2020年高考数学专题复习直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ) (3)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( )
(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(2019·金华市东阳二中高三调研)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①
⎭
⎪⎬⎪⎫c ∥αc ∥β⇒α∥β ②
⎭
⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥
β
③
⎭
⎪⎬⎪⎫c ∥αa ∥c
⇒a ∥α
④
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α
其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②
D ．①③④
解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．
(教材习题改编)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
解析：选D.若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝
l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.
过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．
解析：各中点连线如图，只有平面EFGH 与平面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意．
答案：6
(教材习题改编)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．
解析：如图，连接AC ，BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE .
答案：平行
线面平行的判定与性质(高频考点)
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中．主要命题角度有：
(1)线面位置关系的判断；
(2)线面平行的证明；
(3)线面平行性质的应用．
角度一线面位置关系的判断
设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
【解析】A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n ∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.
【答案】 D
角度二线面平行的证明
(2019·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)若BC＝3，求三棱锥D­BC1C的体积．
【解】
(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD . 因为四边形BCC 1B 1是平行四边形． 所以点O 为B 1C 的中点．
因为D 为AC 的中点，所以OD 为△AB 1C 的中位线，所以OD ∥AB 1. 因为OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 所以AB 1∥平面BC 1D . (2)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中， 侧棱CC 1∥AA 1. 又因为AA 1⊥平面ABC ， 所以侧棱CC 1⊥平面ABC ，
故CC 1为三棱锥C 1­BCD 的高，A 1A ＝CC 1＝2， 因为S △BCD ＝12S △ABC ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AB ＝3
2，
所以VD ­BCC 1＝VC 1­BCD ＝1
3CC 1·S △BCD
＝13×2×3
2
＝1.
角度三 线面平行性质的应用
如图，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，
平面CEC 1与平面BB 1D 交于FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B .
【证明】 在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥CC 1，BB 1⊂平面BB 1D ，CC 1⊄平面BB 1D ， 所以CC 1∥平面BB 1D ，
又CC 1⊂平面CEC 1，平面CEC 1与平面BB 1D 交于FG ， 所以CC 1∥FG ，因为BB 1∥CC 1，
所以BB 1∥FG ，而BB 1⊂平面AA 1B 1B ，FG ⊄平面AA 1B 1B ，所以FG ∥平面AA 1B 1B .
证明直线与平面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．
(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
2.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
解：
(1)证明：连接BD与AC交于点O，连接EO.
因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .
因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC . (2)
PC 的中点G 即为所求的点．
证明如下： 连接GE 、FG ， 因为E 为PD 的中点， 所以GE 綊1
2
CD .
又F 为AB 的中点，且四边形ABCD 为矩形， 所以FA 綊1
2CD .
所以FA 綊GE .
所以四边形AFGE 为平行四边形，
所以FG ∥AE .又FG ⊄平面AEC ，AE ⊂平面AEC ， 所以FG ∥平面AEC .
面面平行的判定与性质
如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中
点，求证：
(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .
【证明】(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，
所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC，
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，
所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
证明：如图所示，连接HD，A1B，
因为D为BC1的中点，
H为A1C1的中点，
所以HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
所以HD∥平面A1B1BA.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，
连接A 1C 交AC 1于点M ，
因为四边形A 1ACC 1是平行四边形， 所以M 是A 1C 的中点，连接MD ， 因为D 为BC 的中点， 所以A 1B ∥DM . 因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，
DM ⊄平面A 1BD 1，
所以DM ∥平面A 1BD 1.
又由三棱柱的性质知，D 1C 1綊BD ， 所以四边形BDC 1D 1为平行四边形， 所以DC 1∥BD 1. 又DC 1⊄平面A 1BD 1，
BD 1⊂平面A 1BD 1，
所以DC 1∥平面A 1BD 1， 又因为DC 1∩DM ＝D ，
DC 1，DM ⊂平面AC 1D ，
所以平面A 1BD 1∥平面AC 1D .
1．(2019·嘉兴调研)如图，AB ∥平面α∥平面β，过A ，B 的直线m ，n 分别交α，β于C ，E 和D ，F ，若AC ＝2，CE ＝3，BF ＝4，则BD 的长为( )
A ．65
B ．75
C ．85
D ．95
解析：选C.由AB ∥α∥β，易证 AC CE ＝BD
DF
. 即AC AE ＝BD BF
， 所以BD ＝
AC ·BF AE ＝2×45＝8
5
. 2．如图所示，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，
EF 的中点．求证：
(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG . 证明：
(1)如图所示，设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，
连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线， 所以BE ∥MO .
因为BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .
(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN . 因为DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 因为M 为AB 的中点， 所以MN 为△ABD 的中位线， 所以BD ∥MN .
因为BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG .
因为DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线， 所以平面BDE ∥平面MNG .
立体几何中的探索性问题
如图，四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．
(1)求证：CE ∥平面PAD ；
(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【解】 (1)证明：如图所示，取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，
因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝1
2AB ，
又AB ∥CD ，CD ＝1
2AB .
所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，
因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH ，
又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE ∥平面PAD .
(2)如图所示，取AB 的中点F ，连接CF ，EF ， 所以AF ＝12AB ，又CD ＝1
2AB ，所以AF ＝CD ，
又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 所以CF ∥AD ，
又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ， 由(1)可知CE ∥平面PAD ，
又CE ∩CF ＝C ，故平面CEF ∥平面PAD ， 故存在AB 的中点F 满足要求．
解决探索性问题的策略方法
(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论
证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．
(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”． 如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．
(1)若F 为BB 1的中点，判断AC 1与平面DEF 是否平行？若平行，请给予证明，若不平行，说明理由；
(2)试问：在侧棱BB 1上是否存在点F ，使三棱锥F ­DEB 的体积与三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积之比为18
.
解：(1)法一：连接B 1C ，BC 1交于点G ，连接DG ，FG ， 则DG ∥AC 1，
因为DG ⊂平面GDF ，AC 1⊄平面GDF ， 则AC 1∥平面GDF .
由于平面GDF ∩平面DEF ＝DF ， 故AC 1与平面DEF 不可能平行．
法二：连接B 1C ，BC 1交于点G ，连接DG ，FG ， 则DG ∥AC 1，
而DG ⊄平面DEF ，且DG 与平面DEF 交于点D ， 故AC 1与平面DEF 不可能平行． (2)假设点F 存在，由
V F ­DEB
VABC ­A 1B 1C 1＝13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BA ×⎝ ⎛⎭⎪⎫
12BC sin ∠ABC ×BF 1
2×BA ×BC ×sin ∠ABC ×BB 1
＝112×BF BB 1＝18，得BF BB 1＝3
2
，显然，点F 不存在．
线线、线面、面面平行间的转化
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
线面、面面平行的判定中所遵循的原则
一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”
到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．
易错防范
(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
[基础达标]
1．在空间内，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD/⇒α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
3．(2019·杭州中学高三期中)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m∥α，则n∥α
解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β平行或相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β平行或相交；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶
FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )
A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形
B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形
C ．HG ∥平面AB
D ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形
解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊1
5
BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为
BC ，CD 的中点，所以HG 綊12
BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．
5．如图，若Ω是长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EB 1F ­HC 1G 后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论不正确的是( )
A ．EH ∥FG
B ．四边形EFGH 是矩形
C ．Ω是棱柱
D ．Ω是棱台
解析：选D.因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1， 所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCGF ，
又因为FG ⊂平面BCGF ，所以EH ∥FG ，故A 正确； 因为B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，EF ⊂平面A 1B 1BA ， 所以B 1C 1⊥EF ，则EH ⊥EF ，
又由上面的分析知，EFGH 为平行四边形，故它是矩形，故B 正确； 因为EH ∥B 1C 1∥FG ，故Ω是棱柱，故C 正确．
6．(2019·杭州二中期中考试)如图，在多面体ABC ­DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，
EF ∥DG ，且AB ＝DE ，DG ＝2EF ，则( )
A ．BF ∥平面ACGD
B ．CF ∥平面ABED
C ．BC ∥FG
D ．平面ABED ∥平面CGF
解析：选A.取DG 的中点为M ，连接AM ，FM ，如图所示．
则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，所以DE 綊FM ，因为平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ，所以AB ∥DE ，所以AB ∥FM .又AB ＝
DE ，所以AB ＝FM ，所以四边形ABFM 是平行四边形，即BF ∥AM .又BF ⊄平面ACGD ，所以BF
∥平面ACGD .故选A.
7.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN
ND
，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是__________．
解析：在平面ABD 中，AM MB ＝AN
ND
，
所以MN ∥BD .
又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， 所以MN ∥平面BCD . 答案：平行
8.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点． 故EF ＝1
2AC ＝ 2.
答案： 2
9．(2019·宁波效实中学模拟)如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只要M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，所以MN ∥平面B 1BDD 1.
答案：M 位于线段FH 上(答案不唯一)
10．在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1的中点，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，所得截面的面积是________．
解析：如图，
取AB ，C 1D 1的中点E ，F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，则平面A 1EF ∥平面BPC 1. 在△A 1EF 中，
A 1F ＝A 1E ＝5，EF ＝22，
S △A 1EF ＝12
×22×（5）2－（2）2＝6，
从而所得截面面积为2S △A 1EF ＝2 6.
答案：2 6
11．如图，已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．
(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .
证明：(1)因为AE ＝B 1G ＝1，所以BG ＝A 1E ＝2， 因为BG ∥A 1E ，所以A 1G ∥BE . 又因为C 1F 綊B 1G ，
所以FG ∥C 1B 1∥D 1A 1，所以四边形A 1GFD 1是平行四边形． 所以A 1G ∥D 1F ，所以D 1F ∥EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面．
(2)因为H 是B 1C 1的中点，所以B 1H ＝3
2.
又B 1G ＝1，所以
B 1G B 1H ＝23
. 又FC BC ＝2
3
，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， 所以△B 1HG ∽△CBF ， 所以∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， 所以HG ∥FB .
又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，
FB ∩BE ＝B ，所以平面A 1GH ∥平面BED 1F .
12．如图，斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．
(1)当
A 1D 1
D 1C 1
等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC
的值．
解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，
此时
A 1D 1
D 1C 1
＝1. 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.
由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点． 在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， 所以OD 1∥BC 1.
又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， 所以BC 1∥平面AB 1D 1. 所以
A 1D 1
D 1C 1
＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1， 平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. 所以
A 1D 1D 1C 1＝A 1O O
B ，A 1D 1D 1
C 1＝DC A
D . 又因为
A 1O
OB
＝1， 所以DC AD
＝1，即AD DC
＝1. [能力提升]
1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边
BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH 所在四边形的面积为定值；
③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C.由题图知，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)． 所以③是正确的；
因为水是定量的(定体积V )．
所以S △BEF ·BC ＝V ，即1
2
BE ·BF ·BC ＝V .
所以BE ·BF ＝2V
BC
(定值)，即④是正确的，故选C.
2．(2019·杭州二中模拟)已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件： ①α内不共线的三点到β的距离相等； ②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；
③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判定α∥β的是( ) A ．① B ．② C ．①③
D ．③
解析：选D.①中，α内的三点中如果一点在平面β的一侧，另两点在平面β的另一侧，也可满足这三点到β的距离相等，所以①不符合题意．②中，l 与m 平行时，α与β也可能相交．③中，如图所示，过直线l 作一平面γ，设γ∩α＝a ，γ∩β＝b .因为l ∥α，l ∥
β，所以l ∥a ，l ∥b ，所以a ∥b ，所以α∥β.过直线m 作一平面σ，设σ∩α＝c ，σ∩β＝d .因为m ∥α，m ∥β，所以m ∥c ，m ∥d ，所以c ∥d ，所以c ∥β.因为l ，m 是两条异
面直线，所以a ，c 必相交，所以α∥β，所以③符合题意．
3．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB
∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________．
解析：根据余弦定理，得
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝39，
所以BC ＝39.
因为BC ∥α，MN ＝α∥平面ABC ，所以MN ∥BC ， 又G 是△ABC 的重心，连接AG 交BC 于D ，
所以AG AD ＝23＝MN BC ，则MN ＝2
3
39.
答案：2
3
39
4．(2019·温州中学高考模拟)如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱
AD 上一点，且AP ＝a
3
，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．
解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面
A 1
B 1
C 1
D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .
又因为B 1D 1∥BD ， 所以BD ∥PQ ，
设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ， 所以△APM ∽△DPQ .
所以PQ PM ＝PD
AP
＝2，即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB ，
所以PM BD ＝AP AD ＝13
，
所以PM ＝1
3
BD ，又BD ＝2a ，
所以PQ ＝22
3a .
答案：223
a
5．(2019·杭州学军中学高三模拟)如图，一个侧棱长为l 的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC ，BC ，B 1C 1，A 1C 1的中点D ，E ，F ，G .
(1)求证：平面DEFG ∥平面ABB 1A 1； (2)当底面ABC 水平放置时，求液面的高．
解：(1)证明：因为D ，E 分别为棱AC ，BC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE ∥AB .又DE ⊄平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1.同理DG ∥平面ABB 1A 1，又
DE ∩DG ＝D ，所以平面DEFG ∥平面ABB 1A 1.
(2)当直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1容器的侧面AA 1B 1B 水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1容器的高，即侧棱长l ，当底面ABC 水平放置时，设液面的高为h ，△ABC 的面积为S ，
则由已知条件可知，△CDE ∽△CAB ，且S △CDE ＝14S ，所以S 四边形ABED ＝3
4S .
由于两种状态下液体体积相等，
所以V 液体＝Sh ＝S 四边形ABED l ＝34Sl ，即h ＝3
4l .
因此，当底面ABC 水平放置时，液面的高为3
4
l .
6．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8.点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1
上，过点E 、F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH .
(1)求证：A 1E ＝D 1F ；
(2)判断A 1D 与平面α的关系．
解：(1)证明：过点E 分别作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥D 1C 1于点N .
21 设MH ＝m ，NF ＝n .
因为EFGH 是正方形，所以EF ＝EH ＝22HF . 又在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝8，BC ＝10.
所以102＋n 2＝82＋m 2＝12
[102＋82＋(m －n )2] 解得n ＝0，m ＝6.
所以N 与F 重合．所以A 1E ＝D 1N ＝D 1F .
(2)由(1)知，A 1D ≠EG .又A 1E ∥DG . 所以四边形A 1DGE 是以A 1D 与EG 为腰的梯形， 即A 1D 与EG 相交．又EG ⊂α.
所以直线A 1D 与平面α相交．。