鄂州高中2018年自主招生综合素质考查数学与自然试题数学部分(含详细答案)

数学部分（一） 满分130分
第Ⅰ卷 选择题（85分）
一、选择题（共6题，每题6分，共36分） 1．函数x
y 1
-=图象的大致形状是（ ）
A
B
C
D
2．若不论k 取什么实数，关于x 的方程
（a 、
b 是常数）的根总是x ＝1，则
=b a
（ ） A ．8
7-
B ．
8
7 C ．7
8
-
D ．78
3．在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (1，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角
三角形，则满足条件的点C 有（ ）个。

A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
4．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概 率是（ ） A ．
356 B ． 528 C ． 328 D ． 556
5.十进制数)10(1356，记作0
1
2
3
)10(1061051031011356⨯+⨯+⨯+⨯=，二进制数
0123)2(212020211001⨯+⨯+⨯+⨯=.有一个)100(为整数≤<k 进制数)k (165，把它
的三个数字顺序颠倒得到的)k (561是原数的3倍，则) (k =. A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6.如图，在ABC Rt ∆中，4,3==BC AC ,D 为斜边AB 上一动点，
AC DF BC DE ⊥⊥,,垂足分别为F E ,.当线段EF 最小时，
=∠EFD cos ( )
A ． 54
B ．47
C ．43
D ．5
3
16
32=--+bk
x a
kx A B
C
E 题）
（第6
二、填空题（共7题，每题7分，共49分） 7．计算：
= _________ ．
8．如图，AB 是圆O 的直径，弦AB CD ⊥于E ,P 是BA 延长线上一点，连接PC 交圆O 于F ,若,7=PF ,13=FC ,1:4:2::=EB AE PA 则.____________长为CD
9．小王准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式
请帮小王分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，小王购买这三件物品实际所付出的钱的总数为_________________.
10．函数4433221+++++++=x x x x y 的最小值是 ． 11.设函数)0(,22≠+=
m nx mx y ，若存在正数n 使得x 和y 的取值范围相同，则实数
=m ．
12．已知：2
53+=
x ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：
2= .
13．用[x]表示不大于x 的最大整数，则方程[]2
230x x --=的非整数解是__________.
B
)
8(题第
第II 卷 解答题（共45分）
三、解答题（本题有3小题，共45分）
14. （本题满分14分）
一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1+k a ，且11=-+k k a a （k 为任意正整数），青蛙从1a 开始，经过)1(-n 次跳动的位置依次为1a ，2a ，3a ， ，n a .
(1)写出一种跳动4次的情况，使得051==a a ，且0521>+++a a a . （2）若41=a ，20192018=a ，求2000a .
15.（本题满分15分）
如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积分别是3，1，4，点E 在边AD 上，CE 交BD 于G ，设
λ==EA
DE
GD BG 。

（1）λ的值；
（2）若点H 在线段BE 上，且HE BE 3=，2222m DH BH AH =++，试用含m
的代数式表示△ABD 三边长的平方和。

16．(本题满分16分)
如图，直线AD 对应的函数关系式为，与抛物线交于点A (在x 轴上)、点D ，抛物线与 x 轴另一交点为B （3,0）, 抛物线与y 轴交点C （0,-3）,； (1)求抛物线的解析式；
(2)P 是线段AD 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
(3)若点F 是抛物线的顶点，点G 是直线AD 与抛物线对称轴的交点，在线段AD 上是否存在一点P ，使得四边形GFEP 为平行四边形；
(4)点H 为抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点Q ，使A 、D 、H 、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q 点坐标；如果不存在，请说明理由．
1--=x y A
B
D
E
G
C
H
题
第15
x
题
第16
数学与自然（一）答案
一、选择题（共6题，每题6分，共36分）
BACCAD
二、填空题（共7题，每题7分，共49分） 7.
26 8. 104 9. 600元 10. 8 11. 2- 12.
x x 6
11
613+- 13. 7 四、解答题（本题有3小题，共45分）
14.解：（1）这样的跳动之一是0,1,2,1,0（也可以是0，1，0,1,0）……6分 （2）从1a 经2017步到达2018a ，不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步
则⎩⎨⎧=-+=+201942017y x y x 解得：⎩⎨⎧==1
2016y x
即向左仅跳动一次，所以200320012000或者=a .……………………………………14分
15. ⑴△ABC 、△BCD 、△ACD 的面积分别为3、1、4，
∵
λ==EA
DE
GD BG ， ∴△ABD 的面积是6，
△BDE 的面积是1
6+λλ
， △CDG 的面积是1
1
+λ， △CDE 的
面积为1
4+λλ
，△DEG 的面积是
2)1(6+λλ。

（3分）由此可得：
1
1
+λ+
2
)1(6+λλ
=
1
4+λλ，即
01342=--λλ，∴1=λ （6分）
⑵由⑴知：G E 、分别为BD AD 、的中点，又∵点H 分线段BE 成
2=HE
BH
的两段， ∴点H 是△ABD 的重心。

（8分）
而当延长BE 到K ，使得EK BE =，连结DK AK 、后便得到平行四边形ABDK ，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：
2
2
2
2
4)(2BE AD BD AB +=+，类似地有⎩⎨⎧+=++=+2
2222
2224)(24)(2AG
BD AD AB DM AB AD BD ，其中点M 为边AB 的中点。

∴)(4)(322
2222AG DM BE AD BD AB ++=++。

（11
分）∵DM DH BE BH AG AH 3
2
,32,32===
，2222m DH BH AH =++，∴22224
9
m AG DM BE =++，∴22223m AD BD AB =++。

（15分）
16.解：（1）令y=0，则-x-1=0，解得x=-1，所以，点A 的坐标为（-1，0），
……………12分
（4）存在．理由如下：
①当点H 在x 轴下方时，∵点Q 在x 轴上， ∴HD ∥AQ ，
∴点H 的纵坐标与点D 相同，是-3， 此时，x 2-2x-3=-3， 整理得，x 2-2x=0，
解得x 1=0，x 2=2（舍去），。