2022学年北师大版九年级数学下册第3章《圆》综合测试题附答案解析

2022-2023学年九年级数学下册第3章《圆》综合测试题
（满分120分）
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列命题为真命题的是(
)A ．两点确定一个圆
B ．度数相等的弧相等
C ．垂直于弦的直径平分弦
D ．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等
2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是(
)A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定
3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝120°，则∠BAC 的度数是(
)A ．70°B ．60°C ．50°D ．30°
4．如图，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于(
)A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°
5．如图，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC ，BD 于点E ，F ，则下列结论不一定正确的是(
)A ．AC ＝BD B ．OE ⊥AC ，OF ⊥BD C ．△OEF 为等腰三角形D ．△OEF 为等边三角形
6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O ，交坐标轴于点E ，F ，OE ＝8，OF ＝6，则圆的直径长为(
)A ．12B ．10C ．14D ．15
7．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 等于
()
A ．60°
B ．65°
C ．72°
D ．75°8．秋千拉绳长3m ，静止时踩板离地面0.5m ，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m(左右对
称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧AB ︵的长为()
A ．πm
B ．2πm C.43πm D.32
πm
9．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于点C 和点D .若△PCD 的周长为⊙
O 半径的3倍，则t a n ∠APB 等于(
)
A.12
5 B.3513 C.2313 D.5
1210．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a )(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是(
)
A ．4
B ．3＋2
C ．32
D ．3＋3二、填空题(每题3分，共24分)
11．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．
12．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，
那么∠A ＝________．
13．如图，DB 切⊙O 于点A ，∠AOM ＝66°，则∠DAM ＝________．
14．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC ＝3，则DE ＝________．
15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52c m ，装入油后，油深CD 为16c m ，那么油面宽度AB
＝________.
16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC
为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．
17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和
AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________．
18．如图，在⊙O 中，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．下列结论：
①MC ＝ND ；②AM ︵＝MN ︵＝NB ︵；③四边形MCDN 是正方形；④MN ＝12
AB .其中正确的结论有_____(填序号)．
三、解答题(19题8分，20，21每题10分，22，23每题12分，24题14分，共66分)
19．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC ，若∠P ＝30°，求∠B 的度数．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连接AC ，过点D 作DE ⊥
AC ，垂足为E .
(1)求证：AB ＝AC .
(2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60°，求DE 的长．
21．如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于点C ，过点C 的直线y ＝2x
＋b 交x 轴于点D ，且⊙P 的半径为5，AB ＝4.
(1)求点B ，P ，C 的坐标．
(2)求证：CD 是⊙P 的切线．
22．如图，CB和CD切⊙O于B，D两点，A为圆周上一点，且∠1:∠2:∠3＝1:2:3，BC＝3，求∠AOD所对扇形的面积S.
23．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为20m.
(1)求桥拱所在圆的半径．
(2)现有一艘宽60m，顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过
吗？请说明理由．
24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.
(1)求证：PA是⊙O的切线．
(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长．
(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及
sin∠ACE的值．
参考答案
一、1.C 2.A
3.B
4.B
5.D
6.B 7．D 8.B 9.A 10.B
二、11.3【点拨】如图，连接OC ，设AB ⊥CD 于E .∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，∴OC ＝5.∵CD ⊥AB ，CD ＝8，∴CE ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3.
12．99°【点拨】易知EB ＝EC .又∠E ＝46°，所以∠ECB ＝67°.从而∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A ＝180°－81°＝99°.
13．147°【点拨】因为DB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥DB .由∠AOM ＝66°，得∠OAM ＝12
×(180°－66°)＝57°.所以∠DAM ＝90°＋57°＝147°.
14．3【点拨】∵BE 是⊙O 的直径，
∴∠BDE ＝90°.∴∠BDC ＋∠CDE ＝90°.
又∵AB ⊥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝90°.
∵∠CAB ＝∠BDC ，∴∠ACD ＝∠CDE .∴AD ︵＝CE ︵.
∴AD ︵－AE ︵＝CE ︵－AE ︵.∴DE ︵＝AC ︵.∴DE ＝AC ＝3.
15．48cm
16.32＋π12【点拨】连接OE .∵点C 是OA 的中点，
∴OC ＝12
OA ＝1.∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12
OE .∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°.∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，
∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°.∴S 扇形BOE ＝30π×22360＝π3
.又S 扇形COD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形BOE ＋S △OCE －S 扇形COD ＝π3＋32－π4＝32＋π12
.
17.67
18．①②④【点拨】连接OM ，ON ，易证Rt △OMC ≌Rt △OND ，可得MC ＝ND ，故①正确．在Rt △MOC
中，CO ＝12
MO ，可得∠CMO ＝30°，所以∠MOC ＝60°.易得∠MOC ＝∠NOD ＝∠MON ＝60°，所以AM ︵＝MN ︵＝NB ︵，故②正确．易得CD ＝12
AB ＝OA ＝OM ，∵MC ＜OM ，∴MC ＜CD .∴四边形MCDN 不是正方形，故③错误．易得MN ＝CD ＝1
2AB ，故④正确．
三、19.解：∵PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，∠P ＝30°，
∴∠AOP ＝60°.∴∠B ＝1
2∠AOP ＝30°.
20．(1)证明：如图，连接AD .
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.
∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC .
(2)解：由(1)知AB ＝AC ，
∵∠BAC ＝60°，∠ADB ＝90°，∴△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝30°.
在Rt △BAD 中，∠BAD ＝30°，AB ＝8，∴BD ＝4，即DC ＝4.
又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC ·sin C ＝4·sin 60°＝4×3
2＝2 3.
21．(1)解：如图，连接CA .
∵OP ⊥AB ，∴OB ＝OA ＝2.
∵OP 2＋OB 2＝BP 2，∴OP 2＝5－4＝1，即OP ＝1.
∵BC 是⊙P 的直径，
∴∠CAB ＝90°.
∵CP ＝BP ，OB ＝OA ，
∴AC ＝2OP ＝2.
∴B (2，0)，P (0，1)，C (－2，2)．
(2)证明：∵直线y ＝2x ＋b 过C 点，∴b ＝6.∴y ＝2x ＋6.
∵当y ＝0时，x ＝－3，∴D (－3，0)．∴AD ＝1.
∵OB ＝AC ＝2，AD ＝OP ＝1，
∠CAD ＝∠POB ＝90°，∴△DAC ≌△POB .∴∠DCA ＝∠ABC .∵∠ACB ＋∠ABC ＝90°，
∴∠DCA ＋∠ACB ＝90°，即CD ⊥BC .∴CD 是⊙P 的切线．
22．解：∵CD 为⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，即OD ⊥CD .∵∠1:∠2:∠3＝1:2:3，∴∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45°.
连接OB .∵CB 为⊙O 的切线，
∴OB ⊥BC ，BC ＝CD .∴∠CBD ＝∠3＝45°，∴∠OBD ＝45°.
又∠1＋∠2＝45°，∴∠BOD ＝90°，即OD ⊥OB .∴OD ∥BC ，CD ∥OB .∴四边形OBCD 为正方形．
∵BC ＝3，∴OB ＝OD ＝3.
∵∠1＝15°，∴∠AOB ＝30°，∴∠AOD ＝120°.∴S ＝120
360×π×32＝3π.
23．解：(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心．
过点E 作EF ⊥AB 于点F ，
延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ，
则CF ＝20m ．由垂径定理知，
F 是AB 的中点，
∴AF ＝FB ＝1
2AB ＝40m.
设半径是r m ，由勾股定理，
得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF )2，
即r 2＝402＋(r －20)2.
解得r ＝50.
∴桥拱所在圆的半径为50m.
(2)这艘轮船能顺利通过．理由：
当宽60m 的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN 为轮船顶部的位置．连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ，
则DE ⊥MN ，∴DM ＝30m ，∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(m )．∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(m)，
∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(m)．
∵10m>9m ，
∴这艘轮船能顺利通过．
24．(1)证明：如图，连接CD .
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠CAD ＋∠ADC ＝90°.又∵∠PAC ＝∠PBA ，
∠ADC ＝∠PBA ，∴∠PAC ＝∠ADC .
∴∠CAD ＋∠PAC ＝90°.
∴PA ⊥DA .而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线．
(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，
又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA .∴∠GCA ＝∠PAC .
又∵∠PAC ＝∠PBA ，∴∠GCA ＝∠PBA .
而∠CAG ＝∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC .∴AG
AC ＝AC
AB ，即AC 2＝AG ·AB .
∵AG ·AB ＝12，∴AC 2＝12.∴AC ＝2 3.
(3)解：设AF ＝x ，
∵AF ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2x .
∴AD ＝AF ＋FD ＝3x .
易知△ACF ∽△ADC ，∴AC
AD ＝AF
AC ，即AC 2＝AF ·AD .∴3x 2＝12，
解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．∴AF ＝2，AD ＝6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF ＝2，GF ＝1，
根据勾股定理得AG ＝AF 2＋GF 2＝22＋12＝5，由(2)知AG ·AB ＝12，∴AB ＝12
AG ＝125
5.连接BD ，如图所示．
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°.
在Rt △ABD 中，
∵sin ∠ADB ＝AB
AD ，
AD ＝6，AB ＝125
5，∴sin ∠ADB ＝25
5.
∵∠ACE ＝∠ADB ，∴sin ∠ACE ＝25
5.。