圆锥曲线知识点汇总 ppt课件

∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 .
18
9 16
2、双曲线的简单几何性质：
性 双质 曲 线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象 范围
d
y2 2 px p0是焦准距
－－抛物线标准方程
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图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
四种抛物 线的对比
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
P的意义:抛物 线的焦点到准
线的距离
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论
解：因为抛x物 轴线 对关 称于 ，它的 点顶 ，点 并在 且
点M(2,2 2),所以，可设它 程的 为 y2标 2P准 (xP 方 0)
因为 M在 点抛物线( 上 2 2， )22所 P•2， 以p即 2
1
3.抛物线只有一个顶点、一个
焦点、y一2=条2准x线
;
-2
2
4
6
8
10
-1
-2
4.抛物线的离心率是-3 确定的,为1;
-4
-5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
31
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求
抛物线的标准方程
x 2 =－8 y 看图
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物
线的标准方程
y 2 =－4 x 看图
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
y 2=
4 3
x或
x2=
9 2
y
看图 27
2、抛物线的简单几何性质：
方程 图
形 范围
圆锥曲线知识点汇总
1
§2.1 椭圆
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
焦点坐标
F 1-c,0， F 2c,0
F 10,-c， F 20,c
相 a、b、c 的关系 同
a2-c2=b2
点 焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
7
典例分析 求椭圆的标准方程
（1）首先要判断类型， （2）用待定系数法求 a , b
a2=b2+c2
8
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
32
典型例题： 例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标 原点,并且过点M(2, 2 2 ),求它的标准方程.
4
1、椭圆的定义：
M
F1
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
M1FM2F2 a
椭圆形成演示 椭圆定义.gsp
F1F2 2c 2a2c0时,为椭圆
5
圆锥曲线知识点汇总
❖ (1)平面上----这是大前提 ❖ (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和
y
xa
o源自文库
或
x xa
ya
或
ya
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e
c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
19
19
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程
y= ± b x a
23
23
§2.3 抛物线
24
1、抛物线的定义：
在平面内,与一个定点F H 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线.
· d M
C
焦
·F 点
点F叫抛物线的焦点,
l
准线
e=1
直线l 叫抛物线的准线
即:若
MF
d 为 M 到 l 的距离
1 ,则点 M 的轨迹是抛物线.
14
§2.2 双曲线
15
1、双曲线的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
焦点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的关 系
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
e c a
(0<e<1)
c2=a2-b2
13
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
标准方程 图象
范围
x2 y2 1(ab0) a2 b2 yP
F1 OF2 x
-a≤x≤a,
x2 y2 b2 a2 1(ab0)
y
F2 P
O
F1
x
-b≤x≤b,
-b≤y≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
y2 = 2px （p＞0）
y l
OF x
x≥0 y∈R
y2 = -2px （p＞0）
yl FO x
x≤0 y∈R
x2 = 2py
（p＞0） y F
x2 = -2py
（p＞0） y l
O
x l
OF x
x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
（0,0）
y2 x2 1
16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离 心e率c 5 a4
渐近 线 方 程 y为 4x 3
20
20
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方y程 为 3x 4
焦 F 1 ( 点 1,0 0 )F ,2 (1,0 0 )
思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
21
21
3.双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
因 此 ， 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为
x2 +y2 =1.
10
102 62
变 式 引 申 ： 求 焦 点 在 y 轴 上 ， 且 经 过 点 A (1 ,1 )、 B (0 ,-1 )的 3 3 2
椭 圆 的 标 准 方 程 .
解 ： 设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 y2 + x2 =1,
29
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X 基本量：P（决定抛物线
开口大小）
30
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无
限延伸,但它没有渐近线;
y2=4x
2.抛物线只有一条对4 称轴,没有对称中y心2=;2x
3 2
y2=x1
是常数 2a ❖ (3)常数 2a 要大于焦距 2c
M F 1M F 2 2a2c
6 4
定义
不 图形 同 点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
x2
y2 +
=1a>b>0
b2 a2
17
典例分析 (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1(5,0) , F2(5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5,0), F2(5,0)
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 16
（3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
不 图形 同 点
22
解 :因 为 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为 x 2+ y 2= 1 (a > b > 0 ). a 2 b 2
由椭圆的定义知 2a= 5 2+22 +-3 22 + 5 2-22 +-3 22 =2 10 所以a= 10.
又因为c=2,所以b2 =a2 -c2 =10-4=6.
( 0，p ) 2
yp 2
方程的特点: (1)左边是二次
式,
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p
(2)右边是一次 式;决定了焦点
2 的位置.
26
知识点汇
（1）总已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它
的焦点坐标及准线方程
焦点F (
3 2 ,0)
准线：x =－
3 2
对称性
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
顶点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b
离心率 渐近线
准线
e = c ( 0＜e ＜1 ) a
无
x a2 c
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
e= c (e1) a
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
y
∵ 2a=10, 2c=8
F1 o
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
x2 25
y2 9
1
M
F2 x
9
例 2 . 已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 坐 标 分 别 为 （ -2 ， 0 ） ， （ 2 ， 0 ） 并 且 经 过 点 （ 5， -3） ， 求 它 的 标 准 方 程 .
y
M
F1 O F2 x
y M
F x
2O
F
1
标准方程
x2 y2 1(a0,b0) y2 x2 1(a0,b0)
a2 b2
a2 b2
焦点坐标
F 1-c,0， F 2c,0
F 10,-c， F 20,c
相 a、b、c 的关系 同
c2=a2+b2
点 焦点位置的判断
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
11
~ 求曲线方程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程.
待定系数法：所求曲线方程的类型已知， 则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定 型，再定量”.
12
2、椭圆的简单几何性质：
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 x2 1(ab0) a2 b2
y2 x2 1(a0,b0) a2 b2
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，c2=a2-b2
a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
22
范围
|x|a,|y|≤b
a2
b2
将 A ( 1 , 1 ), B (0 , - 1 )代 入 得 ：
33
2
1 3
2
a 2
+
1 2 3
b2
-
1 2
2
a 2
=1
=1 ,
解
得
：
a b
2 2
= =
1 4 1
, .
5
故所求椭圆的标准方程为
y2 1
+
x2 1
= 1.
？ : 45
思考一个问题 把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
离心率
e=1
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补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0)
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。
OF
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做 抛物线的焦半径。