2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析

§3.1不等关系与不等式
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
知识点一不等关系
现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：
(1)a大于b a＞b
(2)a小于b a<b
(3)a不大于b a≤b
(4)a不小于b a≥b
知识点二作差法
作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.
思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？
答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
知识点三不等式的基本性质
不等式性质：
(1)a>b⇔b<a(对称性)；
(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；
(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2
1．2≥1.( √ ) 2．a
b >1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋
c >b ＋c .( √ )
4．⎩
⎪⎨⎪⎧
a >
b ，
c >
d ⇔a ＋c >b ＋d .( × )
题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭
⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.5
0.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．
反思感悟 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系；
(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．
跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *
解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.
题型二 比较大小
命题角度1 作差法比较大小
例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．
解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )
＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 引申探究
1．若a ＞0，b ＞0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？ 解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)
＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a ＞0，b ＞0，
∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.
2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －
r ＋a n －
r b r .
反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34
， 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4
＞0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4
<0，∴x 3－1<2x 2－2x . 命题角度2 作商法比较大小
例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解
|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，
∵0<x <1，
∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )1
1－x
，
∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <11－x
， ∴log (1＋x )1
1－x ＞1，
即
|log a (1－x )|
|log a (1＋x )|
＞1，
∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.
反思感悟 作商法的依据：若b ＞0，则a
b ＞1⇔a ＞b .
跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －
a ＝⎝⎛⎭⎫a
b a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴a
b ＞1，a －b ＞0， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b b
a b b a ＞1， 又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a . 题型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b .
证明 因为a >b >0，所以ab >0，1
ab >0.
于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >c
b
.
反思感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明
⎭⎪⎬⎪
⎫ ⎭
⎬⎫
a >
b >0
c >0⇒ac >bc >0
⎭
⎬⎫
c >
d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .
用好不等式性质，确保推理严谨性
典例 已知12<a <60,15<b <36，求a
b 的取值范围．
[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴1215<a b <60
36，
∴45<a b <53
. [点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．
[正解] ∵15<b <36，∴136<1b <1
15，又12<a <60，
∴1236<a b <6015，∴13<a
b <4， 即a
b
的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥95，y >380，z ≥45
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥95，y >380，z >45
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b
答案 C
解析 由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .
3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >b
c ⇒a >b C.
⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1
b D.
⎭⎬⎫
ab >0a >b ⇒1a >1
b
答案 C
解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab <b ab ，即1a >1
b ，C 成
立．同理可证D 不成立．
4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( ) A.a d ＞b
c B.a
d <b c C.a c ＞b d D.a c <b d 答案 B
解析 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0， 即
1－d ＞1
－c
＞0. 又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b
－c ，
从而有a d <b c
.
5．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．
一、选择题
1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax
答案 B
解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2. 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2
B.a b 2>a b >a
C.a b >a >a b 2
D.a b >a b
2>a 答案 D
解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12∴a b >a b 2>a .
3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1
b
B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b
c 2＋1 D ．a |c |>b |c |
答案 C
解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1
b <0，
此时1a >1
b
，∴A 不成立；
对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴
a c 2
＋1>b
c 2＋1
恒成立，∴C 成立； 对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．
4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2
答案 A
解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，
知a >0，c <0，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
b >
c ，则ab >ac .
5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1
a 2
b D.b a <a b
答案 C
解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1
a 2
b ；
对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a
b
＝－1.
6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C
解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，
a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题
7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， . 答案
a ＋m
b ＋m >a
b
解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．
8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭
⎫－32，52 解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1， 且2a －b ＝12(a ＋b )－3
2
(－a ＋b )，
结合不等式的性质可得， 2a －b ∈⎝⎛⎭
⎫－32，52. 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1
2的大小关系为 ． 答案
x 1＋x 2≤1
2
解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)
22(1＋x 2)
≤0.
∴
x 1＋x 2≤12
. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为 ． 答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2 解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2 ＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2. 三、解答题
11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表
示出来．
解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2≤z ≤x 3，
y ＋z ≥55
(x ，y ，z ∈N )．
12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝1
2
且z ＝1时取等号．
13．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞e
b －d .
证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0， 又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0， 即a －c ＞b －d ＞0，∴0<1a －c <1
b －d
，
又∵e <0，∴e a －c ＞e
b －d
.
14．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y
1＋y ，则M ，N 的大小关系是( )
A ．M ＝N
B ．M <N
C ．M ≤N
D ．M >N
答案 B
解析 ∵x >0，y >0，
∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∴
x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y
1＋y
，
故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y
1＋y
＝N ，即M <N .
15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是 ． 答案 [－6,9]
解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，
∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，
∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9.。