高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法

线性规划中求整点最优解的两种常用方法
简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.
1、平移求解法
步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】
例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0
027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.
作出可行域，由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
=⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.
此时，5
211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5
211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是
截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法
步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】
例2、用“调整优值法” 解例1 .
解:由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+=+539
518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5
211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x
例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∈∈≥≥≤+≤+N
y N x y x y x y x ;0;040
356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760
,720(，此时，
7
1
1857760150720200=⋅+⋅
=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.
令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得32
1
2≤≤x ，故
当3=x 时，3
25
=y 为非整数解.
令y x z 150200+==1800，则)436(3
1
x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经
计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】
在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】
1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；
2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；
3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】
1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∈∈>>≤+<+z
y z x y x y x y x ,0,011
41023，求y x u 45+=的最大值. 2
怎样搭配价格最低？
3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？
4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】
1、最优整数解为（2，1），=m a
n u 14；
2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.
3、最后归结为在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,066151810
4y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解
问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.
4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.
15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，
答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。