解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]

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解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)
一.选择题(共4小题)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()
A.B.C.D.
2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4B.C.D.2
3.已知a
1,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列,且a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=ln(a
1
+a
2
+a
3
),若a
1
>1,则
()
A.a
1<a
3
,a
2
<a
4
B.a
1
>a
3
,a
2
<a
4
C.a
1
<a
3
,a
2
>a
4
D.a
1
>a
3
,a
2
>a
4
4.记S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和.若3S
3
=S
2
+S
4
,a
1
=2,则a
5
=()
A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
二.填空题(共4小题)
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= .
7.设{a
n }是等差数列,且a
1
=3,a
2
+a
5
=36,则{a
n
}的通项公式为.
8.记S
n 为数列{a
n
}的前n项和.若S
n
=2a
n
+1,则S
6
= .
三.解答题(共9小题)
9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过
点P(﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B ﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
13.设{a
n }是首项为a
1
,公差为d的等差数列,{b
n
}是首项为b
1
,公比为q的等
比数列.
(1)设a
1=0,b
1
=1,q=2,若|a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=1,2,3,4均成立,求d的取值
范围;
(2)若a
1=b
1
>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b
1
,m,q表示).
14.已知等比数列{a
n }的公比q>1,且a
3
+a
4
+a
5
=28,a
4
+2是a
3
,a
5
的等差中项.数
列{b
n }满足b
1
=1,数列{(b
n+1
﹣b
n
)a
n
}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{b
n
}的通项公式.
15.设{a
n }是等比数列,公比大于0,其前n项和为S
n
(n∈N*),{b
n
}是等差数
列.已知a
1=1,a
3
=a
2
+2,a
4
=b
3
+b
5
,a
5
=b
4
+2b
6

(Ⅰ)求{a
n }和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{S
n }的前n项和为T
n
(n∈N*),
(i)求T
n

(ii)证明=﹣2(n∈N*).
16.等比数列{a
n }中,a
1
=1,a
5
=4a
3

(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)记S
n 为{a
n
}的前n项和.若S
m
=63,求m.
17.记S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和,已知a
1
=﹣7,S
3
=﹣15.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求S
n ,并求S
n
的最小值.
解三角形、数列2018年全国高考分类真题(含答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()
A.B.C.D.
【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
△ABC的面积为,
∴S
△ABC
==,
∴sinC==cosC,
∵0<C<π,∴C=.
故选:C.
2.在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()
A.4B.C.D.2
【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,
BC=1,AC=5,则AB====4.
故选:A.
3.已知a
1,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列,且a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=ln(a
1
+a
2
+a
3
),若a
1
>1,则
()
A.a
1<a
3
,a
2
<a
4
B.a
1
>a
3
,a
2
<a
4
C.a
1
<a
3
,a
2
>a
4
D.a
1
>a
3
,a
2
>a
4
【解答】解:a
1,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号
相同,偶数项符号相同,
a
1
>1,设公比为q,
当q>0时,a
1+a
2
+a
3
+a
4
>a
1
+a
2
+a
3
,a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=ln(a
1
+a
2
+a
3
),不成立,
即:a
1>a
3
,a
2
>a
4
,a
1
<a
3
,a
2
<a
4
,不成立,排除A、D.
当q=﹣1时,a
1+a
2
+a
3
+a
4
=0,ln(a
1
+a
2
+a
3
)>0,等式不成立,所以q≠﹣1;
当q<﹣1时,a
1+a
2
+a
3
+a
4
<0,ln(a
1
+a
2
+a
3
)>0,a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=ln(a
1
+a
2
+a
3
)不
成立,
当q∈(﹣1,0)时,a
1>a
3
>0,a
2
<a
4
<0,并且a
1
+a
2
+a
3
+a
4
=ln(a
1
+a
2
+a
3
),能
够成立,故选:B.
4.记S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和.若3S
3
=S
2
+S
4
,a
1
=2,则a
5
=()
A.﹣12 B.﹣10 C.10 D.12
【解答】解:∵S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和,3S
3
=S
2
+S
4
,a
1
=2,
∴=a
1+a
1
+d+4a
1
+d,
把a
1
=2,代入得d=﹣3
∴a
5
=2+4×(﹣3)=﹣10.
故选:B.
二.填空题(共4小题)
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为9 .
【解答】解:由题意得acsin120°=asin60°+csin60°,
即ac=a+c,
得+=1,
得4a+c=(4a+c)(+)=++5≥2+5=4+5=9,
当且仅当=,即c=2a时,取等号,
故答案为:9.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,
则sinB= ,c= 3 .
【解答】解:∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
a=,b=2,A=60°,
∴由正弦定理得:,即=,
解得sinB==.
由余弦定理得:
cos60°=,
解得c=3或c=﹣1(舍),
∴sinB=,c=3.
故答案为:,3.
7.设{a
n }是等差数列,且a
1
=3,a
2
+a
5
=36,则{a
n
}的通项公式为a
n
=6n﹣3 .
【解答】解:∵{a
n }是等差数列,且a
1
=3,a
2
+a
5
=36,
∴,
解得a
1
=3,d=6,
∴a
n =a
1
+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3.
∴{a
n }的通项公式为a
n
=6n﹣3.
故答案为:a
n
=6n﹣3.
8.记S
n 为数列{a
n
}的前n项和.若S
n
=2a
n
+1,则S
6
= ﹣63 .
【解答】解:S
n 为数列{a
n
}的前n项和,S
n
=2a
n
+1,①
当n=1时,a
1=2a
1
+1,解得a
1
=﹣1,
当n≥2时,S
n﹣1=2a
n﹣1
+1,②,
由①﹣②可得a
n =2a
n
﹣2a
n﹣1

∴a
n =2a
n﹣1

∴{a
n
}是以﹣1为首项,以2为公比的等比数列,
∴S
6
==﹣63,
故答案为:﹣63
三.解答题(共9小题)
9.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角,
∵cosB=﹣,∴sinB===,
由正弦定理得=得sinA===,
则A=.
(Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,
即64=49+c2+2×7×c×,
即c2+2c﹣15=0,
得(c﹣3)(c+5)=0,
得c=3或c=﹣5(舍),
则AC边上的高h=csinA=3×=.
10.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终
边过点P(﹣,﹣).
∴x=﹣,y=,r=|OP|=,
∴sin(α+π)=﹣sinα=;
(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,
得,,
又由sin(α+β)=,
得=,
则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=,
或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.
∴cosβ的值为或.
11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B ﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,又bsinA=acos(B﹣).
∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,
∴tanB=,
又B∈(0,π),∴B=.
(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,
由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,∵a<c,∴cosA=,
∴sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=2cos2A﹣1=,
∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.
12.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
∴由正弦定理得:=,即=,
∴sin∠ADB==,
∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,
∴cos∠ADB==.
(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,
∵DC=2,
∴BC=
==5.
13.设{a
n }是首项为a
1
,公差为d的等差数列,{b
n
}是首项为b
1
,公比为q的等
比数列.
(1)设a
1=0,b
1
=1,q=2,若|a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=1,2,3,4均成立,求d的取值
范围;
(2)若a
1=b
1
>0,m∈N*,q∈(1,],证明:存在d∈R,使得|a
n
﹣b
n
|≤b
1
对n=2,3,…,m+1均成立,并求d的取值范围(用b
1
,m,q表示).
【解答】解:(1)由题意可知|a
n ﹣b
n
|≤1对任意n=1,2,3,4均成立,
∵a
1
=0,q=2,
∴,解得.即≤d≤.
证明:(2)∵a
n =a
1
+(n﹣1)d,b
n
=b
1
•q n﹣1,
若存在d∈R,使得|a
n ﹣b
n
|≤b
1
对n=2,3,…,m+1均成立,
则|b
1+(n﹣1)d﹣b
1
•q n﹣1|≤b
1
,(n=2,3,…,m+1),
即b
1
≤d≤,(n=2,3,…,m+1),
∵q∈(1,],∴则1<q n﹣1≤q m≤2,(n=2,3,…,m+1),
∴b
1
≤0,>0,
因此取d=0时,|a
n ﹣b
n
|≤b
1
对n=2,3,…,m+1均成立,
下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值,
①当2≤n≤m时,﹣==,
当1<q≤时,有q n≤q m≤2,
从而n(q n﹣q n﹣1)﹣q n+2>0,
因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递增,
故数列{}的最大值为.
②设f(x)=2x(1﹣x),当x>0时,f′(x)=(ln2﹣1﹣xln2)2x<0,∴f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1,
当2≤n≤m时,=≤(1﹣)=f()<1,
因此当2≤n≤m+1时,数列{}单调递递减,
故数列{}的最小值为,
∴d的取值范围是d∈[,].
14.已知等比数列{a
n }的公比q>1,且a
3
+a
4
+a
5
=28,a
4
+2是a
3
,a
5
的等差中项.数
列{b
n }满足b
1
=1,数列{(b
n+1
﹣b
n
)a
n
}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值;
(Ⅱ)求数列{b
n
}的通项公式.
【解答】解:(Ⅰ)等比数列{a
n }的公比q>1,且a
3
+a
4
+a
5
=28,a
4
+2是a
3
,a
5

等差中项,
可得2a
4+4=a
3
+a
5
=28﹣a
4

解得a
4
=8,
由+8+8q=28,可得q=2(舍去),则q的值为2;
(Ⅱ)设c
n =(b
n+1
﹣b
n
)a
n
=(b
n+1
﹣b
n
)2n﹣1,
可得n=1时,c
1
=2+1=3,
n≥2时,可得c
n
=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1,上式对n=1也成立,
则(b
n+1﹣b
n
)a
n
=4n﹣1,
即有b
n+1﹣b
n
=(4n﹣1)•()n﹣1,
可得b
n =b
1
+(b
2
﹣b
1
)+(b
3
﹣b
2
)+…+(b
n
﹣b
n﹣1

=1+3•()0+7•()1+…+(4n﹣5)•()n﹣2,
b
n
=+3•()+7•()2+…+(4n﹣5)•()n﹣1,
相减可得b
n
=+4[()+()2+…+()n﹣2]﹣(4n﹣5)•()n﹣1
=+4•﹣(4n﹣5)•()n﹣1,
化简可得b
n
=15﹣(4n+3)•()n﹣2.
15.设{a
n }是等比数列,公比大于0,其前n项和为S
n
(n∈N*),{b
n
}是等差数
列.已知a
1=1,a
3
=a
2
+2,a
4
=b
3
+b
5
,a
5
=b
4
+2b
6

(Ⅰ)求{a
n }和{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{S
n }的前n项和为T
n
(n∈N*),
(i)求T
n

(ii)证明=﹣2(n∈N*).
【解答】(Ⅰ)解:设等比数列{a
n }的公比为q,由a
1
=1,a
3
=a
2
+2,可得q2﹣q﹣
2=0.
∵q>0,可得q=2.故.
设等差数列{b
n }的公差为d,由a
4
=b
3
+b
5
,得b
1
+3d=4,
由a
5=b
4
+2b
6
,得3b
1
+13d=16,
∴b
1
=d=1.
故b
n
=n;
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ),可得,
故=;
(ii)证明:∵==.
∴==﹣2.
16.等比数列{a
n }中,a
1
=1,a
5
=4a
3

(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)记S
n 为{a
n
}的前n项和.若S
m
=63,求m.
【解答】解:(1)∵等比数列{a
n }中,a
1
=1,a
5
=4a
3

∴1×q4=4×(1×q2),
解得q=±2,
当q=2时,a
n
=2n﹣1,
当q=﹣2时,a
n
=(﹣2)n﹣1,
∴{a
n }的通项公式为,a
n
=2n﹣1,或a
n
=(﹣2)n﹣1.
(2)记S
n 为{a
n
}的前n项和.
当a
1=1,q=﹣2时,S
n
===,
由S
m =63,得S
m
==63,m∈N,无解;
当a
1=1,q=2时,S
n
===2n﹣1,
由S
m =63,得S
m
=2m﹣1=63,m∈N,
解得m=6.
17.记S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和,已知a
1
=﹣7,S
3
=﹣15.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求S
n ,并求S
n
的最小值.
【解答】解:(1)∵等差数列{a
n }中,a
1
=﹣7,S
3
=﹣15,
∴a
1=﹣7,3a
1
+3d=﹣15,解得a
1
=﹣7,d=2,
∴a
n
=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9;
(2)∵a
1=﹣7,d=2,a
n
=2n﹣9,
∴S
===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,n
取得最小值为﹣16.
∴当n=4时,前n项的和S
n。

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