课时作业1：2.2.1 双曲线及其标准方程

2.2.1 双曲线及其标准方程
一、基础过关
1．若方程y 24－x 2
m ＋1
＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1<m <3
B ．m >－1
C ．m >3
D ．m <－1
答案 B
解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.
2．双曲线x 210－y 22
＝1的焦距为( ) A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3 答案 D
解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选
D.
3．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216
＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( ) A ．±5
B ．±3
C ．5
D ．9 答案 B
解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.
∴n ＝±3.
4．如果双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，那么k 的值是( )
A ．－1
B ．1 C.653 D ．－163 答案 A
5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的曲线方程为______________．
答案 x 24－y 212＝1 解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹曲线为双曲线，且c ＝4，2a ＝4，
∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，
故曲线方程是x 24－y 2
12
＝1. 6．已知F 为双曲线C ：x 29－y 2
16
＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，
∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，
且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，
由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.
∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，
因此△PQF 的周长为
|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.
7.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．
解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，
∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.
圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，
∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.
设动圆M 的半径为R ，
则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，
∴|MF 2|－|MF 1|＝3.
∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，
且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914
. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1 (x ≤－32
)． 二、能力提升
8．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．
答案 18
解析 由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|
＝4＋|AF 2|；
|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|，
∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.
∴△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.
9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2
k －3
＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．
答案 (1,3)
解析 将方程化为x 2k －1－y 2
3－k
＝1，若表示焦点在x 轴上的双曲线，则有k －1>0且3－k >0，即1<k <3.
10．已知P 是双曲线x 264－y 236
＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．
答案 33
解析 由双曲线方程x 264－y 236
＝1知，a ＝8，b ＝6， 则c ＝a 2＋b 2＝10.
∵P 是双曲线上一点，
∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，
又|PF 1|＝17，
∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.
又|PF 2|≥c －a ＝2，
∴|PF 2|＝33.
11．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的曲线方程．
解 设动圆M 的半径为r ，由于动圆与圆C 1相外切，所以|MC 1|＝r ＋2，又动圆与圆C 2相内切，所以有|MC 2|＝r －2，于是|MC 1|－|MC 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝22，且22<|C 1C 2|，因此动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支．
设其方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，则有2a ＝22，即a ＝2， 又
c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－2＝14，
于是动圆圆心的曲线方程为x 22－y 214
＝1 (x >0)． 12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；
(2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2
－4k
＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线； (4)当0<k <1时，方程变为x 24k
＋y 24
＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆； (5)当k >1时，方程变为x 24k
＋y 24
＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 三、探究与拓展
13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．
解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2
a 2－y 2
b 2
＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，
解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22
＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，
又|MF 1|＋|MF 2|＝63，
故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，
因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，
而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|2
2·|MF 2|·|F 1F 2|
<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。