云南省昆明市第一中学2020-2021学年高三第六次考前基础强化数学(理)试题

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云南省昆明市第一中学2024届高三上学期第六次考前基础强化数学试题

云南省昆明市第一中学2024届高三上学期第六次考前基
础强化数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．CD
【分析】根据单调性可判断AB；分离常数可判断
可判断C；利用复合函数性质可判断()(ln
f x x
=
则()()min
00f x f ==，故当且仅当0x =时，()f x 取得最小值0.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

昆明第一中学届高中新课标高三第六次考前基础强化试卷理科数学

昆明第一中学2016届高中新课标高三第六次考前基础强化试卷理科数学昆明一中第六期月考参考答案（理科数学）命题、审题组教师丁茵、顾先成、杨仕华、鲁开红、张兴虎、张波、李建民、张宇甜、彭力一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 解析：因为|2,0,2,4N y y x x M ==∈=，所以0,2M N =I ，选A ．2. 解析：由于1i 11i 1i 22a a az +-+==+-，因为z 为纯虚数，所以1a =，选C ． 3.解析：因为29a =，216b =，所以22225c a b =+=，离心率53c e a ==，选D ． 4. 解析：由图得，(0.010.0180.012)101a b ++++⨯=，得0.06a b +=，选C ．5. 解析：41x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为4214(1)r r rr T C x -+=-⋅，令420r -=得2r =，则常数项为224(1)6C -=，选D ．6. 解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以p q ⌝∧⌝为真命题，选D ．7. 解析：由三视图可知，该几何体的上半部分是半径为1的球，表面积为4π；下半部分是底面半径为2，高为4的圆柱的一半，表面积为2114422224161222πππ⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.所以该几何体的表面积为1616π+，选C.8. 解析：因为3S 是12a 与2a 的等差中项，所以31222S a a =+，即21120a q a q +=，又因为10,a q ≠所以12q =-，选B ． 9. 解析：1i =时，()()11xh x x e =+；2i =时，()()22xh x x e =+；3i =时，()()33x h x x e =+；L ；2016i =时，()()20162016x h x x e =+，循环结束，选B.10. 解析：抛物线C 的标准方程为21(0)x y a a =≠，焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，过点A 作准线14y a=-的垂线，垂足为1A ，1AA 交x 轴于点2A ，根据抛物线的定义得1AA AF =.由梯形中位线定理得线段AF 的中点到x 轴的距离为2111111()22442d OF AA AA AF a a ⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭，故以线段AF 为直径的圆与x轴的位置关系是相切，选C ．11. 解析：令219y x =-,)1(2+=x k y ，其示意图如图:()1,22A若0k >,要满足21y y ≤,则3b =,此时1a ≤.从而22211k ≥=+. 若0k <,要满足21y y ≤,则3a =-.而1b <-,不满足2b a -≥. 所以2k ≥，选A ．12. 解析：设矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA OB OC OD ===，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起时，无论所得的二面角多大，总有四面体A BCD -的各顶点到点O 的距离为52，故四面体A BCD -的外接球的半径为52，该球的体积为345125()326ππ⨯=，选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

昆明市第一中学2020届高三摸底考试及其答案

4
2
②当 a 1 时，令 g '(t) 1 4a 0 得： t ( 1 ,1) ，即 g(t) 在 t ( 1 ,1) 单调递减.
4
t
4a
4a
此时， g(t) 0 恒成立，故存在 t (1 ,1) 使得 g(t) 0 有解. 2
综上： a 1 4
解法四：（特值验证）
第二套 - 2
2020
届高三摸底考试理数）若存在
x0
(0,1)
，满足
ln
x0 1
2
2a x0
1
，则
实数 a 的取值范围是（）.
A.
1 4
,
B.
1 4
,
C.
,
1 4
D.
,
1 4
答案：A.
解析：（陕西）
第二套 - 1
解法一：【官方解答】
设 f (x)= ln(x 1) ， g(x)=2a(x 1) ln 2 ，则它们函数图象的一个公共点为 A (1, ln 2) ，
2
由题知：存在 t (1 ,1) 使得 ln t 4a t 1 .即 g(t) ln t 4a t 1 0 有解.由于 g(1) 0
2
而 g '(t) 1 4a 单调递减，所以 g '(t) 1 4a t
①当 a 1 时， g '(t) 0 ，此时 g(t) 在 t (1 ,1) 单调递增，所以 g(t) 0 恒成立，舍去.
3
1
2
3
2 ，故 e
3 1. 2
16.（昆明市第一中学 2020 届高三摸底考试理数）在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB 平面
ABC , △PAB 和△ABC 均为边长为 2 3 的等边三角形，若三棱锥 P ABC 的四个顶点都在同一

2021届云南省昆明市第一中学高三第六次复习检测理科综合试卷及答案

绝密★启用前昆明市第一中学2021届高中新课标高三第六次考前基础强化理科综合试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上可能用到的相对原子质量:H1B11C12N14O16Na23C135.5Cr52第I卷(选择题，共126分)一、选择题(本题包括13小题，每小题6分，共78分。

每小题只有一个选项符合题意)1.下列关于动物细胞膜流动镶嵌模型的分析,错误的是A.①是磷脂，由C、H、O、P四种元素构成B.若②是胆固醇，血液中的该物质参与脂质的运输C.③是水通道蛋白，运输水分子时不需要消耗ATPD.④是糖蛋白，可参与细胞间的信息交流，具有特异性2.端粒是染色体两端一段特殊序列的DNA。

人体细胞中的端粒会随着染色质复制次数增加而逐渐缩短;在干细胞、生殖细胞和癌细胞中存在被激活的端粒酶，能将变短的端粒重新加长。

下列叙述正确的是A.人体每个细胞的端粒都会逐渐缩短B.线粒体中的DNA也存在端粒C.端粒酶催化磷酸二酯键的形成D.变短的端粒加长需要核糖核苷酸3.下列有关生物体遗传物质的叙述，错误的是A.T2噬菌体的遗传物质中嘌呤数一定等于嘧啶数B.大肠杆菌中的RNA也能携带遗传信息并作为遗传物质C.所有生物的遗传物质都只有一种D.DNA分子的双螺旋结构使其比RNA更适合作遗传物质4.野生型豌豆经X射线照射后发生突变的个体统称为突变体，有些突变体比野生型更适应环境。

下列相关叙述错误的是A.有利突变体可能是豌豆主动适应环境产生的B.突变体经再次辐射后也可能变为野生型C.野生型变为突变体可能是发生了染色体变异D.可用X射线照射萌发的豌豆种子获得突变体5.新冠肺炎是一种传染性很强的疾病，下列分析正确的是A.新冠病毒可通过货物包装传播，说明该病毒可在货物包装上增殖B.病毒侵人患者体内时非特异性免疫未发挥作用C.新冠病毒在患者肺部细胞内增殖使其裂解属于细胞凋亡D.易感人群即使注射疫苗也仍然有被感染的可能性6.一个在结构和功能上都维持相对稳定的森林生态系统中，能量的输入和输出处于动态平衡。

云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学(理科)试题

2．已知集合A= ，集合B= ，则A B=（）
A．[0，1]B．[- 1，1]C．[-1，0)D．[- 1，0]
3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（）
A． B． C． D．1
4．我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图
二、填空题
13．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是__________.
14．已知，则在方向上的投影为_________.
15．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，则实数λ的值为_______
16．如图，正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E、F，且EF ，给出下列四个结论:
3．C
【分析】
因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为利用点到直线的距离公式，即可得解.
【详解】
因为抛物线的焦点为，
双曲线的渐近线为，
所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，
又因为，所以，
故选：C.
【点睛】
本题考查了抛物线基本量的计算，考查双曲线的渐近线和距离公式，属于基础题.
4．C
【分析】
由等高条形图的特点和性质进行判断，
【详解】
由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，
A．40B．30C．20D．10
6．函数的单调递减区间是（）
A． B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）

云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（）A．B．C．D．2.设，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若函数在处取得极值，则（）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知各项均为正数的等比数列，满足，若存在不同两项使得，则的最小值为（）A ．9B．C．D．5. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量随时间（单位：年）变化的数学模型：表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的，据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：）A ．2796年B ．3152年C ．3952年D ．4480年6.等差数列中的通项为，其前项和为，若是的等差中项，则的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．87. 已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A．B．C．D．8. 已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式恒成立的是( )A．B．C．D．9.已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（）A ．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为B ．若曲线的离心率，则C ．若，则曲线上不存在点，使得D ．若为上一个动点，则面积的最大值为10.已知函数的部分图像如图所示，令，则下列说法正确的有（）云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题(1)云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．的最小正周期为B．的对称轴方程为C ．在上的值域为D ．的单调递增区间为11. 下列四个表述中，正确的是（）A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；B．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；C ．具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；D ．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大.12. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（）A ．若点，则的最小值是4B．C ．若，则直线的斜率为D．的最小值是913. 2021年7月1日是中国共产党成立100周年，小明所在的学校准备举办一场以音乐为载体的“学史知史爱党爱国”歌曲接龙竞赛.该竞赛一共考察的歌曲范围有10首，由于7月学考临近，作为参赛选手的小明没有时间学习全部歌曲，只能完整学会这其中的8首.已知小明完整学会的歌曲成功接上的概率为0.9，没有完整学会的歌曲成功接上的概率为0.4.比赛一共考察10段歌词，每段歌词选自的歌曲均是考察范围内的歌曲，且考察不同歌曲的概率均相同，每首歌曲均可以重复考察.已知每答对一段歌词得10分，答错不扣分.设小明得分是x 分，则P （x ≥20）=___________（用类似的形式表示），E （x ）=___________.14. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：①存在，使得成等差数列；②存在，使得成等比数列；③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确结论的序号是________.15. 已知，则________.16. ，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值.17. 设的内角的对边分别为，已知的面积为．(1)求；(2)延长至,使，若，求的最小值．18. 如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．(1)求证：平面平面；(2)求该几何体的体积．19. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若学生甲先回答A类问题，，，，，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．20. 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B,C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下：A类第x次12345分数y（满足150）145839572110，；B类第x次12345分数y（满足150）85939076101，；C类第x次12345分数y（满足150）8592101100112，；（1）经计算已知A，B的相关系数分别为，．，请计算出C学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数，线性回归直线方程，，．21. 在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回．(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为．①求红球的个数;②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为,求随机变量的分布列和数学期望．(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于,求盒子中球的总个数的最小值．。

云南省昆明市第一中学高三第六次考前基础强化文数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2}M =，集合2{|,}N y y x x M ==∈，则M N =（）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,4} 【答案】D 【解析】试题分析：{}0,1,4N =，{}M N 0,1,2,4∴⋃=，故选D. 考点：集合的并集. 2.12||2ii +=-（） A ．35 B ．1 C ．53D ．2【答案】B考点：复数的四则运算.3.双曲线22:199x y C -=的离心率为（）A ．2 B ．2 C D ．2【答案】C 【解析】试题分析：2323,2333,3,322==∴=+=∴==e c b a ，故选C. 考点：双曲线的性质.4.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点M ，则点M 到正方体的中心的距离不大于1的概率为（） A ．18π B ．12π C ．6π D ．3π 【答案】C 【解析】试题分析：62221343ππ=⨯⨯⨯，故选C.考点：几何概型. 5.已知命题1:,2p x R x x ∀∈+≥；命题:[0,]2q x π∃∈，使sin cos x x +=中为真命题的是（）A ．p q ⌝∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∧ 【答案】A考点：逻辑联结词.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若358a a +=，则7S =（） A ．28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A 【解析】试题分析：173577()7()2822a a a a S ⨯+⨯+===，故选A.考点:等差数列前n 和公式.7.已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，若||4AF =，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B【解析】试题分析：)0,1(F ，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为3242=+，故选B. 考点：抛物线的定义.8.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A ．420π+ B ．1612π+ C ．1616π+ D ．1620π+【答案】C考点：球的表面积、圆柱的表面积.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，若221sin sin sin sin sin sin 2A C C ABC +-=，则sin A =（）A ．14 B ．34C【答案】D 【解析】试题分析：2b ac =，2212ac c a bc +-=，22212b c a bc ∴+-=，22212a b c bc ∴=+-，1cos 4A ∴=，=∴A sin D. 考点：正弦定理、余弦定理.【易错点晴】要形成固定的认识，一看在三角形中首先要考虑正弦定理、余弦定理；由已知条件中都是三个角的正弦关系并且也有角的正弦值的平方可判断出两个结论：一需要用正弦定理将角的正弦值转化成边，二结合余弦定理去同存异，由此可得41cos =A ，再利用同角三角函数的基本关系式得A sin 的值.10.在如图所示的程序框图中（其中'1()i h x -表示函数()i h x 的导函数），当输入0()xh x xe =时，输出的()i h x 的结果是(2016)xx e +，则程序框图中的判断框内应填入（） A ．2014?i ≤ B ．2015?i ≤ C ．2016?i ≤ D ．2017?i ≤【答案】B考点：算法初步.11. 设函数'()f x 为函数()sin f x x x 的导函数，则函数'()f x 的图象大致为（）【答案】B考点：函数求导.【方法点晴】作为选择题，不一定要像解答题那样正面解答，排除法不失为一种简单的方法．首先从函数的奇偶性可以C ，其次采用特殊值的方式对x 进行赋值，最好是特殊角，可求三角函数值，π=x 是比较好值，由此得出函数值小于0，故排除A ，C ，这样答案就确定了，本题难度中等．12.若关于x (1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ，且2b a -≥，则实数k 的取值范围为（）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．(-∞ 【答案】A 【解析】考点：函数的图象、圆的标准方程.【易错点晴】本题主要考查的是转化与化归思想，这在数学中应用非常广泛，将不等式问题转化成函数图象问题，利用两个函数的位置关系得到满足题意的不等式．再次由于k 的不确定也需要将k 分两种情况：0k <和0k >进行讨论。

云南省昆明市第一中学2020届高中新课标高三第六次考前基础强化数学(理)试题-含答案

M (0,1,1) ,设 BE = a ，则 E(2,0, a) ，
因为 EN = 1 ，所以 EN = 1 ED ，
ND 2
3
所以 N(4 , 2 , 2a) ， 33 3
z
F
E
N
M
设平面 AEN 的法向量为 n1 = ( x1, y1, z1 ) ，由
ìï í
n1
×
AE
=
0
ïîn1 × AN = 0
2
33
6
4
2
K
O
F
2
4
6
1
11. 解析：函数 f (x) 可以看作点 M (x, 2ln x) 与点 N (a, 2a) 之间距离的平方，
2
4
4
2a - 0 1
可将问题转化为曲线 y = 2ln x 上的点到直线 y = 2x 距离平方的最小值为 5 ，所以 f (x0 ) = 5 ，所以
a -1
=- ， 2
复平面内所对应的点的坐标为
(1,
- 1)
，位于第四象限，所以
p2
为真命题；命题
p3
：
z
=
1 i
=
-i
，它的共轭复
数为 z = i ，所以 p3 为假命题；命题 p4 ：设 z1 = a + bi （ a ,b Î R ，且 b ¹ 0 ），
则 z2
= z1 +
1 z1
=
a
+
bi
+
a
1 + bi
=
(a
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6

云南省昆明市第一中学20192020学年高三第六次考前基础强化数学(理)试题

16．已知在半径为3的球面上有四点，若，则四面体体积的最大值为__________．
评卷人
得分
三、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
（1）求A
（2）若，求的取值范围
18．如图所示的几何体中，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，点M，N分别在棱FD，ED上.
（1）若平面MAC，设，求的值；
A． B． C． D．
9．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
10．已知抛物线的焦点为F，准线为，点，线段AF交抛物线C于点B，若，则的面积为（）
A． B．
C． D．2
11．设函数，其中，存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
【分析】
用列举法表示出集合，再求解出不等式的解集为集合，即可计算出的结果.
【详解】
因为集合，，
所以，，
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.
2．C
【解析】
【分析】
根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果.
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填题
13．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为__________．
14．已知满足，则的最小值为__________．
15．已知双曲线的右焦点为F，左右顶点分别为A，B，点P为该双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为__________．

云南省昆明市第一中学高三第六次考前基础强化理数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2}M =，集合{|2,}N y y x x M ==∈，则（） A ．{0,2}M N = B ．{0,2}M N = C ．M N ⊆ D ．M N ⊇【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}|2,0,2,4N y y x x M ==∈=，所以{}0,2M N =，选A ．考点：集合的运算． 2.已知复数1()1aiz a R i+=∈-，若z 为纯虚数，则a 的值为（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C考点：复数的运算与复数的概念．3.双曲线22:1916x y C -=的离心率为（） A ．34 B ．35 C ．43 D ．53【答案】D 【解析】试题分析：因为29a =，216b =，所以22225c a b =+=，离心率53c e a ==，选D ．考点：双曲线的几何性质．4.学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知a b +=（）A ．0.024B ．0.036C ．0.06D ．0.6【答案】C 【解析】试题分析：由图得，(0.010.0180.012)101a b ++++⨯=，得0.06a b +=，选C ．考点：频率直方图的应用．5.41()x x-的展开式中常数项为（） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．6 【答案】D考点：二项式定理的应用． 6.已知命题1:,222xx p x R ∀∈+>；命题:[0,]2q x π∃∈，使1sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】D【解析】试题分析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以p q ⌝∧⌝为真命题，选D ．考点：命题的真假判定．7.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A ．420π+ B ．1612π+ C ．1616π+ D ．1620π+【答案】C考点：几何体的三视图与几何体的表面积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、三棱锥的体积的计算公式，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也是解答的一个易错点．8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S 是12a 与2a 的等差中项，则该数列的公比q =（） A ．-2 B ．12- C ．12D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为3S 是12a 与2a 的等差中项，所以31222S a a =+，即21120a q a q +=，又因为10,a q ≠所以12q =-，选B ．考点：等差数列的性质．9.在如图所示的程序框图中（其中'1()i h x -表示函数1()i h x -的导函数），当输入0()xh x xe =时，输出的()i h x 的结果是(2016)xx e +，则程序框图中的判断框内应填入（） A ．2014?i ≤ B ．2015?i ≤ C ．2016?i ≤ D ．2017?i ≤【答案】B考点：程序框图的应用．10.已知点F 是抛物线2:(0)C y ax a =≠的焦点，点A 在抛物线C 上，则以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定【答案】C 【解析】考点：抛物线的定义与简单的几何性质．11.若关于x (1)k x ≤+的解集为区间[,]a b ，且2b a -≥，则实数k 的取值范围为（）A ．)+∞B ．,)3+∞ C ． D ．(-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：令1y =，)1(2+=x k y ，其示意图如图，(1,A 若0k >，要满足21y y ≤，则3b =，此时1a ≤.从而11k ≥=+若0k <，要满足21y y ≤，则3a =-.而1b <-，不满足2b a -≥.所以k ≥A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及转化的数学思想方法，同时着重考查了数形结合的思想与分类讨论思想的应用，属于基础性试题，本题的解答中把不等式(1)k x ≤+的解集，转化为1y =)1(2+=x k y 图象的交点，作出示意图，分0k >或0k <两种情况，可求解实数k 的取值范围．12.将长、宽分别为4和3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D AC B --等于060，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的体积为（） A ．5003π B ．1256π C ．100π D ．25π 【答案】B考点：二面角的应用及球的体积的运算．【方法点晴】本题主要考查了空间中二面角的应用及空间中直线与平面的位置关系、球的体积的计算，着重考查了空间想象能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，确定将矩形ABCD 沿对角线AC 折起时，无论所得的二面角多大，总有四面体A BCD -的各顶点到点O 的距离为52是解答本题的关键，从而确定外接球的半径，求解球的体积．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则46a a += . 【答案】6 【解析】试题分析：由927S =，得95927S a ==，即53a =，所以46526a a a +==. 考点：等差数列的通项公式及求和公式的应用．14.已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若向量122a e e =-与向量123b e e λ=+共线，则实数λ= . 【答案】32λ=- 【解析】试题分析：因为向量a 与b 共线，所以a kb =，即()121223a e e k e e λ=-=+，化简得()()122310k e k e λ-+--=，所以23010k k λ-=⎧⎨--=⎩，解得2332k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以32λ=-. 考点：向量的运算．15.某港口水的深度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下面是某日水深的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数sin (0,0)y A t b A ωω=+>>的图象，根据以上数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 . 【答案】106sin3+=t y π，240≤≤t ．考点：三角函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了三角函数模型的建立与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础性试题，解答中认真审题、仔细作答是解答的关键．本题的解答中，根据图表中的信息，可确定函数的最小正周期，从而得到6πω=，由3t =时，sin10132A π+=，确定3A =，从而可得函数的解析式．16.若函数22()(4)(5)f x x ax bx =-++的图象关于直线32x =-对称，则()f x 的最大值是 . 【答案】36 【解析】考点：函数的综合应用及函数的图象．【方法点晴】本题主要考查了多项式函数的图象的对称性、求解函数的饿最大值等问题，着重考查了函数的性质和换元法的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据点(2,0)，(2,0)-在函数()f x 的图象上，且()f x 的图象关于直线32x =-对称，确定(1,0)-，(5,0)-必在()f x 图象上，求解,a b 的值，从而确定函数的解析式，再把函数分解为()f x 22(32)(310)x x x x =-+++-，利用换元法求解函数的最值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，23ADC π∠=，E 为AD 边上一点，CE =，1DE =，2AE =，3BEC π∠=.（1）求sin CED ∠的值；（2）求BE 的长.【答案】（1）7；（2）【解析】考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用． 18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，PA PD =，O 为AD 边的中点，点M 在线段PC 上.（1）证明：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若AB ===//PA 平面MOB ，求二面角M OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7．（2）连接AC ，交OB 于点N ，连接MN ，因为PA ∥平面MOB ，所以PA ∥MN ，………6分易知点N 为ABD 的重心，所以13AN AC =，故13PM PC =，………7分因为AB =PA PD ==所以3OB =，2OP =，因为PB = 所以90POB ∠=，即OP OB ⊥，因为二面角M OB C --为锐角，所以二面角M OB C --．………12分考点：平面与平面垂直关系的判定；二面角的求解．19.（本小题满分12分）某商品每天以每瓶5元的价格从奶厂购进若干瓶24小时新鲜牛奶，然后以每瓶8元的价格出售，如果当天该牛奶卖不完，则剩下的牛奶就不再出售，由奶厂以每瓶2元的价格回收处理.（1）若商品一天购进20瓶牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：瓶，n N∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该牛奶的日需求量（单位：瓶），整理得下表：以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，假设商店一天购进20瓶牛奶，随机变量X表示当天的利润（单位：元），求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）660,2060,20n nyn-<⎧=⎨≥⎩（n∈N）；（2）分布列见解析，56.04．考点：求解函数的解析式；离散型随机变量的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长为2，点M 为椭圆E 上一个动点，且||MF 的1. （1）求椭圆E 的方程；（2）设不在坐标轴上的点M 的坐标为00(,)x y ，点,A B 为椭圆E 上异于点M 的不同两点，且直线0x x =平分AMB ∠，试用00,x y 表示直线AB 的斜率.【答案】（1）22+=12x y ；（2）002x y ．因为直线0x x =平分AMB ∠，所以直线MA ，MB 的倾斜角互补，斜率互为相反数.考点：椭圆的标准方程及几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和简单的几何性质的应用及直线与圆锥曲线的综合应用，着重考查了运算能力和转化的思想方法，属于中档试题，本题第二问的解答中直线MA 的方程为00=()y y k x x --，代入椭圆的方程，整理得2220000(2+1)+4()+2()2=0k x k y kx x y kx ---，转化为方程的根与系数的关系，利用韦达定理表示12,x x 的坐标，可化简求得直线AB 的斜率． 21.（本小题满分12分）设函数1()ln()2f x x m =+，曲线()y f x =在点33(,())22f --处的切线与直线20x y +=垂直.（1）求实数m 的值；（2）若函数2()()g x af x x =+有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()02ln 21g x x <<-. 【答案】（1）1；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求解1()2f x x m '=+，利用3()22f '-=列出方程，求解m 的值；（2）求解()2242x x a g x x ++'=+，令()224x x x a ϕ=++，函数()g x 有两个极值点12,x x ，转化为方程()0x ϕ=，在()2,x ∈-+∞上有两实根，列出条件，求得02a <<，得出12,x x 的表达式，化简函数()21g x x 的解析式，设出()212ln 122x x x x x ⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭k ，利用导数求解函数()k x 单调性与最值，从而证明21()02ln 21g x x <<-.由()0p x '=得()()31,0x x =∈-，且当()1,3x ∈-时，()0p x '<，当)3, 0x ∈时，()0p x '>，而()00k '=, ()1112ln12ln 202k '-=+=-<，所以当()1,0x ∈-时，()0k x '<，所以()k x 是减函数，故()()()01k k x k <<-，即()2102ln 21g x x <<-. ………12分考点：导数的几何意义；函数的导数在函数中的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及导数的几何意义、函数的导数在函数的单调性与极值、最值的应用，着重考查了转化与化归的顺序思想方法和运算能力，属于难度较大的试题，本题的解答中，求解()2242x x a g x x ++'=+，令()224x x x a ϕ=++，把函数()g x 有两个极值点12,x x ，转化为方程()0x ϕ=，在()2,x ∈-+∞上有两实根，列出条件，求得02a <<，得出12,x x 的表达式，化简函数()21g x x 的解析式，设出()k x ，利用导数求解函数()k x 单调性与最值，从而作出证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知直线MA 切圆O 于点A ，割线MCB 交圆O 于点,C B 两点，BMA ∠的角平分线分别与,AC AB 交于,E D 两点.（1）证明：AE AD =；（2）若5,2AB AE ==，求MAMC的值.【答案】（1）证明见解析；（2）32．【解析】试题分析：（1）由直线MA 切圆O 于点A ，所以M A C B ∠=∠，得M A C E M A B C ∠+∠=∠+∠，进而可得AED ADE ∠=∠，所以AE AD =；（2）由切割线定理得2MA MC MB =⋅，得MA MB MC MA =，由MBD ∆∽MAE ∆，得MB BDMA AE=，可得MA BD MC AE =，可得MAMC的值．考点：与圆有关的比例关系与证明．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x ty t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）.【答案】（1）2220x y x ++=；（2）54π⎫⎪⎭，()2,π. 【解析】试题分析：（1）在曲线C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=，两侧同乘ρ，可化为普通方程；（2）化直线的参数方程为普通方程20x y ++=，和圆的方程联立，求解交点坐标，在把交点坐标化为极坐标即可．考点：极坐标方程与普通方程的互化． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x m x =---.（1）若函数()f x 的值域为[4,4]-，求实数m 的值；（2）若不等式()|4|f x x ≥-的解集为M ，且[2,4]M ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）=2m -或6；（2）(][),06+-∞∞，．【解析】试题分析：（1）根据绝对值三角不等式，化222x m x x m x m ---≤--+=-，根据函数的值域为[4,4]-，得到24m -=，即可求解m 的值；（2）由()|4|f x x ≥-，及24x m x x ---≥-，当24x ≤≤时，得到不等式2x m -≥，求解实数m 的范围．试题解析：(1) 由不等式的性质得：222x m x x m x m ---≤--+=- 因为函数()f x 的值域为[]4,4-，所以24m -=，即24m -=-或24m -=所以实数=2m -或6. ………5分 (2) ()4f x x ≥-，即24x m x x ---≥-当24x ≤≤时，4+2+4+22x m x x x m x x -≥--⇔-≥--=，2x m -≥，解得：2x m ≤-或2x m ≥+，即解集为(],2m -∞-或[)2,m ++∞，由条件知：+220m m ≤⇒≤或246m m -≥⇒≥ 所以m 的取值范围是(][),06+-∞∞，. ………10分考点：绝对值不等式的求解与应用．。

云南省昆明市第一中学2020届高三第六次考前基础强化数学(文)试题答案

2020届昆一中高三联考卷第六期联考文科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师杨昆华张宇甜顾先成李春宣王海泉莫利琴蔺书琴张远雄崔锦杨耕耘一、选择题1. 解析：因为集合{}{}121,0,1,2A x x =∈-≤≤=-Z ，{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，所以{}101A B =-I ，，，{}{}112A B x x =-≤≤U U ，选A.2. 解析:由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故S S <甲乙,选C ．3. 解析：命题1p ：若0a =，0b =时，则i 0a b +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；命题2p ：121i z z +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题；命题3p ：1i iz ==-，它的共轭复数为i z =，所以3p 为假命题；命题4p ：设1i z a b =+（,a b ∈R ，且0b ≠），则212222111i ()()i i a bz z a b a b z a b a b a b =+=++=++-+++，因为2z 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即11z =，所以4p 为真命题. 选D.4. 解析：在直角△BCE 中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则22121()2CDE ABCDc S P S a b ∆==+梯形()222121sin 303cos15sin15c c ===+︒︒+︒，选C ．5. 解析：由抛物线的定义得点A 到准线1x =-的距离为4，所以点A 的横坐标为3x =，代人抛物线2:4C y x =得212,y y ==±OFK 的面积为112S =⨯⨯B ．6. 解析：连结AC ，BD ，则AC ⊥平面1B DB ，所以1AC DB ⊥，又EF AC ∥，所以1EF DB ⊥，选B ．7. 解析：由图可知目标函数2z x y =+在点1010()77A ，处取得最小值min 307z =，选A. 8. 解析：定义域{}2x x ≠，因为22(33)()0(2)e xx x f x x --+'=<-，所以()f x 在()2-∞，和()2+∞，上单调递减，选A.9. 解析：函数()f x 满足(1)f x +的图象关于1x =-对称，则()f x 图象关于y 轴对称，()f x 是偶函数且在()0+∞，上是增函数，0.313π<<，20e 1-<<，21log 39>，所以c a b >>，选C.10. 解析：0n =，1A =；1n =，1A =；2n =，0A =；3n =，1A =-；4n =，0A =；5n =，7A =；6n =，28A =，选B.11. 解析：2=2sin 4sin 2sin 4sin(+)4sin 23cos 27sin()3AB BC C A C C C C C πϕ++=+=+=+，其中3tan ϕ=，当sin()=1C ϕ+取得最大值，存在C 使得最大值为27，选B. 12. 解析：1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r，22222221212122111221221=)()())44x x y y x y x y x y x y x y x y +++--=++≥（）（（当且仅当2121y yx x =-时，即,A B 关于轴对称时等号成立，选 D.二、填空题13. 解析：(2)a b a +⊥r r r 有(2)0a b a +⋅=r r r ，即220a a b +⋅=r r r ，解得cos 1θ=-，θπ=.14. 解析：()2122f x x x'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()4,1-处的切线斜率()41k f '==，则()f x 在点()4,1-处的切线方程为()114y x +=⨯-即5y x =-. 15. 解析：由cos sin 1tan 2cos sin 1tan θθθθθθ++==--，所以1tan 3θ=，而22222222cos sin 1tan 4(cos sin )(cos sin )cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθθθθ--+-=-===++．16. 解析：当异面直线AB ，CD 互相垂直时体积最大，可以把四面体ABCD 补在长方体中，如图，则22236a b c ++=，B222242b c a b c bc+===+≥，4，四面体ABCD 的体积1114323V =-⨯⨯⨯=≤四面体ABCD三、解答题（一）必考题17. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=所以116a =，3d =-，{}n a 的通项公式为16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+ ………6分（2）由131903160n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩解得161933n ≤≤所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S = ………12分 18. （1）解：连接AC ，BD ，设AC BD P =I ，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 的中点，连接MP ，因为BF ∥平面MAC ，且平面BFD I 平面MAC MP =，所以BF ∥MP ，因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即12FM FD =. ………6分（2）解：因为60ABC∠=︒，四边形ABCD 为菱形，2AB CB ==，所以BD = 过N 作NG ∥BE ，且NG BD G =I ，因为12EN ND =，所以BG ，设BE a =，则23NG a =，因为直线BN 与平面ABCD所成角的正切值为tan NBG ∠==,所以a =所以三角形ABD 的面积1ABF ABEF S S S =-=V 梯形而点N 到平面BEF 的距离即点G 到平面BEF 的距离为h =，由113B ENF N BEF V V S h --==⋅=所以三棱锥B ENF - ………12分19. 解：（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==，8382807877805y ++++==，所以219845580 1.613555ˆb-⨯⨯==--⨯，则80 1.588ˆ6a =+⨯=，所以y 关于x 的回归方程ˆ 1.688yx =-+． ………6分（2）利用（1）中的回归方程ˆ 1.688y x =-+，可得13x =，1ˆ83.2y =，24x =，2ˆ81.6y =，35x =，3ˆ80y=， 46x =，4ˆ78.4y =，57x =，6ˆ76.8y =，所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=，即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：12(,)y y ，13(,)y y ，14(,)y y ，15(,)y y ，23(,)y y ，24(,)y y ，25(,)y y ，34(,)y y ，35(,)y y ， 45(,)y y ，2个数据均为“好数据”的结果是：13(,)y y ，15(,)y y ，35(,)y y ，所以310P =． ………12分 20. 解：(1)因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a = ，又△12AF F周长为4所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，所以椭圆22:142x y C +=. ………4分(2)设11(,)M x y ，22(,)N x y 当直线l 斜率不存在时，121212OM ON y y k k x x ⋅==-12x x =，12y y =-，所以212112OM ONy k k x ⋅=-=-，又2211142x y +=，解得22112,1x y ==，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=u u u u r u u u r. ……………6分当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4240k x kmx m +++-=，0∆>得2222164(12)(24)0k m k m -+->即2242m k <+，12221224122412km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ………8分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222412m k k -=+由121212OM ON y y k k x x ⋅==-得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+， ………10分所以[)221212122221221211,12121212m k OM ON x x y y x x k k k --⋅=+====-∈-+++u u u u r u u u r .所以[1,1]OM ON ⋅∈-u u u u r u u u r. ………12分21. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，因为()()()()221221212x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==，若0a ≤，则()'0f x >，则()f x 在()0,+∞单调递增；若0a >，则当0x a <<时，'()0f x <，当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(0,)a 单调递减，则(),a +∞单调递增. ………5分（2）由（1）可知，当0a =时，()2f x x x =+在()0,+∞单调递增，()0f x >，满足题意；当0a >时，要使()0f x ≥，则()()2min ln 0f x f a a a a a ==-+-≥，即ln 10a a +-≤，构造()ln 1g x x x =+-，则()1'10g x x=+>，故()g x 在()0,+∞上单调递增，又()10g =，故当(]0,1x ∈时，()0g x ≤，故由()0g a ≤得1a ≤，当0a <时，当x 趋于0时，()f x 趋于-∞，与题意不符，舍去；综上，要使()0f x ≥，则[]0,1a ∈. ………12分对于0a <的情况只需说明“舍去”即可得分，对考生不做要求，下附严格证明：对任意0a <，取m >()221am a <-，即()210a am m -+<，构造()e x h x x =-，0x ≥，则()'e 10x h x =-≥，故()h x 在()0,+∞单调递增，又()010h =>，故()0h x >，即e x x >，特别地e 0m m >>，则110em m >>，故()()()2112e212110e e e mm m m a a a f am am am m +---⎛⎫=+<+<+< ⎪⎝⎭，与()0f x ≥矛盾，舍去.（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

2020届云南省昆明市第一中学高三第六次考前基础强化数学(理)试题(解析版)

2020届云南省昆明市第一中学高三第六次考前基础强化数学（理）试题一、单选题1．已知集合||12}A x Z x =∈-≤≤，{}2|1B x x =≤，则（）A ．{}1,0,1AB =-I B ．{}1,0,1,2A B ⋃=-C ．{}|11A B x x ⋂=-≤≤D ．{}|12A B x x ⋃=-≤≤【答案】A【解析】用列举法表示出集合A ，再求解出不等式21x ≤的解集为集合B ，即可计算出,A B A B ⋃⋂的结果.【详解】因为集合{|12}{1,0,1,2}A x Z x =∈-≤≤=-，{}2|1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，所以{1,0,1}A B ⋂=-，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.2．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率是（）A ．32B ．34C ．23D ．22【答案】C【解析】根据几何概型中的面积模型可知：点取自等腰直角CDE ∆中（阴影部分）的概率等于阴影部分面积比上整个梯形的面积，由此得到结果. 【详解】在直角BCE ∆中，cos15a c =︒，sin15b c =︒，则()22222112211sin 303cos15sin15()2CDE ABCDc S c P S c a b ∆︒︒︒=====+++梯形.故选：C. 【点睛】本题考查几何概型中的面积模型，难度较易.解答问题的关键：将图形的面积比值与概率联系在一起.3．设有下面四个命题：1p ：0a =是(),a bi a b R +∈为纯虚数的充要条件；2p ：设复数123z i =-，212z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于第四象限； 3p ：复数1z i=的共轭复数z i =-；4p ：设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，则1||1z =. 其中真命题为（） A ．1p ，3p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．2p ，4p【答案】D【解析】1p ：考虑,a b 同为零的情况；2p ：先计算12z z +的结果，然后判断所在象限；3p ：计算出z ，然后即可得到共轭复数；4p ：设1z a bi =+，根据2z 是实数得到,a b 的关系，由此求解出1z . 【详解】命题1p ：若0a =，0b =时，则0a bi +=不是纯虚数，所以1p 为假命题；命题2p ：121z z i +=-，在复平面内所对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，所以2p 为真命题；命题3p ：1z i i==-，它的共扼复数为z i =，所以3p 为假命题；命题4p ：设1z a bi =+（,a b ∈R ，且0b ≠），则212222111a b z z a bi a b i z a bi a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，因为2z 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1||1z =，所以4p 为真命题. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念、除法运算以及复数的几何意义，属于综合型问题，难度较易.已知z a bi =+，则a 为实部，b 为虚部，共轭复数z a bi =-，复数的模z =4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3613S S =，则69SS 的值为（） A ．12B ．13 C ．23D ．14【答案】A【解析】设{}n a 的公差为d ，根据3613S S =求出1a 和d 的关系，代入69SS 计算即可. 【详解】设{}n a 的公差为d ，则31613316153S a d S a d +==+，得12a d =，所以6191615271936542S a d d S a d d +===+，故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，是基础题.5．已知偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，(2)0f =，若(1)0f x +≤，则x 的取值范围是（） A ．(,3]-∞- B ．[1,)+∞C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-+∞U【答案】D【解析】根据()f x 是偶函数及(2)0f =得出，12x +≥，解出x 的范围即可.【详解】由已知(1)0(2)f x f +≤=，又偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减可得:12x +≥，所以12x +≤-或12x +≥，即3x ≤-或1x ≥，故选：D. 【点睛】考查偶函数的定义，以及减函数的定义，绝对值不等式的解法. 6．若二项式22()nx x+的展开式，二项式系数之和为16，则展开式中x 的系数为（） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】二项式系数之和为16得216n =，求得n ，再通过二项展开式式的通式列方程求得r ，进而可得展开式中x 的系数. 【详解】由展开式中二项式系数之和为16，即216n =，得4n =.展开式中44314422()2r rr r r r r T C x C x x--+== ，令431r -=，得1r =，故x 的系数为11428C =，故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，考查二项式系数的和，是基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．83B ．8C ．622+D ．842+【答案】D【解析】利用正方体可知实线部分为该几何体的直观图，该几何体为四棱锥，求出每个面的面积相加即可. 【详解】利用正方体可知实线部分为该几何体的直观图，该几何体为四棱锥，所以该几何体的表面积为1122+2(222)+2(22)8+4222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查通过三视图求几何体的表面积，关键是找到直观图，是基础题.8．执行如图所示的程序框图，如果输出的28A =，那么在图中的判断框中可以填入（）A ．5?n ≥B ．5?n >C ．7?A ≤D ．7?A ≥【答案】B【解析】根据程序框图，将每一次循环对应的结果列出，再根据输出结果是28A =选择判断框中的内容.【详解】当0n =时，1A =；当1n =时，1A =；当2n =时，0A =；当3n =时，1A =-；当4n =时，0A =；当5n =时，7A =；当6n =时，28A =，所以判断框中的内容应填写：5?n >，故选：B. 【点睛】本题考查补全程序框图中的判断框内容，难度较易.处理此类问题常用的方法是根据循环语句列举出每一步的结果，然后再根据结果进行分析.9．要得到函数2cos 2y x x =+的图象，只需要将函数sin 22y x x =的图象（） A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移2π个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】A【解析】化简两个函数得2sin(2)3y x π=-，2sin(2)6y x π=+，根据相位平移可得结果. 【详解】函数sin 222sin(2)3y x x x π==-，向左平移4π个单位得到函数2cos22sin(2)6y x x x π=+=+的图象，故选A. 【点睛】本题考查相位平移及三角化简，是基础题.10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点∈A l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若2AB BF =u u u r u u u r，则BOF ∆的面积为（）A ．13B ．3C D ．2【答案】B【解析】作BH l ⊥于H ，根据点B 为AF 的三等分点及抛物线的定义可得13B x =，进而可得B y ，代入△BOF 的面积公式可得答案. 【详解】由已知得：点B 为AF 的三等分点，作BH l ⊥于H （如图），则2433BH FK ==，所以413B BF BH x ==+=u u u r ，由13B x =得3B y =，所以△BOF 的面积为：13123S =⨯⨯=，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质，关键是抛物线焦半径公式的灵活应用，是基础题. 11．设函数22()()(2ln 2)f x x a x a =-+-，其中a R ∈，存在0x R ∈，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作点(,2ln )M x x 与点(,2)N a a 之间距离的平方，进而转化为曲线2ln y x =上的点到直线2y x =距离平方的最小值问题，利用导数找到2ln y x =上距离直线2y x =的最小的点，再利用垂直关系列方程求解.【详解】函数()f x 可以看作点(,2ln )M x x 与点(,2)N a a 之间距离的平方，可将问题转化为曲线2ln y x =上的点到直线2y x =距离平方的最小值为45，又'2y x =，令22x =，得1x =，即2ln y x =上的点()1,0到直线2y x =的距离最小，所以20112a a -=--，解得15a =，故选：A. 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是将函数()f x 可以看作点(,2ln )M x x 与点(,2)N a a 之间距离的平方，构造函数解决问题，是中档题.12．如果有穷数列12,,...,n a a a （n 为正整数）满足条件1211,,...,n n n a a a a a a -===，即i n i a a -=()1,2,3...,i n =，我们称其为“对称数列”，例如：由组合数组成的数列01,,...,mm m m C C C 就是“对称数列”，设{}n a 是项数为21(,2)k k N k -∈≥的“对称数列”，其中121,,...,k k k a a a +-是首项为50 ，公差为4-的等差数列，记{}n a 的各项和为21k S -，则21k S -的最大值为（） A ．622 B ．624 C ．626 D ．628【答案】C【解析】利用等差数列的求和公式可求得1212252k k k k k a a a +-++=-++L ，从而可得221=4(13)626k S k ---+，从而可得答案；【详解】由已知得21121(1)(4)502252k k k k k a a a a k k k +-=--⨯-++++=+++L L211121=k k k k S a a a a -+-+++++L L()()2121=2410050k k k k a a a a k k k +-+++-=--+-L221=4(13)626k S k ---+，当13k =时，21k S -取到最大值，且最大值为626. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的求和，突出考查等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题.二、填空题13．已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b a +⊥r r r ，若1||||2a b =r r，则a r 与b r 的夹角为__________．【答案】π【解析】根据向量垂直对应的数量积为0，得到关于,a b <>r r 的等式，将1||||2a b =r r代入即可计算出,a b <>r r的值.【详解】因为()2a b a +⊥r r r ，所以()20a b a +⋅=r r r，即2||20a a b +⋅=r r r ，解得cos ,1a b <>=-r r ，所以,a b π<>=r r. 故答案为：π. 【点睛】本题考查向量夹角的计算，难度较易.注意当a b ⊥r r时，一定有0a b ⋅=r r ，反之亦成立.14．已知,x y 满足251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为__________．【答案】307【解析】作出251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩表示的可行区域，根据图像得出2z x y =+在点A 处取得最小值，求出点A ，代入2z x y =+即可. 【详解】作出251000y x x y y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩表示的可行区域，如图可知目标函数2z x y =+在点A 处取得最小值，联立25100y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1010()77A ，，则min 1010302777z =+⨯=. 故答案为：307.【点睛】本题考查线性规划求目标函数的最值，关键是准确画出可行域，是基础题.15．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ，点P为该双曲线上一点，若OP OF =，0PA PB OF OA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率为__________． 15+ 【解析】由若OP OF =，0PA PB OF OA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r可得220--=c a ac ，转化为210e e --=，解方程即可.【详解】因为()()()()2222PA PB OA OP OB OP OA OP OA OP OP OA c a ⋅=-⋅-=-⋅--=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而OF OA ac ⋅=-u u u r u u u r，所以220--=c a ac ，所以210e e --=，解得：152e +=. 故答案为：152. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要建立,,a b c 的等量关系，是中档题. 16．已知在半径为3的球面上有,,,A B C D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值为__________．【答案】823【解析】过CD 作空间四边形ABCD 的截面PCD ，由体积公式可知只需求解出PCD S V 的最大值即可，由此进行分析求解. 【详解】过CD 作平面PCD ，使得AB ⊥平面PCD ，交AB 于P 点，如下图：设P 到CD 的距离为h ，所以122223323PCD h h V S ⨯=⨯⨯=⨯=V ，当球的直径通过,AB CD 的中点时，此时h 的值最大，且22max 23142h =-= 所以max 823V =. 故答案为：823. 【点睛】本题考查几何体的体积最值与球的综合运用，难度较难.涉及到几何体外接球的问题，注意利用球本身的性质去分析问题，从而达到简化问题的目的.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，()(sin sin )()sin a c A C b c B +-=+（1）求A （2）若3a =b c +的取值范围【答案】（1）23A π=（2）3,2] 【解析】（1）由正弦定理可得()()()a c a c b c b +-=+，整理代入余弦定理可得答案；（2）利用正弦定理可得2sin 2sin 2sin()3b c B C C π∴+=+=+，根据(0,)3C π∈，利用正弦函数的性质可得取值范围. 【详解】解：（1）由()(sin sin )()sin a c A C b c B +-=+得()()()a c a c b c b +-=+，整理得222b c a bc +-=-，2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-，又()0,A π∈，23A π∴=. （2）由32sin sin sin a b c A B C ====得2sin b B =，2sin c C = 2sin 2sin 2sin()2sin 2sin()33b c B C C C C ππ∴+=+=-+=+因为(0,)3C π∈，2(,)333C πππ∴+∈，可得2sin()(3,2]3C π+∈，所以b c +的取值范围(3,2]. 【点睛】本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角函数值域的求解，注意自变量的取值范围，是中档题.18．如图所示的几何体中，BE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，2==AB AF ，点M ，N 分别在棱FD ，ED 上.（1）若//BF 平面MAC ，设FMFDλ=，求λ的值；（2）若1,2EN AB AD ND ⊥=，平面AEN 平面EDC 所成的锐二面角为60︒，求BE 的长.【答案】（1）12（2）2 【解析】（1）连接AC ，BD ，设AC BD P =I ，可得BF ∥平面MAC ，进而可得BF ∥MP ，由中位线的性质可得答案；（2）如图建立空间直角坐标系，设BE a =，求出平面AEN 和平面ECD 的法向量，利用空间向量的夹角公式列方程求解. 【详解】（1）解：连接AC ，BD ，设AC BD P =I ，因为四边形ABCD 为菱形，所以P 为AC 与BD 的中点，连接MP ，因为BF ∥平面MAC ，且平面BFD ⋂平面MAC MP =，所以BF ∥MP ，因为P 为BD 的中点，所以M 为FD 的中点，即12FM FD λ==；（2）AB AD ⊥，又四边形ABCD 为菱形，则四边形ABCD 为正方形，AB BC ∴⊥，又因为BE ⊥平面ABCD ，可如图建立空间直角坐标系，则(2,0,0)C ，(2,2,0)D ，(0,2,0)A ，设BE a =，则)(0,0,E a ，因为12EN ND =，所以13EN ED =u u u r u u u r ，所以2()333aN ，设平面AEN 的法向量为()1111,,n x y z =u r，又()()0,2,,2,2,a E E a A D =-=-u u u ru u u r ，由 1100n AE n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即1111120220y az x y az -+=⎧⎨+-=⎩，取()10,,2n a =u u r ，设平面ECD 的法向量为()2222,,n x y z =u u r，又()()0,2,0,2,2,DC ED a =-=-u u u ru u u r由2200n DC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 得222220220y x y az -=⎧⎨+-=⎩，取()2,0,2n a =u u v ，因为平面AEN 与平面EDC 所成的锐二面角为60o ，所以1221221c os60244n n n n a a ⋅===+⋅+ou u r u u ru u r u u r ，解得2a =，即BE 的长为2.【点睛】本题考查线面平行的性质，考查向量法求二面角，考查学生的计算能力与推理能力，是中档题.19．我市某区2018年房地产价格因“棚户区改造”实行货币化补偿，使房价快速走高，为抑制房价过快上涨，政府从2019年2月开始采用实物补偿方式（以房换房），3月份开始房价得到很好的抑制，房价渐渐回落，以下是2019年2月后该区新建住宅销售均价的数据：月份x3 4 5 6 7 价格y （百元/平方米） 8382807877（1）研究发现，3月至7月的各月均价y （百元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，求价格y （百元/平方米）关于月份x 的线性回归方程；（2）用i y ∧表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的销售均价的估计值，3月份至7月份销售均价估计值iy ∧与实际相应月份销售均价i y 差的绝对值记为i ξ，即||i i i y y ξ∧=-，1,2,3,4,5i =.若0.25i ξ≤，则将销售均价的数据i y 称为一个“好数据”，现从5个销售均价数据中任取2个，求抽取的2个数据均是“好数据”的概率.参考公式：回归方程系数公式^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，^^a yb x =-；参考数据：511984i ii x y==∑，521135i i x ==∑.【答案】（1） 1.688y x ∧=-+；（2）310P =【解析】（1）先计算出,x y ，然后根据b$的计算公式求解出b $，再根据线性回归方程过样本点中心(),x y 求解出$a，由此求解出线性回归方程；（2）先根据定义计算出()1,2,3,4,5i i ξ=，利用古典概型的概率计算方法，先列举出所有可能的情况，然后分析其中满足的情况，由此计算出抽取的2个数据均是“好数据”的概率. 【详解】（1）由表格中的数据，可得3456755x ++++==，8382807877805y ++++==，所以219845580 1.613555b ∧-⨯⨯==--⨯，则80 1.6588a ∧=+⨯=，所以y 关于x 的回归方程1.688y x ∧=-+.（2）利用（1）中的回归方程为 1.688y x ∧=-+，可得13x =，183.2y ∧=，24x =，281.6y ∧=，35x =，380y ∧=，46x =，478.4y ∧=，57x =，676.8y ∧=，所以10.2ξ=，20.4ξ=，30ξ=，40.4ξ=，50.2ξ=，即5个销售均价数据中有3个即1y ，3y ，5y 是“好数据”，从5个销售均价数据中任意抽取2个的所有可能结果：()12,y y ，()13,y y ，()14,y y ，()15,y y ，()23,y y ，()24,y y ，()25,y y ，()34,y y ，()35,y y ，()45,y y ，共10种，抽取的2个数据均为“好数据”的结果是：()13,y y ，()15,y y ，()35,y y ，共3种，所以310P =. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解和古典概型的概率计算，难度一般.（1）求解回归直线方程中的参数值时，注意回归直线方程过样本点的中心(),x y ；（2）利用古典概型求解概率时，最常用的方法是列举法，将所有的基本事件列举出来，同时写出目标事件对应的基本事件，根据事件数目即可计算出对应的概率.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆短轴端点，若12AF F ∆为直角三角形且周长为4+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，直线OM ,ON 斜率的乘积为22b a-，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）[]1,1- 【解析】（1）根据12AF F ∆的形状以及周长，计算出22,a b 的值，从而椭圆C 的方程可求；（2）分类讨论直线的斜率是否存在：若不存在，直接分析计算即可；若存在，联立直线与椭圆方程，得到坐标对应的韦达定理形式，再根据条件将直线方程中的参数,k m 关系找到，由此即可化简计算出OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围. 【详解】（1）因为12AF F ∆为直角三角形，所以b c =，a =，又12AF F ∆周长为4，所以222)4a c c +==，故c =24a =，22b =，所以椭圆C ：22142x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线l 斜率不存在时，121212OM ONy y k k x x ⋅==-,12x x =，12y y =-，所以212112OM ON y k k x ⋅=-=-，又2211142x y +=，解得212x =，211y =，221212111OM ON x x y y x y ⋅=+=-=u u u u r u u u r .当直线l 斜率存在时，设直线方程为:l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124240k x kmx m +++-=，>0∆得()()222216412240k m k m -+->即2242m k <+，12221224122412km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()()2222121212122412m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+ 由121212OM ONy y k k x x ⋅==-得22222411224212m k k m k -+=--+，即2221m k =+，所以22121212222122121[1,1)2121212m k OM ON x x y y x x k k k--⋅=+====-∈-+++u u u u r u u u r 所以[]1,1OM ON ⋅∈-u u u u r u u u r.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，其中涉及到焦点三角形的周长以及向量数量积的取值范围，难度一般.（1）椭圆的焦点三角形的周长为：()2a c +；（2）椭圆中的向量数量积问题，首选方法：将向量数量积表示为坐标形式，借助韦达定理完成求解. 21．已知函数2()(12)ln ,f x x a x a x a R =+--∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）()1,a ∈+∞【解析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论即可求出()f x 的单调区间；（2）根据()f x 的单调性，得出0a >，必有()()2min ln 0f x f a a a a a ==-+-<，即ln 10a a +->，构造()ln 1g x x x =+-，求导，得出()g x 在()0,∞+上单调递增，故由()0g a >得1a >，接下来验证当1a >时()f x 的零点情况即可.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，因为()()()()221221212x a x a x a x a f x x a x x x+---+'=+--==，若0a ≤，则()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增；若0a >，则当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(0,)a 单调递减，则(),a +∞单调递增；（2）由（1）可知，要使()f x 有两个零点，则0a >，则()()2min ln 0f x f a a a a a ==-+-<，即ln 10a a +->，构造()ln 1g x x x =+-，则()110g x x'=+>，故()g x 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，故当()1,x ∈+∞时，()0>g x ，故由()0g a >得1a >，当1a >时，由()121120e f e a e e e --⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()()1e 0f f a -⋅< 结合零点存在性知，在(0,)a 存在唯一实数1x ，使得()10f x =，构造()ln 1h x x x =-+，1x ≥，则()110h x x'=-≤，故()h x 在[)1,+∞单调递减，又()10h =，故()0h x ≤，即ln 1x x x ≤-<，则2ln 3x x x +<，故()()()222ln 313f x x x a x x x x ax x x a =+-+>+-=+-，则()330f a a >>，则()()30f a f a ⋅<，又31a a >>，结合零点存在性知，在(,)a +∞存在唯一实数2x ，使得()20f x =，综上，当()f x 有两个零点时，()1,a ∈+∞. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题.22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线1C 交于极点O 外的三点,,A B C .（1）求||||||OB OC OA +的值；（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值.【答案】（1；（2）2m =，23πα=【解析】（1）利用极坐标表示出,,A B C ，然后将,,OA OB OC 转化为极径，根据对应的极径即可计算出||||||OB OC OA +的值；（2）先求解出BC 的极坐标将其转化为直角坐标可求斜率，由此先求解出倾斜角α的值，再根据点在线上代入求解出m 的值即可. 【详解】（1）设点,,A B C 的极坐标分别为()1,ρϕ,2,4πρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭,3,4πρϕ⎛⎫-⎪⎝⎭, 由点,,A B C 在曲线1C 上得：14cos ρϕ=，24cos 4πρϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，34cos 4πρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以23||||4cos 4cos 44OB OC ππρρϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1||4cos OA ρϕ==，所以||||||OB OC OA +=（2）由曲线2C 的参数方程知，曲线2C 是倾斜角为α且过定点()0m ,的直线，当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫-⎪⎝⎭，化为直角坐标为(B ,(3,C ,所以，直线的斜率为tan α=，所以23πα=，又因为直线BC 的方程为：y =+，由点()0m ,在直线BC 上得：2m =. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、直线的参数方程化为普通方程、根据点在曲线上求解参数值，难度一般.直角坐标与极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==.23．已知函数()22,f x x x a a R =---∈．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤->或32{2350x x <<-+>或2{10x x ≤-+>，解出不等式即可；（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①，即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<，据此即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）当3a =时，()0f x >即2230x x --->等价于：3{210x x ≤->或32{2350x x <<-+>或2{10x x ≤-+>解得312x <≤或3523x <<或x ∈∅ 所以原不等式的解集为：5{|1}3x x <<（Ⅱ）()22f x x x a =---所以()0f x <可化为22x a x ->-①即22x a x ->-或22x a x -<-，①式恒成立等价于min (32)x a ->或max (2)x a +<Q (,2)x ∈-∞，∴a ∈∅或4a ≥，4a ∴≥【考点】1．绝对值不等式；2．恒成立问题．。