∴sina A＝sinb B. 同理，sinb B＝sinc C.故sina A＝sinb B＝sinc C.
11
反思与感悟
(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可 以使你理解更深刻，记忆更牢固. (2)要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 都对应 CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨 迹，可以提高我们的分析解题能力.
6
梳理
在任意△ABC 中，都有sina A＝sinb B＝sinc C，证明方法除课本提供的方法 外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．
7
知识点二 正弦定理的呈现形式
b
c
a 1.sin
A＝
sin B
＝
sin C
＝2R(其中
R 是△ABC外接圆的半径 )；
2.a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
3.sin A＝2aR，sin B＝
b 2R
，sin C＝
c 2R
.
8
知识点三 解三角形 一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的 元素 .已知三角 形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 .
9
题型探究
10
类型一 定理证明 例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理. 证明
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知：
16
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值.
解答
根据三角形内角和定理， A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得 b＝assiinnAB＝18sisnin4560°°＝9 6.
17
类型三 边角互化 命题角度1 化简证明问题 例3 在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋ c(sin A－sin B)＝0. 证明 由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>0.代入得 左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－ sin Csin B)＝0＝右边， 所以等式成立.
30
本课结束
31
第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理(一)
1
学习目标
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练 Nhomakorabea3
问题导学
4
知识点一 正弦定理的推导
思考1
如图，在 Rt△ABC 中，sina A、sinb B、sinc C
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
A.asin A＝bsin B
B.acos A＝bcos B
√C.asin B＝bsin A
D.acos B＝bcos A
由正弦定理sina A＝sinb B，得 asin B＝bsin A，故选 C.
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2.在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是 答案 解析
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反思与感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina A＝sinc C， 每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
1 2 3 248
4.在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝π4，则 A＝__π3_或__23_π__.
答案 解析
2
由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝
3·2 2
＝
23，
又 A∈(0，π)，a>b，∴A>B，∴A＝π3或23π.
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规律与方法
1.定理的表示形式：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R， 或a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C(k>0). 2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方 面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也 可以化角为边，转化为代数问题来解决.
各自等于什么？ 答案
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝c.
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思考2
在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C还成立吗？课本是如何 说明的？ 答案
在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C仍然成立，课本采用 边 AB 上的高 CD＝bsin A＝asin B 来证明．
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B. ∴CD＝bsin A＝asin B.∴sina A＝sinb B. 同理，sinb B＝sinc C.故sina A＝sinb B＝sinc C.
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反思与感悟
(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可 以使你理解更深刻，记忆更牢固. (2)要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 都对应 CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨 迹，可以提高我们的分析解题能力.
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梳理
在任意△ABC 中，都有sina A＝sinb B＝sinc C，证明方法除课本提供的方法 外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．
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知识点二 正弦定理的呈现形式
b
c
a 1.sin
A＝
sin B
＝
sin C
＝2R(其中
R 是△ABC外接圆的半径 )；
2.a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
3.sin A＝2aR，sin B＝
b 2R
，sin C＝
c 2R
.
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知识点三 解三角形 一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的 元素 .已知三角 形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 .
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题型探究
10
类型一 定理证明 例1 在钝角△ABC中，证明正弦定理. 证明
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知：
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跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值.
解答
根据三角形内角和定理， A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
根据正弦定理，得 b＝assiinnAB＝18sisnin4560°°＝9 6.
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类型三 边角互化 命题角度1 化简证明问题 例3 在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋ c(sin A－sin B)＝0. 证明 由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>0.代入得 左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－ sin Csin B)＝0＝右边， 所以等式成立.
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本课结束
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第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理(一)
1
学习目标
1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练 Nhomakorabea3
问题导学
4
知识点一 正弦定理的推导
思考1
如图，在 Rt△ABC 中，sina A、sinb B、sinc C