2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典
型例题讲解
【规律方法】
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *
+=+∈N ．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，
11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，
{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；
当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，
()13n n a n −*∴=∈N
（2）假设存在满足题意的3项，
由（1）得：13n
n a +=，又()11n n n a a n d +=++，11
13323111
n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===
+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2
k
m p d d d ∴=⋅，即()
()()
22
1122
4323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()
()()2
2
2
4343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴
=
+++，
()()()2
111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，
整理可得：2
k mp =，又22
2m p k +⎛⎫
= ⎪⎝⎭，2
22
224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭
， 即()2
0m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，
∴假设错误，即不存在满足题意的3项.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)判断数列231⎧⎫
−
⎨⎬+⎩
⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，
2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121
−=⋅−n n S S
n n ，而
1
21S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221
n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅=
=+⋅n n
n n S a n n
. （2）记231=−
+n
n n b a n ，由（1）知，123(1)2321
−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为
(),,N m n p m n p *
<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N n
n
f n n *
=−∈，则3()212⎡⎤
⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
n n
f n ，于
是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此
()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，
矛盾，所以数列231⎧⎫
−
⎨⎬+⎩
⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中1321
3,,22
a a a 成等
差数列，则20222021
20202019
a a a a +=+__________．
【答案】9
【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
因为13213,,22
a a a 成等差数列，所以3121
2322a a a ⨯=+，
即2
11132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=
所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.
所以2021202032
2202220211120192018
202020191191
a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.
例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6
32
6log a b =______． 【答案】−1
【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()
1111161111112
a a S a +===，解得61a =，
因为{}n b 是等比数列，所以2
5763b b b ==，
则63
3261log log 13
a b ==−. 故答案为：1−.
例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞
【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192
595992
a a a S a +==
=，
所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．
例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为
零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，2
1b d =，且222
123
123
a a a
b b b ++++是正整数，
则q 的值可以是______． 【答案】1
2
【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，
{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，
∴()()()22
2222
21232222222
12323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222
123
123
a a a
b b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，
∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，
设2
141q q n ++=
，()0n >，即1413n <<，即14
143
n <<， 又∵2
1414141n q q n
==++，∴n 为正整数，
则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又2
2
1314124q q q n ⎛
⎫++=++= ⎪⎝
⎭，
即111222q =−=−=−
又由题意知：01q <<，且为有理数，
∴12q =−8n =时，满足题意，
此时：1111
12222
q =−−−+=.
故答案为：1
2.
例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合
{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，
332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小
到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632
【解析】{}n b 为正项等比数列，则22
21222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或
1q =−（舍），∴1122n n
n b b −==；
{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.
由231,*n
n m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、
、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，
()3043331334166416322
S +⨯+⨯=
−−−=.
故答案为：1632
例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项
由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数
列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589
【解析】2n
n a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，
12a ∴=，24a =，38a =，416a =，
因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．
424a b ==，
2a ∴是数列{}n b 中的第4项，
设2k
k a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．
112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．
222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，
2k a +∴是数列{}n b 中的项．
21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，
∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．
因为12345520+++++=，
所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，
所以 12345
20444441329T =+++++++
+
()()541412915
158914
2
−+⨯=
+
=−
故答案为：1589.。