第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc

第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法
从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。

本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。

6-1矩阵迭代法
矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。

在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，
[]{}[]{}{}02=-A M p A K
或写成
[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）
另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出
{}[][]{}{}01
2
=-A M R A p 或写成
{}[][]{}A M R A p
=21
（6-2） 用
[]1-M 前乘（6-1）式，得
[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）
方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式
[]{}{}A A D λ= (6-4)
（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。

式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][]
[]K M D 1
-=，则λ表示
固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。

显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。

下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：
1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1
A
D =运算，运算得到
一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得
[]{}{}{}21,111A B B A D ==
2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得
[]{}{}{}32,122A B B A D ==
3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3
A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到
第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。

可以证明，当迭代次数足够大时，按柔度矩阵建立的（6-2）式，其迭代计算必然收敛于第一阶固有频率和第一阶主振型，而按刚度矩阵建立的（6-1）式。

迭代计算却收敛于最高阶固有频率和最高阶主振型。

论证如下：
设n 个自由度系统对应于（6-4）式的特征值互不相同，其n 个特征值及n 个特征向量分别表示为λ1、λ2……λn 及{})
1(A 、 {})
2(A 、……{})
(n A 。

且λ1
>λ2
>……λn。

现给定任一
初始迭代向量{}1
A
，将{}1
A 表示为各阶主振型的线性组合，即
{}{}{}{})
()
2(2
)
1(1
1
n n
A c A c A c A +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++= （6-5）
上式中c 1、c 2、……，c n 皆为常数，它分别表示各阶主振型在{}1
A 中所占比例。

用[]D 前乘{}1
A
并令其乘积为{}1
B ，则
{}[]{}[]{}{}{})()()2(2)1(111n n A c A c A c D A D B +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++==
=1λ（{}{}{})(1
)
2(122
)
1(1n n n A c A c
A
c λλλλ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++） {}{}{}{}{}
)(1
)(1
)2(122)1(11,1111,12n n n A c A c A c B B B A λλλλλ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++==
(6-6) 这里
12λλ、13
λλ、……、1
λλn 均小于1，可见，经第一次迭代后，{}2
A 与{}1
A 相比，除
第一阶主振型{}
)1(A 外，其它各阶主振型所占分量均已相对地减小了。

因而{}2
A 比{}1
A 更
接近于第一阶主振型。

同样当进行第二次迭代后，则有
{}[]{}22A D B =＝
{}
{}{}))()(
()(21
)
2(2122)1(11
,12
1
n n n A c A c A c B λλλλλ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ {}{}{}{}{}
))()((1
)(21
)2(122)1(12,11,12
122,132n n n A c A c A c B B B B A λλλλλ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++== (6-7)
与式（6-6）相比，{}3
A
中除第一阶主振型{}1
A 外，其它各阶主振型所占的分量更为减小了。

因此经过k －1次迭代后，则有
{}[]{}==--11k k A D B {}{}{}))()(()(11
)2(1122)1(12,11,11
1n k n n k k k A c A c A c B B ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅λλλλ
λ
{}{}{}{}{}))()((1
)(11
)2(1122)1(11,11,11
111,1n k n n k k k k k k A c A c A c B B B B A ------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==λλλλ
λ (6-8)
由于{}k A
中除{}1
A 外，
，各振型成分因1
1
)(-k i
λ
λ
<<1而减小很多，从而第一阶振型{}
)
1(A
占绝对优势，故
{}≈
-1k B {}
)1(12
,11,111
A c
B B k k --⋅⋅⋅⋅⋅⋅λ
{}{}
)1(11
,11,111
A c
B B A k k k --⋅⋅⋅⋅⋅⋅≈λ （6-9）
同理，在第k 次迭代后则有
{}[]{}k
k A D B ={}{}{}))()(()(1
)2(122)1(11,11,11n k n n k k k
A c A c A c
B B λλλλ
λ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-
{}{}{}{}{}
))()((1
)(1
)2(122)1(1,11,11,11n k n n k k k
k k k A c A c A c B B B B A λλλλλ+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==+ (6-10)
由于k
i )(
1
λλ<<1，故 {}≈
k
B {}
)1(11
,11,11
A c
B B k k -⋅⋅⋅⋅⋅⋅λ （6-11）
即{}k
A
与{}k
B 中第一阶主振型{})
1(A 成分均占绝对优势，{}k
A 与{}k
B 均与{})
1(A 非常接
近，因此可近似取{}k A
或{}k
B 作为第一阶主振型{})
1(A 。

同时由（6-9）
、（6-11）式可看出 {}≈k B {}k A 1λ （6-12）
即{}k B 中各元素与{}k
A 中各对应元素的比值B
i ，k /A i ，k
（i ＝1，2，……，n ）均接近于1λ，
由于令A i ，k ＝1，故
B i ，k ≈1λ （6-13）
上述证明说明，迭代计算结果总是收敛于最大特征值1λ以及1λ所对应的特征向量{})
1(A。

当方阵[]D 是按柔度矩阵形成时，因λ1＝1/2
1p ，由最大特征值1λ求得的p 1是系统的最低频率，其对应的特征向量{})
1(A
就是系统的最低阶主振型。

当方阵[]D 是按刚度矩阵形成时，因
λ1＝21p ，这时最大特征值λ1就对应于最高阶固有频率2
n p ，其对应的{})1(A 则是最高的主振
型。

3. 二阶及其以上各阶固有频率和主振型的迭代求解
由于工程中通常对系统的低阶固有频率和主振型比较重视，因此一般都用柔度矩阵形成的动力矩阵来进行迭代计算（如果已知刚度矩阵，则可以先计算刚度矩阵之逆而得出柔度矩阵）。

它不仅可以求出最低阶固有频率和主振型，而且可以求出较低的各阶固有频率和主振型，当然也可以一直求出全部固有频率和主振型。

下面介绍计算第二阶及其以上各阶固有频率和主振型的方法。

据上述推证过程可知，若在所假设的{}1
A
中不含有{})
1(A 成分，即c 1
＝0，则迭代计算将
收敛于λ2及{})2(A ，类似地，若在所假设的{}1
A
中不含有{})
1(A 、{})
2(A 成分，即c 1＝c 2
＝
0，则迭代计算将收敛于λ3及{}
)3(A ，……。

由此可见若欲计算第r ＋1阶固有频率p 如＋1及其主振型{
}
)1(+r A ，则必须使{}1
A
中不含有第一阶到第r 阶各阶主振型成分，为此，可采用如
下两中方式之一：i ）使所假设的{}1
A 中不含第r 阶及其以下各阶主振型成分。

（此点一般不易作到）ii ）从所假设的{}1
A 中清除掉所有不大于第r 阶的主振型成分。

实用中常采用第二
种方式，具体方法如下。

设任选的初始迭代向量为{}1
A
，现将其表示为如（6-5）式所示的各阶主振型的线性组合
{}{}{}{})
()
2(2
)
1(1
1n n
A c A c A c A +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++= （a ）
从上式中减去前r 阶主振型，得
{}{}{}{}{}{}∑=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅---r
j j j n r
A c A A c A c A c A 1
)
(1
)
()
2(2
)
1(1
1
（b ）
式中的{}
)(j A （j ＝1，2，……，r ）可通过迭代法求出，而c j 可由已知的{}
)(j A j ＝1，2，……，r ）用如下方法去求：用{}[]M A T j )
(前乘（a ）式两边，并利用主振型的正交条件得
{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}[]{}
{}[]{}j
j j T j j
n j n
j j T
j c
M A M A c A M A c A M A c A M A c A M A ==+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=)
()()
()
()
2()
(2
)
1()
(1
1
)( 由上式解得
{}[]{}
j
T
j j M A M A c 1
)(=
（j ＝1，2，……，r ） （c ）
式中 {}[]{})
()(j T
j j A M A
M = 为第j 阶主振型。

将式（c ）代入式（a ）中去，
{}{}{}{}{}[]{}[]{}{}[]{}[]{}∑∑∑====-=-=-r
j r
j
T
j j j
T
j r
j j r
j j
j A Q A M
M A A I M A M A A A c A A 1
1
1
)()
(1
)(1
)
(1
1
)
(1
)(
式中[]r Q 称为r 阶清型矩阵。

由上可见，对{}1A 前乘[]r Q 就相当于从{}1A 中清除了所有前r 阶主振型成分。

当清除了前r 阶主振型成分以后，就可求第r ＋1阶固有频率p r+1及主振型{}
)1(+r A ，求解方法同上，即从[][]{}[]{}11A D A Q D r r =出发进行迭代（其中[][][]r r Q D D =），结果收敛于第r ＋1阶主振型{}
)1(+r A 。

由于实际计算中不可避免地存在舍入误差，故即使从[]{}1A D r 出发进行迭代，得到的
{}2A 中仍可能包括前r 阶主振型成分，而且随着迭代次数的增加在不断增大，所以在每次迭
代后必须重新清型，具体是，在求基频时，每次迭代应前乘[]D ，在求高频时，每次迭代应前乘[][][]r r Q D D =，而不能用前r 阶已计算得的振型。

应注意：1）所预测的振型的精确度仅影响收敛速度而不影响最终结果，即初始迭代向量选取得愈接近实际，则迭代次数就愈少。

2）由于计算误差的累积效应，使得求得的低阶固有频率及主振型较高阶精确，故迭代法常用于低阶问题的求解。

为了便于编程计算，以下推出求[]r D 的递推公式。

因为
[][]{}{}[]
∑
=-=r
j j
T
j j r M M A A I Q 1
)()
(
所以
[][]{}{}[]
∑
-=--=1
1
)()
(1r j j
T
j j r M M A A I Q
由[][][]r r Q D D =，得
[][][][][]D D Q D D r r -==--1
1`{}{}[]∑-=1
1
)()
(r j j
T
j j M
M A A =[]-D
{}
{}[]{}
{}[][]{}
{}[]j
T
r r r r r
j r
T
r r r j
T
j j j M M A A D M M A A M M A A )()1(1
)()()()(-=+
=+
∑
λλλ
故 [][]{}{}[]
r
T
r r r r r M M A A D D )()(1λ-
=- （6-14）
此即求[]r D 的递推公式。

[例6-1] 图6-1所示三自由度扭振系统，设I 1＝I 2＝I 3＝I ，扭转刚度皆为k t ，用矩阵迭代法求系统的固有频率及主振型。

解：取三个圆盘的转角321θθθ、、为广义坐标，由例5-6知系统的质量矩阵及刚度矩阵为
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I M []⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=110121012t k K
而其柔度矩阵为
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=3212211111t k R
故动力矩阵为
[][][]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡==321221111t k I M R D
1. 先求系统的最低固有频率与主振型
取初始迭代向量为 [][]T
A 111=，进行第一次迭代：
{}[]{}{}21130000.26667.10000.13653111321221111A k I k I k I k I A D B t
t t t =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==
重复上式过程，有
{}[]{}{}32
26667.42143.27857.10000.16667.40000.26667.10000.1321221111A k I k I k I A D B t
t t =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==
{}[]{}{}43
30000.52429.28000.10000.10000.5A k I k I A D B t
t =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==
{}[]{}{}54
40429.52465.28017.10000.10429.5A k I k I A D B t
t =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡== {}[]{}{}65
50482.52469.28019.10000.10482.5A k I k I A D B t
t =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡== {}[]{}{}76
60488.52470.28019.10000.10488.5A k I k I A D B t
t =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡== {}[]{}{}87
70489.52470.28019.10000.10489.5A k I k I A D B t
t =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡== 这时，已有{}{}87A A =，故有 k I 0489
.51=λ，及 I
k I k p 1980.00489.52
1==
,它所对应的主振型是 {}
[]T
A 2470.28019.10000.1)1(= 2. 求第二阶固有频率及主振型
相应于最低阶主振型的主质量为
{}[]{}I A M A M T
2959.9)
1()
1(1==
按（6-14）式，可求得
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=2576.01991.02205.01991.02365.00213.02205.00213.04568.01D
取初始迭代向量为 [][]T
A 111=，经12次次迭代后得
k I /6430.01=λ，即 I k p /1555.02
2=
{}[]T
A 8020
.04452.00000
.1)
2(-= 3. 求第三阶固有频率及主振型
相应于第二阶主振型的主质量为
{}[]{}I A M A M T
8414.1)
2()
2(2==
按（6-14）式，可求得
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=0330.007441.00595.00744.01673.01342.00595.01342.01076.02D
经迭代后得
k I /3080..01=λ，即 I k p /2467.32
3=
{}[]T A 5545
.02470.10000
.1)
3(-= [例6-2] 如图6-2所示两端简支的等直梁，等距离地安装三个集中质量，其质量各为m 、
2m 、m ，梁长为L ，弯曲刚度为EJ ，梁的质量不计。

试用矩阵迭代法求系统的固有频率及主
振型。

解：系统的柔度矩阵在例5-3中求得为
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=91171161171197683
EJ L R
而质量矩阵可求得为
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=m m m M 2
1. 求第一阶固有频率及主振型
动力矩阵
[][][]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡==922711321172297683
EJ m L M R D
取初始迭代向量为 {}[]T
A 1211=
对[]D 进行迭代运算，数字结果如下
k 1 2 3 4 5
{}k A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡121 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00000.143333.100000.1⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00000.142777.100000.1⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00000.142770.100000.1⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00000.142770.100000.1 {}k
B EJ
m L
7683
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡608660⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5333.478667.675333.47⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡4109.476886.674109.47⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡4094.476864.674094.47 故得
3
34,1216993.164094.477681mL
EJ
mL EJ B p ==≈
即 ，
3
102484
.4mL
EJ p = {}
[]T A 00000.142770.10000.1)
1(= 2. 求第二阶固有频率及主振型
{}[]{}m 07665.61)
1(1==）
（A M A M T
由（6-14）式，可求得
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=-56004.136136.004413.118068.025310.018068.004413.136136.056004.11033
1EJ
m L D
因系统具有对称性，故可选择第二主振型的初始迭代向量为{}[]T
A 10
11-=，将此
{}1A 与[]1D 相乘后得
[]{}⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--1011060417.260417.2060417.2103
333
11EJ m L EJ
m L A D 结果说明此处所选的{}1A 恰好是第二阶主振型，故得
3
332
2000.3841060417.21mL
EJ
mL EJ p =⨯=
- 即
3
2/5919.19mL
EJ p = {}[]T A 101)2(-= 3. 求第三阶固有频率及主振型
{}[]{}m 22)
2(2==）
（A M A M T
由（6-14）式，可求得
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-57954.261356.357954.280678.153103.280678.157954.261356.357954.21043
2EJ
m L D
选择初始迭代向量为{}[]T
A 1111-=，对[]2D 进行迭代运算，可得
k 1 2 3
{}k A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-00000.170043.000000.1⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-00000.170043.000000.1 {}k
B m L EJ
3
4
10⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-77263.814459.677263.8⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-69001.738636.569001.7 所以
3
33423
1030037.169011.710mL EJ mL EJ p ⨯==
即
33/0606.36mL EJ p = {}
[]T A 00000.170043.000000.1)3(-=
由此例可见，用矩阵迭代法求系统的固有频率及主振型时，如果初始迭代向量{}1A 选得恰当，比较接近所求的主振型，则迭代次数可以减少，若相邻两阶固有频率很接近，则收敛
速度很慢，为了加快收敛速度，可采用一定的方法，具体可参见文献2。

另外，由于计算中误差的累积，因此求得的低阶固有频率及主振型的精确度较高，而高阶的固有频率及主振型的精确度较低。

所以矩阵迭代法对于求低阶的固有频率及主振型较合适。

如果系统的固有频率中有几个相等，则仍可用上述的矩阵迭代法求出这几个相等的固有频率及对应的几个彼此正交的主振型。

当然，如前所述，这种正交的主振型并不是唯一的，选用不同的初始迭代向量，会得到形式不同的正交的主振型组。

6-2传递矩阵法
对于由一系列弹性元件和质量元件一个接一个连接的链状结构，可以采用传递矩阵法计
算系统的固有频率及主振型。

首先将整个结构分解成一系列具有简单力学特性的二端元件，而各个元件（或结构）一端的广义力与广义位移和另一端的广义力与广义位移之间的关系可以用传递矩阵来表示。

用传递矩阵法只需对一些阶次很低的传递矩阵进行陆续的矩阵乘法运算，可以使计算工作大为简化。

下面以弹簧－质量系统为例来说明传递矩阵的概念以及如何用传递矩阵法来计算系统的固有频率与主振型。

然后再把它应用到轴、梁的振动问题上去。

1. 基本概念与方法
现以图6-3所示弹簧质量系统为例，说明传递矩阵法的基本概念，设系统的运动由各个质量坐标所确定，并约定，各个质量的位移向右为正，作用于各个质量右端的力向右为正作用于左端的力向左为正。

取第i 个质量为分离体，由牛顿运动定律，有
L i R i i i F F x
m -=
当进行简谐振动时，i i x p x
2-= ，故有 i i L i R i x p m F F 2-= （6-15） 另设质量元件为刚体，则其左右两端的位移应相等，即有
L
i R
i i x x x == （6-16） 将（6-1--5）式与（6-16）式合并，写成矩阵形式
L
i
i R
i F X p
m F X ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1012
（6-17） 上式可简写成
{}[]{}L
i i R
i Z p Z = （6-18）
式中{}R
i Z 、{}L
i Z 为质量元件左、右两端的状态矢量，它表明了其运动状态和受力状态。

[]i
p 称为点传递矩阵，它表明了m i 左右两端状态矢量的传递关系。

再取第i 个弹簧为分离体，这时弹簧左右两端的位移分别为R i x 1-与L
i x ，而弹簧左右两端的力分别为R i F 1-与L i F ，由弹簧变形的特性，则弹簧力为
)(1R i L i i i x x k F --=
或
i i R i L i k F x x /1=-- （6-19） 又由于不计弹簧的质量，故有
L
i R i i F F F ==-1 （6-20）
将式（6-19）与式（6-20）合并，并写成矩阵形式
R
i i L i F X k F X 110
/11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （6-21） 上式可简写成
{}[]{}R i i L i Z F Z 1-= （6-22）
式中[]i F 称为场传递矩阵，它表明了第i 个弹簧左右两端的状态矢量的传递关系。

将（6-22）式代入（6-18）式，可得
{}[]{}[][]{}[]{}R i i R i i i L i i R i Z C Z F p Z p Z 11--=== （6-23）
式中[]i C 为第i 段的传递矩阵，它表明了系统第i －1个质量右端与第i 个质量右端的状态矢量的传递关系
[][][]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==i i i i i i
i i i k p m p m k k p m F P C 222
1/11
10/11101
显然，在上述系统中，末端的状态矢量{}R
n Z 与始端（即支承处）的状态矢量{}R
Z 0之间有如下的关系：
{}[]{}[][]{}
[][][]
[]{}[]{}R
R
n n n n n n
R n n
R
n
Z C Z C C C C Z C C Z C Z 001212
1
1
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===---- （6-24）
式中[]C 为系统的传递矩阵，它是系统各端传递矩阵[]i C 的乘积。

应注意的是，由于各个[]i C 中的元素依赖于p ，故[]C 中各个元素一般依赖于p ，即可表示为
[]⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=)()()()(22211211p c p c p c p c C
至于状态矢量{}R
n Z 与{}R
Z 0则还有赖于支承方式与外作用，即所谓边界条件。

由于各传递矩阵已满足各端的微分方程，如果再满足已知的边界条件，就可以求出系统
的固有频率及主振型。

或者说，对应于各个p 值从零端的状态矢量出发，利用（6-24）式就可以算出末端的状态矢量，其中满足指定边界条件的各个p ，就是系统的固有频率。

例如图6-3所示的系统，在自由振动中，边界条件为
00=R x ，0=R n F
由（6-24）式有
R
R n F p c p c p c p c x 0
222112110)()()()(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡ 则
R R n F p c x 012)(=， 0)(022=R F p c
因此满足0)(022=R F p c 的p 就是系统的固有频率，而)(22p c 称为这一情形的频率函数。

求出固有频率后，就可代入（6-24）、（6-25）式，得出各个相应的状态矢量，由此便可确定系
统的主振型。

2. 轴的扭转振动
现将传递矩阵法应用于轴的扭振问题。

设有图6-4所示的系统，轴本身的质量可略去不计。

这样，系统可分解为转动惯量为I i 的各个刚体盘，以及扭转刚度为k i 的各个弹性轴段。

与前述弹簧质量系统完全类似，同样约定，各盘的角位移矢按右螺旋法则确定：向右为正,各盘右端的扭矩T 的矩矢向右为正，左端的扭矩T 的矩矢向左为正。

第i 个盘与第i 个弹簧的受力与变形关系如图所示，与弹簧质量系统相对应有
[]L
i i L i
i
R
i T p T I p T ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡θθθ1012
(6-25) 以及
[]R
i i R
i i L
i T F T k T 1
110/11--⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθθ (6-26) 将(6-26)式代入(6-25)式，可得
[]R i i R i i i i i R i T C T k I p I p k T 1122
1/11
--⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθθ (6-27) 对于图6-4所示系统有
[][][][]L
i
n n R n T P c c c T ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθ121 (6-28)
注意上式中[]1P 是圆盘I 1的点传递矩阵。

在轴系自由振动下，该轴的边界条件为
01==R n L T T
由此，有
L
R
n p c p c p c p c 1
222112110)()()()(0⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡θθ 从而得
111θθc n = ,0121=θc (6-29)
因此，满足c 21=0的p 就是系统的固有频率，c 21(p)为该系统的频率函数。

系统的各阶固有频
率确定后,就可应用(6-27)，(6-28)式得到各个相应的状态矢量，从而确定各阶主振型。

另外，可以看到，对于该系统p=0是系统的一个固有频率，事实上，当p=0 时，有
[]⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=10/11i i k C ,[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=10011P
故有
[]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=∑10
11
i k C ，即满足c 21=0。

如当图6-4中圆盘I 1固定时，则
[][][][][]1
2221
121111121⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-T c c c c T C T c c c c T n n R
n θθθθ 在轴系自由简谐振动的情况下，有
0=R n T ，01=θ
则
1
2221
121100⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡T c c c c R
n θ 由此得
112T c n =θ， 0122=T c (6-30)
因此满足c 22＝0的p 就是系统的固有频率，c 22为该系统的频率函数。

[例6-3 ]如图6-5所示系统，设I 1=I ，I 2=2I ，I 3=4I ，k 2=k,，k 3=2k 。

用传递矩阵法求该系统的固有频率及主振型。

解：本题中，各个子传递矩阵为
[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=k Ip Ip k k I p I p k C 24142111/11
223323233
[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=k Ip Ip k k I p I p k C 222222222
212111/11
圆盘I 1的点传递矩阵为
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101101
2
121Ip I p P 第i-1个圆盘右端与第i 个圆盘右端的状态矢量的传递关系为
[]R
R
T C T 233⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ ，[]R
R
T C T 122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ ，[]L
R
T P T 1
11⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ (a)
而系统1圆盘左端与3圆盘右端间的状态矢量的传递关系为
L R T k p I k Ip k p I k p I Ip k Ip k k Ip k Ip T 1242226
342222
24
23481412723251⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+
--
+--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ (b) 系统的边界条件为
031==R L T T
代边界条件与(b)式，得
L R k p I k Ip k p
I k p I Ip k Ip k k Ip k Ip 1242226
342222
24
2304814127232510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+
--+--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθ (c) 由(c)式可得以下两方程
L R
k Ip k p I 1423
)251(θθ+-= L k p I k p I Ip 12
63422
)4127(0θ-+-=
即
041272
63422
=-+-k p I k p I Ip 0)7124(2224
32=+-I k p I k
p I p 解之得
021=p ，I k p /7929.022= ，I k p /2071.223= ,
即
p 1=0 ，I k p /8904.02=，I k p /4856.13=
求主振型(只求第一阶主振型，第二 三阶主振型的求法与此类似)
根据(a)式，有
[]L
L
R p I T P T 1
2
1
11110101⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θθθ 由此得
L R 11θθ=
L
R
Ip T 12
11θ-=
令11=L
θ ，则11=R
θ ，由P 1=0解得01=R
T 。

又由(a)式，有
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01212/112
121122k Ip Ip k T C T R R θθ 由此得
12=R θ， 02212=-=Ip T R
同理得,
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡014142/112121233k Ip Ip k T C T R R θθ 13=R θ， 02213=-=Ip T R
结果表明，当p 1=0时，系统在作刚体转动。

系统振动时的相关计算结果如下表
其中
第一主振型 {}
[]T
A 111)1(=
第二主振型 {}
[]T
A 3536
.02071.01)2(-= 第三主振型 {}
[]T
A 3536
.02071.111)3(-= 对于圆盘数目较多的情况，一般不用以上的方法计算，而是采用数值计算方法计算，方法是，先假定一系列的频率p 值，根据最左端的边界条件，由传递矩阵逐级算到最右端的状态矢量，如对某一个假定的p 值，算出最右端状态矢量中的元素恰好满足了边界条件，则此p 值就是一个固有频率，相应的还可以得到各阶主振型。

当然在具体数值计算时，只要边界条件很好地得到了满足,，则相应的p 值就是固有频率的很好近似。

另外，也可根据计算结果
采用作图的办法，如对于例6-3，先假定一系列不同的p 值，根据左端的边界条件L
101⎥⎦⎤
⎢⎣⎡(其中
令11=L θ)，依次算出一系列的R
T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ、 R
T 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ、R
T 3
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡θ的值，画出R T 3值随p 值变换的曲线，
如图6-6所示。

图中使R T 3值恰好为零(即满足了最右端边界条件)的各p 值，就是此扭振系统的固有频率值，再将各阶频率值代入式(a)中诸式，可算出相对应的R 1θ、R 2θ。

R 3θ的数值，从得到各阶主振型。

[例6-4]用传递矩阵法求例6-1所示三圆盘的扭振系统的固有频率与主振型.
解：此例的各个子传递矩阵为
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t t i k I p I p k C 22
1/11
(I=1,2,3) {}[][][]{}01233Z C C C Z R
=
边界条件为
,00=θ 03=R T
[][][]0
2221
121101233000⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡T c c c c T C C C R
θ 要求c 22=0 ，即
0])1(1)[1(1)2(2
222242
22=-+--++-=t
t t t t k I p I p k k I p k k I p Ip c
令 α=t
k I
p 2
则上列方程变成
0)1(2332=-++-ααα
选取一系列的α值，代入上式求出c 22值，并以α为横坐标，c 22为纵坐标作出曲线如图6-7所示，曲线与横坐标的交点p 2ttt /I 。

对应的各阶主振型，可由下表中各状态矢量θ值确定。

这时设{}[]T
t k Z 0
0=，这样可得到θ1=1。

P 2
1
⎥⎦⎤⎢⎣⎡T θ 2
⎥⎦⎤⎢⎣⎡T θ 3
⎥⎦⎤⎢⎣⎡T θ t /I
1 t t
0≈
t /I
1 t
t
0≈
t /I 1
t
t
0≈
由此可见， 第一主振型
{}
[]T
A 247.2802.11)1(=
第二主振型
{}
[]T
A 802.0445.01)1(-=
第三主振型
{}[]T
A 555.0247.111
)
1(-=
结果与矩阵迭代法所得相一致。

3. 梁的弯曲振动
先将梁离散化为无质量的梁上带有若干集中质量的横向振动，如图6-8所示。

现约定梁位 移向上为正，剪力与弯矩如图示方向为正。

取第i 个集中质量m i 为分离体，由位移连续条件
⎭
⎬⎫
==L i R i L i R i y y θθ (6-31)
由平衡条件有
⎭⎬⎫+=-==i i L i i i L i R i L
i R i y p m Q y
m Q Q M M 2
(6-32) 将(6-31)、（6-32）写成矩阵形式为
L
i
R
i Q M y m p
Q M y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ10
001000010000
1
2 (6-33) 上式简写成
{}[]{}L
i i R
i Z P Z = (6-34) 式中[]i P 为点传递矩阵，若集中质量m i 较大，其转动惯量I i 不能忽略,则应考虑它的惯性力矩
i i p I θ2。

则有i i L i R i p I M M θ2-=，从而点传递矩阵有所变化,读者可自行写出.
再取第I 段梁为分离体，因梁的质量不计，故有
⎪⎭
⎪
⎬⎫+==--i R
i R i L i R
i L i L Q M M Q Q 11 (6-35) 为了建立第i 段梁左右两边的挠度和转角之间的
关系，对于均匀梁段要引入材料力学中的如下关系
dx d EJ dx
y d EJ M θ
==22, ⎰=
Mdx EJ 1θ,
⎰=dx y θ
根据以上关系式，由图6-9可见，第i 段梁离左端x
处的转角为
i
R i i R i R i x
R i R i i R i x i R i EJ x
Q EJ x M dx x Q M EJ dx x M EJ x 2)(1)(1)(2
1
1
10
11101
-------++
=++=+=⎰⎰θθθ
θ (6-36)
在梁右端x=L i 处
i
i
R i i i R i R i L
i EJ L Q EJ L M 22
111
---+
+=θ
θ (6-37) 在离梁左端x 处的挠度
i
R
i i R i R
i R i i
R i x
x
i R i R i R i R i EJ x
Q EJ x M y dx EJ x Q EJ x M y
dx x y
x y 62)2()()(3
1
2
1
112
10
011
1
1
---------++
+=+++=+=⎰⎰θθ
θ (6-38)
在梁右端x=L i 处
i
i R i i R i i R i R i L i EJ L Q EJ M L y y 623
11
11----+++=θ (6-39)
将式（6-35）、（6-37）、（6-39）合并写成矩阵形式如下
R
i L
i Q M y L
EJ L EJ
L EJ L EJ L L Q M y 1
232100
01002//106/2/1-⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ （6-40）
上式可简写成
{}[]{}R
i i L
i Z F Z 1-= （6-41） （6-41）式中[]i
F
为场传递矩阵。

将（6-40）式代入（6-33）式，结果可写成
R
i R
i Q M y EJ p m L EJ L m p m Lp m p
L
EJ L EJ L EJ
L EJ L L
Q M y 1
23222
22326/12/1002//10
6/2/1-⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡+=⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ (6-42)
上式可简写成
{}[]{}R
i i R
i Z C Z 1-= （6-43） 式中
[]i C ⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡+=EJ p m L EJ L m p m Lp m p L
EJ L EJ L EJ
L EJ L L 6/12/1002//1
6/2/1
23222
2232
为传递矩阵。

如果在梁m i 处有刚度系数为k i 的弹性支承，如图6-10所示。

则此i 点左右两边之间各量的关系为
⎪
⎭
⎪
⎬⎫++-====L i i i i i R i L i R i L
i R i L i R i Q y p m y k Q M M y y 2,θθ （6-44）
写成矩阵形式为
R
i
R
i Q M y m p
k Q M y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ10
001000010000
12 (6-45) 如果支座上不安装集中质量m i ，即m i ＝0，则（6-45）式中点传递矩阵中元素－k ＋mp 2需改为－k 。

根据以上各式，对于图6-8的系统，就可以建立最左端0点到最右端n 点的状态矢量之间的关系式为
{}[][][][]{}[]{}00121Z C Z C C C F Z n n R n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-
即
L
i
R
i Q M y c c c c c c c c c c c c c c c c Q M y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ4443
4241
3433323124232221
14131211 (6-46) 显然，传递矩阵[c]中各元素c ij 都是频率p 的函数，因此，只要将系统两端的边界条件代入（6-46）式，即可求出系统的固有频率即主振型。

以下给出几种不同支承情况下的边界条件及相应的频率方程。

1. 两端简支的梁，其边界条件为
00=L y ， 00=L M ， 0=R n y ， 0=R n M
代入（6-46）式，可得
⎪⎭
⎪
⎬⎫+=+=L L L L Q c c Q c c 03403201401200θθ (6-47) 因为，故要使上式成立，必须有下列行列式的值为零
0)(34
32
1412==
∆c c c c p （6-48）
（6-48）式就是两端简支、有集中质量的梁的频率方程，解此方程可求得系统各阶固有频
率。

2. 悬臂梁 其边界条件为
00=L y ， 00=L θ， 0=R n Q ， 0=R n M
代入（6-46）式，可得
⎪⎭
⎪
⎬⎫+=+=L L L L Q c M c Q c M c 04404303403300 (6-49) 故频率方程为
0)(44
43
3433==
∆c c c c p （6-50）
解此方程可求得有集中质量的悬臂梁的各阶固有频率。

3. 两端固定梁，其边界条件为
00=L y ， 0=R n y ， 0=R n θ， 00=L θ
故频率方程为
0)(24
23
1413==
∆c c c c p （6-51）
解此方程可求得有集中质量的两端固定梁的各阶固有频率。

一般，由于(6-48)、(6-50)、(6-51)式所表示的系统频率方程都是对于p 2的高次方程，求解比较困难，因此，常采用数值计算方法。

即假设一系列的p 值代入频率方程式后，计算出一系列)(p ∆值，根据这些数值画出如图6-11的)(p ∆～p 曲线，则在图中使)(p ∆＝0的各个p 值即为系统的各阶固有频率p 1、p 2……p n 。

在求出各阶固有频率后，可进一步求得系统的主振型。

其方法以下述悬臂梁为例予以说明。

[例6-5] 用传递矩阵法求解图6-12所示悬臂外伸梁自由端有集中质量m 和中间为弹性支承K 时横向振动的固有频率及主振型。

梁本身质量不计，梁的弯曲刚度为EJ ，36l
EJ
K =。

解：已知边界条件为
0,02200====l l Q M M y
由
l
i R
R R Q l EJ l EJ l EJ l EJ l l K
EJ p m l EJ l m p m lp m p l
EJ l EJ l EJ
l EJ l l
y 0
0023
3
23222
22322220010
01002//006/2/110
001000010
000
16/12/1002//10
6/2/100⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡•⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ
得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00332323242
)61(6341)61(22600Q EJ p m l EJ Kl EJ p m l EJ p m l Kl m lp l EJ
Kl Kl p θ 代入36l
EJ
K =
，得 06766232
2=--
EJ
p m l l EJ
m lp l l EJ
解之得
3
43ml
EJ
p =
习 题
6-1用矩阵迭代法求题6-1图所示系统的固有频率及主振型。

设m 1＝m 2＝m ，m 3＝2m ，k 1＝k 2＝k ，k 3＝2k 。

答：m k p /3731.01=，m k p /321.12=，m k p /029.23=，
{}[]T
A 162.2861.10000
.1)
1(= ，{}
[]T
A 341
.0254.00000.1)2(-= {}[]T
A 679.0115.20000
.1)
1(-=.
6-2 如题6-2图所示的长度为2L 的均匀悬臂梁，其弯曲刚度为EJ ，在梁的中点与末端处各有集中质量2m 与m ，梁自重不计，试用矩阵迭代法、传递矩阵法求系统的固有频率及主振型。

答：31/5579.0mL EJ p =， 3
2/874.2mL EJ p =，
{}[]T A 0547
.30000
.1)
1(= ，{}
[]T A 6547.00000.1)2(-= 6-3对题6-3图所示的扭振轴系，试用矩阵迭代法、传递矩阵法求系统前二阶固有频率及主振型。

取假设振型为{}[]T
A 19.07.04.0=。

答：I k p t /3473.01=，I k p t /2=
，
{}[]T A 18794.06527.03473
.0)
1(=， {}
[]T
A 1011)2(--=
6-4 用矩阵迭代法、传递矩阵法求题6-4图所示扭振轴系的固有频率及主振型。

答：02
1=p ，I k p t /451.022=， I k p t /215.223=，I k p t /42
4=。