高等数学同济第六版上册课件10-2二重积分的计算

D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1.
计算 I
D
sin y
y
d
，其中区域
D 为曲线 y
x 及直线
y=x 所围成。
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y
2 d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
D
D
1、二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图(极点在区域以外)
r 1()
r 2() r 1( )
D
D
r 2( )
o
Ao
, 1( ) r 2( ).
A
f (r cos , r sin )rdrd
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
D
2、二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图(极点在区域边界上)
, 0 r ( ).
r ( )
D
o
A
( )
f (r cos , r sin )rdrd d 0 f (r cos , r sin )rdr.
D
3、二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图（极点在区域内部）
f (x, y)d
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
( x,
y)dy
dx
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy.
a
1 ( x)
例 1 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
x y2
y x2
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
i i i
D
i
o
A
i
1 2 (ri
ri )2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
ri
(ri 2
ri
) ri
i
D
ri ri i ,
o
i i i i
A
f (x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
D
f ( x, y)d
d c
2 ( y ) 1 ( y )
f
(
x,
y)dx
dy
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx
0 2, 0 r ( ).
D
r ( )
o
A
2
( )
f (r cos , r sin )rdrd 0 d 0 f (r cos , r sin )rdr.
D
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
3).
D
6
2sin
2
练习 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
由r
a r
2
cos a
2
,
得交点A (a, ) , 6
所求面积 dxdy 4 dxdy
D
D1
4
6 d
a
2 cos 2
rdr
0
a
a2 ( 3 ). 3
例 4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
y 3x
o D2 1 x
x 1
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
a
1( x)
D
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx［. Y－型］
D
c
1( y)
（在积分中要正确选择积分次序）
二、利用极坐标系计算二重积分
r ri ri r ri
D
f (x, y) 为曲顶柱体的体积．
z
z f (x, y)
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
y
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f (x, y)d
b
2 ( x)
f
( x,
y 1(x)
y)dydx.
a 1 ( x)
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy.
a
1 ( x)
c
1 ( y )
例 2 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
2
y
y2
x
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2
dy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
例3. 计算
sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
2
dx
1
x xyd y 1
2 1
1 2
xy2
xd
1
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
2． 计算 I ln(1 x2 y2 )d ，其中区域 D 为曲线 x2 y2 1及
D
坐标轴围成的第一象限的部分。
作业 P154.
1(1,4),6(1,2,5) ,8,9
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
dxd
y
0
sin x
x
dx
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
例4. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdyΒιβλιοθήκη 2 d11
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
D
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
例2. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例 3 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D