数学人教版九年级上册《用一元二次方程解决几何图形问题》教学设计

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题
学习目标
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
2．列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题.
预习导学
自学指导阅读教材第20至21页探究3，完成预习内容.
知识探究
如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)
分析：封面的长宽之比是27∶21=9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a).
点拨：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试.
自学反馈
要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？
解：设镜框边的宽度为x cm，则有(29+2x)(22+2x)=(14+1)×(29×22)，即4x2+102x-159.5=0，
解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去).
答：镜框边的宽度应是1.48cm.
点拨：本题和上题一样，利用矩形的面积公式作为相等关系列方程.
合作探究
活动1 小组讨论
例如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽.
解：假设三条马路修在如图所示位置.
设马路宽为x，则有(40-2x)(26-x)=144×6，化简，得:x2-46x+88=0，解得：x1=2，x2=44，由题意：40-2x>0，26-x>0，则x<20.故x2=44不合题意，应舍去，∴x=2.
答：马路的宽为2 m.
点拨： 这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形.
活动2跟踪训练
1.如图，要设计一幅宽20 cm 、长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(精
确到0.1 cm).
解：设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，
得(30-4x)(20-6x)=（1-14
）×20×30.解得x 1≈0.6，x 2≈10.2(不合题意，舍去). 故3x=1.8，2x=1.2.
答：横彩条宽为1.8 cm ，竖彩条宽为1.2 cm.
2.用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm 2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm 2的长方形吗？如能，说明围法.
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm 2)，长方形的宽为x(cm)，求S 与x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？
解：(1)设此长方形的宽为x cm ，则长为(20-x)cm. 根据题意，得x(20-x)=75.
解得：x 1=5，x 2=15(舍去).
答：此长方形的宽是5 cm.
(2)不能.由x(20-x)=101，即x 2-20x+101=0，知Δ=202-4×101=-4<0，方程无解，故不能围成一个面积为101 cm 2的长方形.
(3)S=x(20-x)=-x 2+20x. 由S=-x 2+20x=-(x-10)2+100知当x=10时，S 的值最大，最大面积为100 cm 2. 点拨：怎样解决(2)中的能与不能的问题；用配方法解决第(3)问.
活动3课堂小结
用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.。