广东省广州市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷(一模)(含解析)
2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷(一模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数z =a+i3−4i ∈R ，则实数a 的值是( )A. −34B. 34C. 43D. −432. 已知集合U =R ，函数y =√1−x 的定义域为M ，集合N ={x|x 2−x ≤0}，则下列结论正确的是( )A. M ∩N =NB. M ∩(∁∪N)=⌀C. M ∪N =UD. M ⊆(∁∪N)3. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( )A. x =60tB. x =60t +50tC. x ={60t,(0≤t ≤2.5)150−50t,(t >3.5)D. x ={60t,(0≤t ≤2.5)150,(2.5≤t ≤3.5)150−50(t −3.5),(3.5<t ≤6.5)4. 已知m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为两个非零向量，则“m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0”是“m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为钝角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示为某二次函数f(x)的图象，若函数g(x)=f′(x)f(x)，(f′(x)是f(x)的导函数)，则g(x)的图象是( )A.B.C.D.6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中选出三个数，排成一个三位数．在这个三位数是偶数的条件下，该三位数的三个数字之和为偶数的概率是( )A. 1126B. 1150C. 113D. 9267. 已知直线l 的倾斜角α=30°，则直线l 的斜率k =( )A. √3B. √33C. 12D. √328. 函数y =(1a )x −b 与函数y =log a (x −b)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的顶点为O ，焦点为F ，准线为l.P(x,y)是抛物线C 上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于点Q ，则( )A. |PF|=x +p2B. 线段FQ 的垂直平分线经过点PC. 以为PF 直径的圆与y 轴相切D. 以为PF 直径的圆与准线相切10. 对于函数f(x)={sinx,sinx ≥cosxcosx,sinx <cosx，下列说法中正确的是( )A. f(x)是以2π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 当且仅当x=2kπ+5π4(k∈Z)时，f(x)取得最小值−√22D. 当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<011.已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则()A. △AEF是正三角形B. 平面AEF⊥平面CGHC. 直线CG与平面AEF所成角的正切值为√2D. 当AB=2时，多面体ABCD−EFGH的体积为8312.已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a4−a2=4.数列{a n}的前n项和为S n，数列{1S n}的前n项和为T n，若T n>99100，则n的可能取值为()A. 98B. 99C. 100D. 101三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.己知a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,1).若2a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角是锐角，则x的取值范围______．14.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ŷ=b̂x+â，其中b̂=0.76，â=y−−b̂x−，据此估计，该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为______万元．15.双曲线=1的渐近线方程为________．16.半径为13的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为25π、144π，则两个平行平面间的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角、、所对的边分别为、、，满足．(1)求角；(2)求的取值范围．18.设数列a1，a2，…，a2015满足性质P：a1+a2+a3+⋯+a2015=0，|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a2015|=1．(Ⅰ)(ⅰ)若a1，a2，…，a2015是等差数列，求a n；(ⅰ)是否存在具有性质P的等比数列a1，a2，…，a2015？(Ⅱ)求证：a1+12a2+13a3+⋯+12015a2015≤10072015．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4√5．(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角A−PB−D的余弦值．20.电动车企业生产每台车的利润与车首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种型号电动车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种型号电动车中各随机抽取50台，统计数据如下：型号甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤11<x≤2x>2数量(台)23451445每台利润(元)100200300150180290将频率视为概率．(Ⅰ)从该厂生产的甲、乙两种型号电动车中随机各抽取一台，求至少有一台首次出现故障发生在保修期内的概率；(Ⅱ)若该厂生产的电动车均能售出，记生产一台甲型号的车利润为X1，生产一台乙型号的车利润为X2，若该厂预计今后这两种型号电动车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种型号的电动车？并说明理由．21. 已知圆F ：x 2+(y −1)2=1，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切，与定圆F 相外切．(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点M(0,2)的直线交曲线C 于A ，B ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的方程． 22. 设函数，其中．(1)当时，求在曲线上一点处的切线方程；(2)求函数的极值点。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
设这7天降雨量分别为X],a∙2 tx3tx4tx5tx6, J7
因为1厘米=10毫米,这7天降雨量分别为IOxI, 10‰, IOX3，IOX4，IoX5，IOX6，IO-V7,
平均值为10无二265,
所以标准差变为-X（IOxll-IOx）'xf=10×6」=61.
Y 7ZI=Iy 7/?=i
故选：C
【点睛】
本题考査统讣知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，屈于基础题・
4.若0<方<1,则““>戻”是“u>b”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】
因为OCbVl,所以b-b3=b（l-b2）>0,即b>b∖故">方可推出a > b'，
A. (0, 1)B.(—3,0)<j(1,2)
C.(—3,1)D.(―2,0)<j(1,3)
【答案】B
【解析】化简集合A, B,根据交集运算即可求值.
【详解】
因为A = {x∖x<x2} =(Y,0)u(1,+oc),
B = {x∖x2+X —6 v0} = (-3,2)
所以ACB = (-3,0)u(l,2)∙
而a >b3推不出u >b,（例如“=丄"=丄）42
故“α>Z√”是∏"的必要不充分条件.
故选:A
【点睹】
本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.
5.函数/(X) = x2SinX-XCOSx⅛[-π,π]±的图象大致为()
广东省七校联合体2021届高三第一次联考数学（理）试题及答案
⼴东省七校联合体2021届⾼三第⼀次联考数学（理）试题及答案⼴东省七校联合体2021届⾼三第⼀次联考试卷（8⽉）理科数学⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求。
1.已知集合，集合，则AB =（）A ．(2,3)B ．(1,2)-C ．(3,3)-D ．(1,3)- 2.已知i 为虚数单位，(1)3z i i +=-，则在复平⾯上复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限 3.为⽐较甲、⼄两名⾼中学⽣的数学素养，对课程标准中规定的数学六⼤素养进⾏指标测验（指标值满分为5分，分值⾼者为优），根据测验情况绘制了如图所⽰的六⼤素养指标雷达图，则下⾯叙述正确的是（）A ．⼄的数据分析素养优于甲B ．⼄的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六⼤素养整体⽔平优于⼄D ．甲的六⼤素养中数据分析最差 4. 已知1cos(),63πα+=则sin(2)6πα-=（） A ．79-B ．79C ．89D ． 89-5.已知抛物线21:12C y x =与双曲线2222:13x y C a -=的焦点相同，双曲线2C 的离⼼率为（）A. 2B. 6C. 62D. 526.若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最⼩正周期为π，若将其图象向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．1()sin()26g x x π=+ B ．1()sin()23g x x π=- C ．()sin(2)6g x x π=+D ．()cos 2g x x =7.在直⾓梯形ABCD 中，4,2AB CD ==，//,AB CD AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则2{|60}A x x x =+->{|13}B x x =-<<()AB AC AE ?+=（）A ．B ．C ．D ． 8.设函数21()ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．9.已知长⽅体1111ABCD A B C D -中，14,2AB CC ==，长⽅体的体积是32，则直线1BC 和平⾯11DBB D 所成⾓的正弦值为（）A.32 B. 52 C. 105 D. 101010.已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ?=（）A.83 B.833C.163D.163311.图中长⽅形的总个数中，其中含阴影部分的长⽅形个数的概率为（）A. 124 B.1235C. 115D. 3121012. 已知数列的前项和为，若为函数的最⼤值，且满⾜，则数列的前2019项之积2019A =（） {}n a n n S 1a ()()3sin cos f x x x x =+∈R 112n n n n n a a a S a S +-=-{}n aA ．20192B ．C ．D ． 1⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)
2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。
广东省广州市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
广东省广州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<„ D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．4．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A BC D 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即2222c a -=，因为1ce a=>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 6．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 7．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.8．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A．2B1 C．3- D1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得22223412a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222223441442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题12．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题(丙卷)数学(理)(解析版)
2021年“超级全能生”高考数学联考试卷（理科）（丙）（1月份）一、选择题（每小题5分）.1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为（3，4），则下列等式错误的是（）A．z•i＝﹣4+3i B．（+1）i＝3+4iC．|z|＝5D．2．已知全集为R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|log2（x+3）＜2}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3} 3．记（x+y）6＝a0x6+a1x5y+a2x4y2+a3x3y3+a4x2y4+a5xy5+a6y6，则a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中最大的数为（）A．15B．20C．25D．304．已知锐角α，β满足sin（α﹣）＝，，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．5．已知2a＝3b＝6，c＝log a b，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b6．已知正项等差数列{a n}和正项等比数列{b n}，a1＝b1＝1，b3是a2，a6的等差中项，a8是b3，b5的等比中项，则下列关系成立的是（）A．a100＞b100B．a1024＝b11C．a10＞b5D．a99＞b97．如图，二面角α﹣l﹣β为60°，A∈α，B∈β，C，D，E∈l，∠BCD＝45°，∠AED＝30°，AE＝2BC，l⊥平面ABD，则直线AB与β所成的角为（）A．45°B．60°C．90°D．30°8．已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2048B．1024C．2046D．409410．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝，PA＝2，∠PAB＝∠PAC，三棱锥P﹣ABC的体积为+1，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．24πD．16π11．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2（如图），过F2的直线交E于P，Q两点，且PF1⊥x轴，|PF2|＝13|F2Q|，则E的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若∀x2≤0，∃x1＞0，使f（x1）+f（x2）＝0成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分）.13．已知单位向量，满足|+2|＝2，则与2﹣夹角的余弦值为．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣2，且3S n+a n+1+2＝0，设b n＝（﹣1）n a n，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝．15．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为．16．《九章算术》第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？其中“刍甍”（chúméng）是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍AB﹣CDEF如图所示，四边形CDEF为矩形，CD＝4，DE＝2，AB∥CD，AB ＜CD，若该刍甍高（AB到底面CDEF的距离）为1，体积为，则AB＝．三、解答题：共70分。
2021届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟测试数学试题(一)(word版,含官方答案)
★启用前注意保密2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={x|-7<3x-1<2},N={x|x+1>0},则M ∪N=A.(-2,+∞)B. (-1,1)C.(-∞,1)D.(-1,+∞) 2.若复数z 满足（z-1)(1+i)=2-2i,则｜z|=3.已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则f(2e)= A. 2e 2 B. 2e C. 1+ln2 D. 21n 24.函数f(x)=cos 2x+6cos(2π-x)(x ∈[0, 2π])的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.75.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列｛log 2a n }的前10项和等于 A. 1023 B.55 C.45 D.356.已知a,b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是A. ab 的最小值是1B.ab 的最大值是1C. 11a b +的最小值是92D. 11a b +的最大值是927.《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h,计算其体积V 的近似公式V≈2136L h .用该术可求得圆率π的近似值。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集U = {1, 2,3, 4,5}，集合M = {1, 2} ，N = {3, 4} ，则C U (M N ) =（)A.{5}B.{1, 2}C.{3, 4}D.{1, 2,3, 4}2.设iz = 4 + 3i ，则z =（）A.-3 - 4iB.–3 + 4iC.3 - 4iD.3 + 4i3.已知命题p : ∃x ∈R,sin x < 1；命题q : ∀x ∈R, e|x|≥ 1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，sin x < 1 ，故∃x ∈R ，p 为真命题，而函数y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e x≥1 ，故∀x ∈R ，y =e|x|≥ 1恒成立.则 q 也为真命题，所以 p ∧q 为真，选 A.2 ⎨ ⎩4. 函数 f (x ) = sinA. 3π 和B. 3π 和2C. 6π 和D. 6π 和2 答案：Cx+ cos x 3 3的最小正周期和最大值分别是（ ）解析：f (x ) =f (x )max2 sin( x + π) 3 4= ，T = 2π1 3= 6π .故选 C.⎧x + y ≥ 4, 5. 若 x , y 满足约束条件⎪x - y ≤ 2, 则 z = 3x + y 的最小值为（ ）⎪ y ≤ 3,A. 18B. 10C. 6D. 4答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，z = 3x + y 的最小值，即 y = -3x + z ， y轴截距最小值.根据图像可知 y = -3x + z 过点 B (1,3) 时满足题意，即 z min = 3 + 3 = 6 .2 26. cos2 π- cos 2 5π= （ ） 12 121 A.2B.3C. 2D.2答案：D解析：cos 2π - cos25π= cos 2 π- cos 2 (π - π) = cos 2 π - sin 2 π= cos π=∴选 D. 1212122 1212126217. 在区间(0, ) 2 随机取1 个数，则取到的数小于 1 的概率为（ ） 3A.B.C.D.答案：B3 2 3 3 3 4231316解析：在区间(0, 1 ) 随机取1 个数，可知总长度d = 1 ，取到的数小于 1，可知取到的长度范围22 31 d ' = 1，根据几何概型公式 p = d ' = 3 = 2，∴选 B.3 d 1 328. 下列函数中最小值为 4 的是（ ）A. y = x 2 + 2x + 4B. y =| sin x | +4| sin x |C. y = 2x + 22-x 4D. y = ln x +答案：Cln x解析：对于 A ， y = x 2 + 2x + 4 = x 2 + 2x + 1 + 3 = ( x + 1)2 + 3 ≥ 3.不符合，对于 B ， y =| sin x | +4 | sin x | ，令t =| sin x |∈[0,1] ，∴ y = t + 4 ， t根据对勾函数 y min = 1 + 4 = 5 不符合， 对于 C ， y = 2x+ 22-x= 2x+ 4 2x4，令t = 2x > 0 ，∴ y = t +≥ 2 t= 2 ⨯ 2 = 4 ，当且仅当t = 2 时取等，符合，对于 D ， y = ln x +4 ln x ，令t = ln x ∈ R ， y = t + 4 .t根据对勾函数 y ∈(-∞, -4] [4, +∞) ，不符合.1- x9. 设函数 f ( x ) =A. f ( x -1) -11+ x，则下列函数中为奇函数的是（ ）t ⋅ 4t2 6 2 2 2 1 B. f ( x -1) + 1C. f ( x + 1) -1D. f ( x + 1) + 1答案：B解析：1- x 2 f (x ) = = -1+ 1+ x ，1+ xf (x ) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g (x ) = 2 为奇函数.x所以选 B.10. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P 为 B 1D 1 的中点，则直线 PB 与 AD 1 所成的角为π A. 2 π B. 3 π C. 4πD.6答案：D解析：做出图形， AD 1 / / BC 1 ，所以∠PBC 1 为异面直线所成角，设棱长为1.BC = ， BP = ， PC = ， BP = 6 . 1 1 2 1 2 22 2 22 +3 - 1 cos ∠PBC = BC 1 + BP - C 1P = 2 2 = ，即∠PBC = π ，故选 D. 2BP ⋅ BC 1 2 ⨯ ⨯ 2 623 1-4(sin θ + 1)2 + 254 4 y y ⎨5 0 011. 设 B 是椭圆C :5 A.2B. x 2 + 25= 1的上顶点，点 P 在C 上，则 PB 的最大值为C.D. 2 答案：A解析：方法一：由C : x 2 + 25= 1， B (0,1)则C 的参数方程： ⎧⎪x = 5 cos θ.| PB |= ⎪⎩ y = sin θ== ≥ .2 5∴| PB |max = 2，故选 A.x 2 2 方法二：设 P (x 0 , y 0 ) ，则 0+ y 0 = 1( y 0 ∈[-1,1]) ①， B (0,1) .5因此| PB |2 = x 2 + ( y -1)2②将①式代入②式化简得：65(sin θ -1)2 + ( 5 cos θ )2 -4sin 2 θ - 2sin θ + 6| PB |2=-4( y +1)2+25≥25，当且仅当y=-1时| PB | 的最大值为5，故选 A.0 4 4 4 0 4 212.设a ≠ 0 ，若x =a 为函数f (x) =a(x -a)2 (x -b) 的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：f '(x) = 2a(x -a)(x -b) +a(x -a)2=a(x -a)(3x - 2b -a)当a > 0 时，原函数先增再减后增.原函数在f '(x) = 0 的较小零点时取得极大值.即a <a + 2b，即a <b ，∴ a2<ab . 3当a < 0 时，原函数先减再增后减.原函数在f '(x) = 0 的较大零点时取得极大值.即a >a + 2b，a >b ，a2<ab ，故选 D. 3二、填空题13.已知向量a = (2,5) ，b = (λ, 4) ，若a / /b ，则λ=.答案：85解析：由已知a / /b 可得2⨯4 = 5λ⇒λ=8.5x2-y2=14.双曲线4 51的右焦点到直线x + 2 y - 8 = 0 的距离为. 答案：12 + 225 3 3 2 5 ， 2解析：x - y 2 4 5 = 1的右焦点为(3, 0) 到直线 x + 2 y - 8 = 0 的距离 d = | 3 - 8 | = .15. 记 ∆ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 面 积 为 ，B = 60︒, a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.答案：2解析：由面积公式 S = 1ac sin B = ，且 B = 60︒ ，解得ac = 4 ，2又由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ， a 2 + c 2 = 3ac ，且b > 0解得b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.5 2俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为s 2 和 s 2 .12（1）求 x ， y ， s 2 ， s 2 ；12（2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y - x ≥ 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 答案：s 2+ s 2 1 2 10旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.50.0076 0.09 0.076 1 2 见解析解析：x = 9.8 +10.3 +10 +10.2 + 9.9 + 9.8 +10 +10.1+10.2 + 9.7 10= 10 ；y = 10.1+10.4 +10.1+10 +10.1+10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5 10= 10.3 .s 2= 1 (0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09)10 = 1⨯ 0.36 = 0.036 10 s 2= 11 (0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04)10 = ⨯ 0.4 = 0.04 . 10（2） y - x = 10.3 -10 = 0.32 = 2= 2 .∵则0.3 = > 2 =，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18. 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且PB ⊥ AM .（1） 证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ﹔（2） 若 PD = DC = 1，求四棱锥 P - ABCD 的体积.答案：见解析解析：s 2+ s 2 1 2 10 0.036 + 0.04 10 0.0304+ 1 - n 3n 3n + 1 n n + + + 19. 设{a } 是首项为1的等比数列，数列{b } 满足b=na n.已知a ，3a ，9a ，成等差数 nnn3列.1 2 3 （1） 求{a n } 和{b n }的通项公式；（2） 记 S ，和T 分别为{a } 和{b } 的前n 项和.证明： T<S n. nnnnn2答案：见解析 解析：设{a } 的公比为q ，则a = qn -1， 因为a ， 3a ， 9a 成等差数列，所以1 + 9q 2 = 2 ⨯ 3q ，解得q = 1，1故 a = 21 n -1 ， S 31- 1 = 3n 3= 3 (1- 1 ) . n (3) n 1-1 2 3n 3n 1 2 3n -1 n 又b n = 3n ，则T n = 31 + 32 + 33 + + 3n -1 + 3n ，1 1 12 3n -1 n 两边同乘 3 ，则 3 T n = 32 + 33 + 34 + + 3n 2 1 1 1 1 + ，3n +1 两式相减，得 3 T n = + 2 3 4 ， 3 3 3 3 1 (1- 1 ) 即 2 T = 3 3n - n = 1 (1- 1 ) - n ， 3 n1- 1 3 3n +1 2 3n 3n +1 3 1 n 3 2n + 3整理得T n = 4 (1- 3n ) - 2 ⨯ 3n = 4 - 2 ⨯ 3n ，2T - S = 2( 3 - 2n + 3) - 3 (1- 1 ) = - 4n + 3n n 4 2 ⨯ 3n 2 3n 2 ⨯ 3n故T < S n.< 0 ， n220. 已知抛物线C ： y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 到准线的距离为2 .（1） 求C 的方程，（2） 已知O 为坐标原点，点 P 在C 上，点Q 满足 PQ = 9QF ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：PQ = 9QF 2 9 4x y y 见解析解析：（1） 由焦点到准线的距离为 p ，则 p = 2 .抛物线c 的方程： y 2 = 4x .y 2 （2） 设点 P ( 0, y 0 ) ， Q (x Q , y Q ) ， F (1, 0) .4∵.⎧ y 2 ⎪y 2 - 0 = 9 - 9x ⎧ 2⎪ 9 + 0⎪x = 4 ∴ (x - 0 , y - y ) = 9(1- x , - y ) ⇒ ⎨ Q 4 Q ⇒ ⎨ Q 10 Q 4 Q 0 Q Q⎪ ⎪ ⎩y Q - y 0 = -9x Q ⎪ y = y 0则 k OQ = y Q x Qy 02 9 +0 41 9 + y 0 y 0 4 ≤ = 1 . 3 ⎩ Q 10 ∴直线OQ 斜率的最大值为 1.321. 已知函数 f (x ) = x 3 - x 2 + ax +1.（1） 讨论 f (x ) 的单调性；（2） 求曲线 y =f (x ) 过坐标原点的切线与曲线 y = f (x ) 的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1） f '(x ) = 3x 2 - 2x + a（i ）当∆ = 4 -12a ≤ 0 ，即a ≥ 1 时， f '(x ) ≥ 0 恒成立，即 f (x ) 在 f (x ) 在 x ∈ R 上单调3递增.（ii ）当∆ = 4 -12 > 0 ，即a < 1时， f '(x ) = 0 解得，x= 1-1- 3a ，x= 1+1- 3a .31323= =1- 1- 3 a 1+ 1+ 3a C C C 1 ⎨y = 1+ sin θ∴ f (x ) 在(-∞, 1-1- 3a ) ，( 3 3, +∞) 单调递增，在( 3 3调递减， 综上所述： 当 a ≥ 时， 3 f (x ) 在 R 上单调递增； 当 a < 1 时， 3f (x ) 在(, ) 单调递减.3 3（ 2 ） 设可原点切线的切点为 (t , t 3 - t 2 + at +1) ， 切线斜率 k =f '(t ) = 3t 2 - 2t + a . 又t 3 - t 2 + at +1k =，可得 tt 3 - t 2 + at +1t= 3t 2- 2t + a .化简得(t -1)(2t 2+ t +1) = 0 ，即t = 1 .∴切点为(1, a +1) ，斜率 k = a +1 ，切线方程为 y = (a +1)x ，将 y = (a +1)x ，y = x 3 - x 2 + ax +1联立可得 x 3 - x 2 + ax +1 = (a +1)x ，化简得(x -1)2 (x +1) = 0 ，解得x 1 = 1 ， x 2 = -1.∴过原点的切线与 y = f (x ) 公共点坐标为(1, a +1) ， (-1, -a -1) .22. 在直角坐标系 xOy 中，的圆心为C (2,1) ，半径为1.（1） 写出的一个参数方程;（2） 过点 F (4,1) 作的两条切线.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案： 见解析解析：（1）（2）的参数方程为⎧x = 2 + cos θ （θ 为参数）⎩的方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 1①当直线斜率不存在时，直线方程为 x = 4 ，此时圆心到直线距离为2 > r ，舍去；1+ 1- 3a 1- 1- 3a ,1+ 1+ 3a ) 单 C Ck 2+ 1k 2+1 3 3 3 3 3 3 ②当直线斜率存在时，设直线方程为 y -1 = k (x - 4) ，化简为kx - y - 4k +1 = 0 ，此时圆心C (2,1) 到直线的距离为d =| 2k -1- 4k +1|= r = 1 ，化简得2 | k |= ，两边平方有4k 2 = k 2 +1，所以k =±3代入直线方程并化简得 x - 3y + - 4 = 0 或 x + 3y - - 4 = 0 化为极坐标方程为ρ cos θ -3ρ sin θ = 4 - ⇔ ρ sin(θ + 5π) = 4 - 6 或 ρ cos θ + 3ρ sin θ = 4 + ⇔ ρ sin(θ + π) = 4 + .623. 已知函数 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |.（1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) ≥ 6 的解集；（2） 若 f (x ) > -a ，求a 的取值范围.答案： 见解析解析：当 a = 1 时， f (x ) ≥ 6 ⇔| x -1| + | x + 3 |≥ 6 ，当 x ≤ -3 时，不等式⇔ 1 - x - x - 3 ≥ 6 ，解得 x ≤ -4 ； 当-3 < x < 1 时，不等式⇔ 1 - x + x + 3 ≥ 6 ，解得 x∈∅ ；当 x ≥ 1 时，不等式⇔ x -1 + x + 3 ≥ 6 ，解得 x ≥ 2 .综上，原不等式的解集为(-∞, -4] [2, +∞) .（2）若 f (x ) > -a ，即 f (x )min > -a ，因为 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |≥| (x - a ) - (x + 3) |=| a + 3 | （当且仅当(x - a )(x + 3) ≤ 0 时，等号成立），所以 f (x )min =| a + 3 | ，所以| a + 3 |> -a ，即 a + 3 < a 或 a + 3 > -a ，解得3a ∈(- , +∞).23。
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。
请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。
2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{2,3\}$。
C。
$\varnothing$。
D。
$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。
$6-2i$。
B。
$4-2i$。
C。
$6+2i$。
D。
$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。
2.B。
2$\sqrt{2}$。
C。
4.D。
4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。
$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。
B。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。
C。
$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。
D。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题(解析版)广东卷
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相消法求和.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
对于C，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所以 点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ， ，则 ， ， ，所以 或 ．故 均满足，故C错误；
对于D，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为线段 ．设 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，此时 与 重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
14.已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
因为 ，
所以
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
2021年广东省高考数学大联考试卷及答案解析
第 1 页 共 22 页2021年广东省高考数学大联考试卷一．选择题（共8小题）1．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∪B ＝（ ）A ．（0，+∞）B ．（2，3）C ．（0，3）D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足z ＝（1+2i ）（2+i ）（i 为虚数单位），则|z |＝（ ）A ．2B ．4C ．5D ．53．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为BC 的中点，则四面体AEDC 1的体积为（ ）A ．4B ．83C ．43D ．24．已知等比数列{a n }的各项均为负数，若a 2a 8+2a 3a 9+a 72＝16，则a 5+a 7＝（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣8D ．﹣165．已知直线l ：x +y ﹣3＝0交圆x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0于A 、B 两点，则|AB |＝（ ）A ．2B ．1C ．2√2D ．√17 6．a ，b 都为正数，则“ab ≥14”是“1a +1b ≤4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应用．1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》，《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（ ）A ．35B ．710C ．45D ．9108．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，令a =f(212)212，b ＝f(515)515，c ＝f(log 32)log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c。
广东省广州市2021届新高考第一次大联考物理试卷含解析
广东省广州市2021届新高考第一次大联考物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，平行板电容器与电源连接，下极板B 接地，开关S 闭合，一带电油滴在电容器中的P 点处于静止状态。
下列说法正确的是（ ）A ．保持开关闭合，A 板竖直上移一小段距离，电容器的电容增大B ．保持开关闭合，A 板竖直上移一小段距离，P 点的电势将升高C ．保持开关闭合，A 板竖直上移一小段距离过程中，电流计中电流方向向右D ．开关S 先闭合后断开，A 板竖直上移一小段距离，带电油滴向下运动 【答案】B 【解析】 【详解】A ．保持开关闭合，则电压恒定不变，A 板竖直上移一小段距离，根据电容的决定式4SC kdεπ=，可知电容C 减小，故A 错误。
B ．根据UE d=，可知电场强度减小，根据U=Ed 可知，P 点与下极板的距离不变，但E 减小，故P 点与下极板的电势差减小，下极板带正电，故P 点的电势升高，故B 正确。
C ．根据Q=CU 可知，电容减小，电荷量减小，电容器放电，电流计中电流方向向左，故C 错误。
D ．开关S 先闭合后断开，则电荷量Q 不变，A 板竖直上移一小段距离，电场强度4U Q kQ E d Cd Sπε=＝＝ 恒定不变，故带电油滴静止不动，故D 错误。
故选B 。
2．五星红旗是中华人民共和国的象征和标志；升国旗仪式代表了我国的形象，象征着我国蒸蒸日上天安门广场国旗杆高度为32.6米，而升国旗的高度为28.3米；升国旗时间与北京地区太阳初升的时间是一致的，升旗过程是127秒，已知国旗重量不可忽略，关于天安门的升国旗仪式，以下说法正确的是（ ）A．擎旗手在国歌刚刚奏响时，要使国旗在升起初始时，旗面在空中瞬间展开为一平面，必须尽力水平向右甩出手中所握旗面B．国旗上升过程中的最大速度可能小于0.2m/sC．当国旗匀速上升时，如果水平风力大于国旗的重量，则国旗可以在空中完全展开为一个平面D．当国旗匀速上升时，如果水平风力等于国旗的重量，则固定国旗的绳子对国旗的作用力的方向与水平方向夹角45度【答案】D【解析】【详解】A．若用水平向右甩出手中所握旗面，则手给旗子水平方向的力，因为旗面受到竖直向下的重力，水平方向的力和重力无法平衡，则旗面在空中瞬间无法展开为一平面，故A错误；B．若旗上升过程中的最大速度小于0.2m/s，则在127s内上升的最大高度为：h=0.2×127m=25.4m＜28.3m故B错误；C．国旗匀速上升，说明国旗受力平衡，此时旗面受重力、水平风力、绳子的作用力，无论水平风力多大都无法和竖直方向的重力平衡，则国旗不可以在空中完全展开为一个平面，故C错误；D．国旗匀速上升，说明国旗受力平衡，如果水平风力等于国旗的重量，则水平风力和重力的合力与水平方向夹角为45°，则固定国旗的绳子对国旗的作用力应与水平风力和重力的合力，等大反向，则固定国旗的绳子对国旗的作用力的方向与水平方向夹角45°，故D正确。
广东省广州市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
广东省广州市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ， 所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.3．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 6．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误； 当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.7．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C【解析】 【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.9．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 11．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8-C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)x y ax e =+， 所以(2)xy e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年广东省广州市天河区高考数学一模试卷有答案
2021年广东省广州市天河区高考数学一模试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A ＝{x|x 2−x −6<0}，集合B ＝{x|x −1>0}，则(∁R A)∩B ＝（ ） A.(1, 3) B.(1, 3] C.[3, +∞) D.(3, +∞)2. 设复数z 满足(z +2i)⋅i =3−4i ，则复数z ¯在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 8=15−a 5，则S 9等于( ) A.18 B.36 C.45 D.604. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC.若m // α，n // α，且m ⊂β，n ⊂β，则α // βD.若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n5. (x 2+2)(1x 2−1)5的展开式的常数项是（ ） A.−3 B.−2 C.2 D.36. 已知x 1＝1n 12，x 2＝e −12，x 3满足e −x 3=ln x 3，则下列各选项正确的是（ ） A.x 1<x 3<x 2 B.x 1<x 2<x 3C.x 2<x 1<x 3D.x 3<x 1<x 27. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1∼9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1∼9这9数字表示两位数的个数为（ ）A.13B.14C.15D.168. 在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AE →⋅EC →=( )A.725 B.1225C.125D.144259. 函数f(x)=(21+e x −1)sin x 图象的大致形状是( )A. B.C. D.10. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A.72 B.60 C.36 D.2411. 已知函数f(x)＝sin (2x −π6)，若方程f(x)=35的解为x 1，x 2(0<x 1<x 2<π)，则sin (x 1−x 2)＝( ) A.−45 B.−35C.−√23D.−√3312. 已知函数f(x)=(k +4k )ln x +4−x 2x，k ∈[1, +∞)，曲线y =f(x)上总存在两点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)使曲线y =f(x)在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为( )A.[4, +∞)B.(4, +∞)C.[165,+∞) D.(165,+∞)13. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=1+a1+...+a n−1(n∈N∗, n≥2)，则当n≥1时，a n=________．14. 设当x=θ时，函数f(x)=sin x+√3cos x取得最大值，则tan(θ+π4)=________.15. 已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a−b＝________．16. 在三棱锥S−ABC中，SB＝SC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是________．17. 在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且cos2A+sin(3π2−A)+1＝0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S＝3√3，b＝3．求sin C的值．18. 在等比数列{a n}中，公比q∈(0, 1)，且满足a4＝2，a32+2a2a6+a3a7＝25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S11+S22+S33+⋯+S nn取最大值时，求n的值．19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4√33的菱形，∠BCD＝60∘，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF // AB，FB＝FC，EF=2√33．（1）求证：OE⊥平面ABCD；（2）若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q−BC−A的余弦值．20. 某种规格的矩形瓷砖(600mm×600mm)根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x(kg)都服从正态分布N(μ, σ2)，并把质量在(μ−3σ, μ+3σ)之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a(mm)、b(mm)，则“尺寸误差”(mm)为|a−600|+|b−600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0, 0.2]、(0.2, 0.5]，(0.5, 1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元，现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）(i)记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元），求ξ的分布列．(ii)由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974；0.997410≈0.9743，0.84＝0.4096，0.85＝0.32768−x+1−a(a∈R)．21. 已知函数f(x)=ln x+ax(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x >1，使f(x)+x <1−x x成立，求整数a 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cos α+√3sin α，y =sin α−√3cos α（α为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π6)=2．(1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，证明：|PA|⋅|PB|为定值．23. 已知函数f(x)＝|x −1|+|2x +m|(m ∈R)． （1）若m ＝2时，解不等式f(x)≤3；（2）若关于x 的不等式f(x)≤|2x −3|在x ∈[0, 1]上有解，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2021年广东省广州市天河区高考数学一模试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ） 1.【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】先确定A ，再求出∁R A ，而后可求(∁R A)∩B ． 【解答】A ＝{x|−2<x <3}，∁R A ＝{x|x ≤−2或x ≥3}， (∁R A)∩B ＝{x|x ≥3}＝[3, +∞)． 2.【答案】 B【考点】 共轭复数复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则，进行正确的计算即可． 【解答】解：设复数z =a +bi ，∴ (z +2i)⋅i =ai −(b +2)=3−4i ⇒b +2=−3，a =−4； ∴ a =−4，b =−5， ∴ 复数z =−4−5i ， ∴ z ¯=−4+5i ，复数z ¯在复平面内对应的点位于第二象限． 故选B . 3.【答案】 C【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的性质【解析】由等差数列的通项公式知a 2+a 8＝15−a 5⇒a 5＝5，再由等差数列的前n 项和公式知S 9=92×2a 5．【解答】解：∵ a 2+a 8=15−a 5， ∴ 2a 5=15−a 5，∴a5=5，∴S9=92×2a5=45．故选C.4.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m // α，n // α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m // α，n // α，且m⊂β，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D.5.【答案】D【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】(x2+2)(1x2−1)5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取1x2；第一个因式取2，第二个因式取(−1)5，故可得结论．【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取1x2，可得1 × C54 × ( − 1)4 = 5；第一个因式取2，第二个因式取(−1)5，可得2×(−1)5=−2；∴(x2+2)(1x2 − 1)5的展开式的常数项是5+(−2)=3.故选D.6.【答案】B【考点】指数函数与对数函数的关系 【解析】本题可以选择0，1两个中间值采用搭桥法处理． 【解答】依题意，因为y ＝ln x 为(0, +∞)上的增函数，所以x 1＝1n 12ln 1＝0；应为y ＝e x 为R 上的增函数，且e x>0，所以0<x 2＝e −12，<e 0＝1； x 3满足e −x 3=ln x 3，所以x 3>0，所以e −x 30， 所以ln x 3>0＝ln 1，又因为y ＝ln x 为(0, +∞)的增函数， 所以x 3>1，综上：x 1<x 2<x 3． 7.【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法原理分析可得答案． 【解答】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×2＝4个两位数； 则一共可以表示12+4＝16个两位数； 8.【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】解法一：利用三角形法则和两个垂直的平面向量的数量积为零，即可求得．解法二：建立平面直角坐标系，写出AE 与BD 的方程，求出点E 的坐标，再利用向量坐标计算AE →⋅EC →的值． 【解答】解法一，由题意知， AE →⋅EC →=AE →⋅(EO →+OC →) =AE →⋅EO →+AE →⋅OC →=AE →⋅AO →＝|AE →|×|AO →|×cos ∠OAE =|AE →|2 =(3×45)2=14425．解法二，建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，则A(0, 3)，B(0, 0)，C(4, 0)，D(4, 3)； 直线BD 的方程为y =34x ；由AE ⊥BD ，则直线AE 的方程为y −3=−43x ，即y =−43x +3；由{y =34xy =−43x +3 ，解得{x =3625y =2725，E(36, 27) 所以AE →=(3625, −4825)，EC →=(6425, −2725)， 所以AE →⋅EC →=3625×6425+(−4825)×(−2725)=14425．9. 【答案】 C【考点】函数奇偶性的判断 函数的图象【解析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f(1)的值的符号是否对应进行排除即可． 【解答】解：f(x)=(21+e x −1)sin x =1−e x1+e x ⋅sin x ， 则f(−x)=1−e −x1+e −x ⋅sin (−x)=e x −1e x +1⋅(−sin x)=1−e x1+e⋅sin x=f(x)，则f(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，当x=1时，f(1)=1−e1+e⋅sin1<0，排除A.故选C．10.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分3步进行分析：①、把3位女生分为2组，②，将2位男生全排列，③，2位男生全排列后形成的3个空位，在其中任选2个，安排2个女生组，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分3步进行分析：①、把3位女生分为2组，有C32＝3种情况，②，将2位男生全排列，有A22＝2种情况，③，2位男生全排列后形成的3个空位，在其中任选2个，安排2个女生组，需要考虑2个女生组两人之间的顺序，有A32A22＝12种情况，故有3×2×12＝72种不同排法，11.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值三角函数值的符号【解析】由已知可得x2=2π3−x1，结合x1<x2求出x1的范围，再由sin(x1−x2)=sin(2x1−2π3)=−cos(2x1−π6)求解即可．【解答】解：∵0<x<π，∴2x−π6∈(−π6,11π6)，又∵方程f(x)=35的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，∴x1+x22=π3，∴x2=2π3−x1，∴sin(x1−x2)=sin(2x1−2π3)=−cos(2x1−π6)，∵x1<x2,x2=2π3−x1，∴0<x1<π3，∴2x1−π6∈(−π6,π2)，∴ 由f(x 1)=sin (2x 1−π6)=35，得cos (2x 1−π6)=45，∴ sin (x 1−x 2)=−45. 故选A . 12.【答案】 B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 基本不等式在最值问题中的应用 函数恒成立问题【解析】求得f(x)的导数f′(x)，由题意可得f′(x 1)＝f′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)，化为4(x 1+x 2)＝(k +4k )x 1x 2，因此x 1+x 2>16k+4k对k ∈[1, +∞)都成立，令g(k)＝k +4k ，k ∈[1, +∞)，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：函数f(x)=(k +4k )ln x +4−x 2x，导数f ′(x)=(k +4k)⋅1x−4x 2−1．由题意可得f ′(x 1)=f ′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)． 即有k+4kx 1−4x 12−1=k+4kx 2−4x 22−1，化为4(x 1+x 2)=(k +4k )x 1x 2. 而x 1x 2<(x 1+x 22)2， ∴ 4(x 1+x 2)<(k +4k )(x 1+x 22)2， 化为x 1+x 2>16k+4k对k ∈[1, +∞)恒成立.令g(k)=k +4k，k ∈[1, +∞)，由k +4k ≥2√k ⋅4k =4，当且仅当k =2取得等号， ∴16k+4k≤4，∴ x 1+x 2>4，即x 1+x 2的取值范围是(4, +∞)． 故选B .二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 13.【答案】 2n−1【考点】数列递推式【解析】根据已知条件写出数列的前几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n=1+a1+...+a n−1 (n∈N∗, n≥2)，则a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，a4=8=23，…由此可得当n≥1时，a n=2n−1．故答案为：2n−1．14.【答案】2+√3【考点】两角和与差的正切公式两角和与差的正弦公式诱导公式【解析】f(x)解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x＝θ时函数f(x)取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．【解答】解：f(x)=sin x+√3cos x=2sin(x+π3).∵当x=θ时，函数f(x)取得最大值，∴θ+π3=π2+2kπ,k∈Z，∴θ=π6+2kπ，k∈Z，∴tan(θ+π4)=tan(π6+2kπ+π4)=tan(π4+π6)=1+√331−√33=2+√3．故答案为：2+√3. 15.【答案】15【考点】利用导数研究函数的极值【解析】根据函数f(x)＝x 3+ax 2+bx +a 2在x ＝1处有极小值10得f′(1)＝0，f(1)＝10即可求出a −b 的值． 【解答】当a ＝−3，b ＝3时，f′(x)＝3x 2−6x +3＝3(x −1)2， 此时x ＝1不是极小值点． ∴ a ＝4，b ＝−11， ∴ a −b ＝15． 故答案：15． 16. 【答案】20π3【考点】球的表面积和体积 【解析】如图所示，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ．设E 为△ABC 的中心，F 为△SBC 的中心，O 为三棱锥S −ABC 外接球的球心．连接OE ，OF ，OA ．四边形OEDF 为正方形．可得OA 为棱锥S −ABC 外接球的半径．利用勾股定理及其球的表面积计算公式即可得出． 【解答】 如图所示，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ．设E 为△ABC 的中心，F 为△SBC 的中心， O 为三棱锥S −ABC 外接球的球心．连接OE ，OF ，OA ．四边形OEDF 为正方形． 则OA 为棱锥S −ABC 外接球的半径．． ∴ OA =√OE 2+AE 2=(√33)(2√33)=√53．∴ 三棱锥S −ABC 外接球的表面积＝4π×53=20π3．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）17.【答案】∵ cos 2A +sin (3π2−A)+1＝0．∴ cos 2A −cos A +1＝0，可得：2cos 2A −cos A ＝0，解得：cos A =12，或cos A ＝0，∵ △ABC 为锐角三角形， ∴ cos A =12，∴ 可得：A =π3． ∵ S △ABC =12bc sin A =12bc ⋅√32=3√3，可得：bc ＝12，又b ＝3，可得：c ＝4，在△ABC 中，由余弦定理可知，a 2＝b 2+c 2−2bc cos A ＝16+9−2×3×4×12=25−12＝13，∴a=√13，在△ABC中，由正弦定理可知：asin A =csin C，可得：sin C=c⋅sin Aa=4×√32√13=2√3913．【考点】余弦定理【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos A的值，结合A的范围，可求A的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，从而解得c的值，由余弦定理可求a的值，由正弦定理可求sin C的值．【解答】∵cos2A+sin(3π2−A)+1＝0．∴cos2A−cos A+1＝0，可得：2cos2A−cos A＝0，解得：cos A=12，或cos A＝0，∵△ABC为锐角三角形，∴cos A=12，∴可得：A=π3．∵S△ABC=12bc sin A=12bc⋅√32=3√3，可得：bc＝12，又b＝3，可得：c＝4，在△ABC中，由余弦定理可知，a2＝b2+c2−2bc cos A＝16+9−2×3×4×12= 25−12＝13，∴a=√13，在△ABC中，由正弦定理可知：asin A =csin C，可得：sin C=c⋅sin Aa=4×√32√13=2√3913．18.【答案】a32+2a2a6+a3a7＝25，可得a32+2a3a5+a52＝(a3+a5)2＝25，由a4＝2，即a1q3＝2，①，由0<q<1，可得a1>0，a n>0，可得a3+a5＝5，即a1q2+a1q4＝5，②由①②解得q=12（2舍去），a1＝16，则a n＝16⋅(12)n−1＝25−n；b n＝log2a n＝log225−n＝5−n，可得S n=12n(4+5−n)=9n−n22，S n n =9−n2，则S11+S22+⋯+S nn=4+72+⋯+9−n2=12n(4+9−n2)=17n−n24=−14(n−172)2+28916，可得n＝8或9时，S11+S22+⋯+S nn取最大值18．则n的值为8或9．【考点】数列的求和【解析】（1）由条件判断a n>0，再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝log2a n＝log225−n＝5−n，可得S n=9n−n22，S nn=9−n2，再由等差数列的求和公式和配方法，可得所求最大值时的n的值．【解答】a32+2a2a6+a3a7＝25，可得a32+2a3a5+a52＝(a3+a5)2＝25，由a4＝2，即a1q3＝2，①，由0<q<1，可得a1>0，a n>0，可得a3+a5＝5，即a1q2+a1q4＝5，②由①②解得q=12（2舍去），a1＝16，则a n＝16⋅(12)n−1＝25−n；b n＝log2a n＝log225−n＝5−n，可得S n=12n(4+5−n)=9n−n22，S n n =9−n2，则S11+S22+⋯+S nn=4+72+⋯+9−n2=12n(4+9−n2)=17n−n24=−14(n−172)2+28916，可得n＝8或9时，S11+S22+⋯+S nn取最大值18．则n的值为8或9．19.【答案】如图，取BC中点G，连接FG，OG，因为FB＝FC，所以FG⊥BC，又因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD＝BC，FG⊂平面FBC，所以FG⊥平面ABCD，O，G分别为BD，BC中点，所以OG // AB，OG=12AB因为EF=2√33=12AB，EF // AB，所以四边形EFGO 为平行四边形， 所以OE // FG ，所以OE ⊥平面ABCD ．如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系， 显然二面角Q −BC −A 为锐二面角，设该二面角为θ，向量n →=(0, 0, 1)是平面ABC 的法向量，设平面QBC 的法向量v →=(x, y, 1)， 由题意可知FG ＝OE ＝BF sin 60∘＝2， 所以C(−2, 0, 0)，B(0, 2√33, 0)，E(0, 0, 2)，Q(1, 0, 1) 所以BQ →=(1, −2√33, 1)，CQ→=(3, 0, 1)，则{v →⋅BQ →=0v →⋅CQ →=0，即{x −2√33y +1=03x +1=0 ， 所以v →=(−13, √33, 1)， 所以cos θ=|n →⋅v →||n →||v →|=1×√133=3√1313．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直的判定【解析】（1）取BC 中点G ，连接FG ，OG ，证明FG ⊥平面ABCD ，FG // OE ，则OE ⊥平面ABCD ；（2）以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，分别求出平面ABC ，平面QBC 的法向量，将二面角Q −BC −A 转化为两个法向量夹角余弦值的问题． 【解答】如图，取BC 中点G ，连接FG ，OG ， 因为FB ＝FC ， 所以FG ⊥BC ，又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC ∩平面ABCD ＝BC ，FG ⊂平面FBC ， 所以FG ⊥平面ABCD ，O ，G 分别为BD ，BC 中点，所以OG // AB ，OG =12AB因为EF =2√33=12AB ，EF // AB ，所以四边形EFGO 为平行四边形， 所以OE // FG ，所以OE ⊥平面ABCD ．如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系， 显然二面角Q −BC −A 为锐二面角，设该二面角为θ，向量n →=(0, 0, 1)是平面ABC 的法向量，设平面QBC 的法向量v →=(x, y, 1)， 由题意可知FG ＝OE ＝BF sin 60∘＝2， 所以C(−2, 0, 0)，B(0, 2√33, 0)，E(0, 0, 2)，Q(1, 0, 1) 所以BQ →=(1, −2√33, 1)，CQ→=(3, 0, 1)，则{v →⋅BQ →=0v →⋅CQ →=0，即{x −2√33y +1=03x +1=0 ， 所以v →=(−13, √33, 1)， 所以cos θ=|n →⋅v →||n →||v →|=11×√133=3√1313．20.【答案】由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(u −3σ, u +3σ)之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在(u −3σ, u +3σ)之内（即没有废品）的概率为0.997410≈0.9743； 则这10片中至少有1片是废品的概率为1−0.9743＝0.0257；--------(ⅰ)由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1； 则ξ的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；-------- 计算P(ξ＝15)＝0.7×0.7＝0.49， P(ξ＝14)＝0.7×0.2×2＝0.28， P(ξ＝12.5)＝0.7×0.1×2＝0.14， P(ξ＝13)＝0.2×0.2＝0.04，P(ξ＝11.5)＝0.2×0.1×2＝0.04，P(ξ＝10)＝0.1×0.1＝0.01，得到ξ的分布列如下：-------------数学期望为E(ξ)＝15×0.49+14×0.28+13×0.04+12.5×0.14+11.5×0.04+10×0.01＝7.35+3.92+0.52+1.75+0.46+0.1＝14.1（元）；---------(ⅱ)设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有n片“优等”品，则有5−n片“一级”品，由已知7.5n+6.5(5−n)≥36，解得n≥3.5，则n取4或5；故所求的概率为P=C54×0.84×0.2+0.85＝0.4096+0.32768＝0.73728．-----------------------【考点】正态分布的密度曲线【解析】(Ⅰ)由正态分布的概率公式求值即可；(Ⅱ)(ⅰ)根据题意知ξ的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值；(ⅱ)根据题意求出“优等”品与“一级”品数，再计算所求的概率值．【解答】由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在(u−3σ, u+3σ)之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在(u−3σ, u+3σ)之内（即没有废品）的概率为0.997410≈0.9743；则这10片中至少有1片是废品的概率为1−0.9743＝0.0257；--------(ⅰ)由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；则ξ的可能取值为15，14，12.5，13，11.5，10元；--------计算P(ξ＝15)＝0.7×0.7＝0.49，P(ξ＝14)＝0.7×0.2×2＝0.28，P(ξ＝12.5)＝0.7×0.1×2＝0.14，P(ξ＝13)＝0.2×0.2＝0.04，P(ξ＝11.5)＝0.2×0.1×2＝0.04，P(ξ＝10)＝0.1×0.1＝0.01，得到ξ的分布列如下：-------------数学期望为E(ξ)＝15×0.49+14×0.28+13×0.04+12.5×0.14+11.5×0.04+10×0.01＝7.35+3.92+0.52+1.75+0.46+0.1＝14.1（元）；---------(ⅱ)设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有n片“优等”品，则有5−n片“一级”品，由已知7.5n+6.5(5−n)≥36，解得n≥3.5，则n取4或5；故所求的概率为P=C54×0.84×0.2+0.85＝0.4096+0.32768＝0.73728．-----------------------21.【答案】解：(1)由题意可知，x>0，f′(x)=1x −ax2−1=−x2+x−ax2，方程−x2+x−a=0对应的Δ=1−4a，①当Δ=1−4a≤0，即a≥14时，当x∈(0, +∞)时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递减；②当0<a<14时，方程−x2+x−a=0的两根为1±√1−4a2，且0<1−√1−4a2<1+√1−4a2，此时，在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上f′(x)>0，函数f(x)单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上f′(x)<0，函数f(x)单调递减；③当a≤0时，1−√1−4a2<0，1+√1−4a2>0，此时当x∈(0,1+√1−4a2)，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1+√1−4a2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；综上：当a≤0时，f(x)在(0,1+√1−4a2)上单调递增，在(1+√1−4a2,+∞)上单调递减；当0<a<14时，f(x)在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上单调递减；当a≥14时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；(2)原式等价于(x−1)a>x ln x+2x−1，即存在x>1，使a>x ln x+2x−1x−1成立．设g(x)=x ln x+2x−1x−1，x>1，则g′(x)=x−ln x−2(x−1)2，设ℎ(x)=x−ln x−2，则ℎ′(x)=1−1x =x−1x>0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增．又ℎ(3)=3−ln 3−2=1−ln 3<0，ℎ(4)=4−ln 4−2=2−2ln 2>0， 根据零点存在性定理，可知ℎ(x)在(1, +∞)上有唯一零点，设该零点为x 0，则x 0∈(3, 4)，且ℎ(x 0)=x 0−ln x 0−2=0，即x 0−2=ln x 0， ∴ g(x)min =x 0ln x 0+2x 0−1x 0−1=x 0+1，由题意可知a >x 0+1，又x 0∈(3, 4)，a ∈Z ， ∴ 整数a 的最小值为5． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 简单复合函数的导数【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质通过讨论a 的范围判断函数的单调性即可； （2）问题转化为存在x >1，使ax ln x+2x−1x−1成立．设g(x)=x ln x+2x−1x−1，x >1，根据函数的单调性求出a 的最小值即可． 【解答】解：(1)由题意可知，x >0，f ′(x)=1x −a x2−1=−x 2+x−ax 2，方程−x 2+x −a =0对应的Δ=1−4a ， ①当Δ=1−4a ≤0，即a ≥14时， 当x ∈(0, +∞)时，f ′(x)≤0， ∴ f(x)在(0, +∞)上单调递减；②当0<a <14时，方程−x 2+x −a =0的两根为1±√1−4a2， 且0<1−√1−4a2<1+√1−4a2，此时，在(1−√1−4a 2,1+√1−4a2)上f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； ③当a ≤0时，1−√1−4a2<0，1+√1−4a2>0，此时当x ∈(0,1+√1−4a2)，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1+√1−4a2,+∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；综上：当a ≤0时，f(x)在(0,1+√1−4a2)上单调递增，在(1+√1−4a2,+∞)上单调递减；当0<a<14时，f(x)在(1−√1−4a2,1+√1−4a2)上单调递增，在(0,1−√1−4a2),(1+√1−4a2,+∞)上单调递减；当a≥14时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；(2)原式等价于(x−1)a>x ln x+2x−1，即存在x>1，使a>x ln x+2x−1x−1成立．设g(x)=x ln x+2x−1x−1，x>1，则g′(x)=x−ln x−2(x−1)2，设ℎ(x)=x−ln x−2，则ℎ′(x)=1−1x =x−1x>0，∴ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增．又ℎ(3)=3−ln3−2=1−ln3<0，ℎ(4)=4−ln4−2=2−2ln2>0，根据零点存在性定理，可知ℎ(x)在(1, +∞)上有唯一零点，设该零点为x0，则x0∈(3, 4)，且ℎ(x0)=x0−ln x0−2=0，即x0−2=ln x0，∴g(x)min=x0ln x0+2x0−1x0−1=x0+1，由题意可知a>x0+1，又x0∈(3, 4)，a∈Z，∴整数a的最小值为5．22.【答案】解：(1)由x2+y2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4，得曲线C:x2+y2=4．直线l的极坐标方程展开为√32ρcosθ−12ρsinθ=2，故l的直角坐标方程为√3x−y−4=0．(2)由(1)得直线l为：√3x−y−4=0，令x=0，则P的坐标为(0, −4)，设过点P的直线方程为{x=t cosα，y=−4+t sinα（t为参数）代入C:x2+y2=4得t2−8t sinα+12=0，设A，B对应的参数为t1，t2，所以|PA|⋅|PB|=|t1t2|=12为定值．【考点】利用圆锥曲线的参数方程求最值圆的参数方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化【解析】（1）由x2+y2＝(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2＝4可得曲线C的直角坐标方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．【解答】解：(1)由x 2+y 2=(cos α+√3sin α)2+(sin α−√3cos α)2=4，得曲线C:x 2+y 2=4．直线l 的极坐标方程展开为√32ρcos θ−12ρsin θ=2， 故l 的直角坐标方程为√3x −y −4=0．(2)由(1)得直线l 为：√3x −y −4=0，令x =0，则P 的坐标为(0, −4)，设过点P 的直线方程为{x =t cos α，y =−4+t sin α（t 为参数） 代入C:x 2+y 2=4得t 2−8t sin α+12=0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，所以|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=12为定值．23.【答案】若m ＝2时，|x −1|+|2x +2|≤3，当x ≤−1时，原不等式可化为−x +1−2x −2≤3解得x ≥−43，所以−43≤x ≤−1， 当−1<x <1时，原不等式可化为1−x +2x +2≤3得x ≤0，所以−1<x ≤0， 当x ≥1时，原不等式可化为x −1+2x +2≤3解得x ≤23，所以x ∈Φ，综上述：不等式的解集为{x|−43≤x ≤0}； 当x ∈[0, 1]时，由f(x)≤|2x −3|得1−x +|2x +m|≤3−2x ，即|2x +m|≤2−x ，故x −2≤2x +m ≤2−x 得−x −2≤m ≤2−3x ，又由题意知：(−x −2)min ≤m ≤(2−3x)max ，即−3≤m ≤2，故m 的范围为[−3, 2]．【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．（2）已知条件转化为即|2x +m|≤2−x ，即−x −2≤m ≤2−3x ，即可求解实数m 的取值范围．【解答】若m ＝2时，|x −1|+|2x +2|≤3，当x ≤−1时，原不等式可化为−x +1−2x −2≤3解得x ≥−43，所以−43≤x ≤−1， 当−1<x <1时，原不等式可化为1−x +2x +2≤3得x ≤0，所以−1<x ≤0， 当x ≥1时，原不等式可化为x −1+2x +2≤3解得x ≤23，所以x ∈Φ，综上述：不等式的解集为{x|−43≤x ≤0}；当x ∈[0, 1]时，由f(x)≤|2x −3|得1−x +|2x +m|≤3−2x ，即|2x+m|≤2−x，故x−2≤2x+m≤2−x得−x−2≤m≤2−3x，又由题意知：(−x−2)min≤m≤(2−3x)max，即−3≤m≤2，故m的范围为[−3, 2]．。
2021-2022学年广东省广州市第一中学高一数学理联考试卷含解析
2021-2022学年广东省广州市第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （9）如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1—BD—C的大小为（）Ａ．30° B．45°C．60° D．90°参考答案：A略2. 使函数为奇函数，且在上是减函数的一个值是（）A. B. C.D.参考答案：D略3. 设函数，则满足的的值是（）A.2B.16C.2或16D.-2或16参考答案：C略4. 椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为( )A．B．C．D．4参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出P点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出．【解答】解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（﹣，0）所以点P的坐标为（﹣，），所以=．根据椭圆的定义可得，所以．故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义．5. 已知是第二象限角，则（）A. 是第一象限角B.C. D. 是第三或第四象限角参考答案：D【分析】由已知可求，，可得是第一象限或第三象限角，由已知可求，，可得是第三象限或第四象限角，逐项分析即可得解．【详解】解：对于A，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第一象限或第三象限角，故错误；对于B，由可知是第一象限或第三象限角，故错误；对于C，∵是第二象限角，∴，，∴是第三象限或第四象限角，，故错误；对于D，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限或第四象限角，故正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．6. 函数的定义域为（）A.；B. ；C. ；D.参考答案：C略7. 函数f（x）＝，若f（x0）＝3，则x0的值是（）A．1 B． C.，1 D.参考答案：D8. 函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）A．（，）B．（，）C．（，1）D．（1，2）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（），故选：C．9. sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于()A．B．C．D．参考答案：B略10. a=log0.50.6，b=，c=，则( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】解：利用对数函数的单调性可得0＜log0.50.6＜1，，从而可得【解答】解：∵0＜log0.50.6＜1，，b＜0＜a＜1＜c故选B【点评】本题主要考查了指数式与对数式的大小比较，一般方法是：结合对数函数的单调性，先引入“0”，区分出对数值的大小，然后再引入“1”比较指数式及值为正数的对数式与1比较大小．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”．给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．参考答案：6要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，故不含“孤立元”的集合有，，，，，共有个．12. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9= ．参考答案：15考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式求出前3项、前6项和列出方程求出首项和公差；利用等差数列的通项公式求出第9项．解答：解：，解得，∴a9=a1+8d=15．故答案为15点评：本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的通项公式．13. 对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）f（x2），②f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），③＜0，④，当f（x）=lnx时，上述结论中正确结论的序号是．参考答案：②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用对数的基本运算性质进行检验：①f（x1+x2）=ln（x1+x2）≠f（x1）f（x2）=lnx1?lnx2；②f（x1?x2）=lnx1x2=lnx1+lnx2=f（x1）+f（x2）；③f（x）=lnx在（0，+∞）单调递增，可得③f（x）=lnx在（0，+∞）单调递增，可得＞0；④由基本不等式可得出；对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：，【解答】解：对于①，∵f（x）=lnx，∴f（x1+x2）=ln（x1+x2），f（x1）f（x2）=lnx1?lnx2，∴f（x1+x2）≠f（x1）f（x2），故错误；对于②，∵f（x1?x2）=lg（x1x2）=lnx1+lnx2，f（x1）+f（x2）=lnx1+lnx2，∴f（x1x2）=f（x1）+f （x2），故正确；对于③，f（x）=lnx在（0，+∞）上单调递增，则对任意的0＜x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），即得＞0，故错误；对于④，∵x1，x2∈（0，+∞）（且x1≠x2），∴，又f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ln∴，故正确；故答案为：②④．【点评】本题考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用与基本不等式的应用，是知识的简单综合应用问题，属于中档题．14. 已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]?D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a 的最大值= ．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的单调性可得a=f（a ），且b=f （b ），故a、b 是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．由韦达定理可得b﹣a==，利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值．【解答】解：关于x的函数y=f（x）==（1﹣t）﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．故有a=f（a），且b=f（b），即 a=，b=．即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（﹣1，）且t≠0．由韦达定理可得b﹣a==，故当t=﹣时，b﹣a取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．15. 若，则函数的图象不经过第象限.参考答案：第一象限16. 对于两个等差数列{a n}和{b n}，有a1+b100=100，b1+a100=100，则数列{a n+b n}的前100项之和S100为．参考答案：10000【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得{a n+b n}的前100项之和：S100==50（a1+b100+b1+a100），由此能求出结果．【解答】解：∵两个等差数列{a n}和{b n}，有a1+b100=100，b1+a100=100，则数列{a n+b n}的前100项之和：S100==50（a1+b100+b1+a100）=50（100+100）=10000．故答案为：10000．【点评】本题考查等差数列的前100项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17. 已知，则= ．参考答案：．由得，，又，所以，所以．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省广州市第二十一中学2021年高三数学理联考试题含解析
广东省广州市第二十一中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为参考答案：选2. 设，是两个集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C考点：充分必要条件．3. 如图中，，，平分线交△ABC的外接圆于点D，设，，则向量（）A. B.C. D.参考答案：C 【分析】根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以．【详解】解：设圆的半径为，在中，，，所以，，平分线交的外接圆于点，所以，则根据圆的性质，又因为在中，，所以四边形为菱形，所以．故选：C．4. 函数的图像与直线相切，则等于（）A． B. C. D.参考答案：D5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )A.( )B.C.D. 1参考答案：B略6. 函数的零点个数为（A）0 （B）1（C）2 （D）3参考答案：B的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B。
7. 设偶函数，的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90,KL=1，则的值为( )A. B. C. D.参考答案：D 略8. 已知三棱柱的侧棱在下底面的射影与平行,若与底面所成角为,且,则的余弦值为A. B. C. D.参考答案：C略9. 设M＝{}, N＝{},则A．M N B．N M C．M N D．N M参考答案：B略10. 在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数，是的导函数，则函数的最大值是参考答案：12.参考答案：-2 13. 以曲线为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为．参考答案：试题分析：由定积分的几何意义知曲边形)面积为,故答案为.1考点：定积分的几何意义及其应用.14. 已知，，则的最小值为参考答案：15. 若△ABC 的三条边a ，b ，c 所对应的角分别为A ，B ，C ，且面积S △ABC =（b 2+c 2﹣a 2），则角A= ．参考答案：【考点】余弦定理． 【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理得b 2+c 2﹣a 2=2bccosA ，根据三角形的面积公式S=bcsinA 和题意求出tanA ，根据A 的范围和特殊角的三角函数值求出A 的值． 【解答】解：由余弦定理得，b 2+c 2﹣a 2=2bccosA ，因为S △ABC =（b 2+c 2﹣a 2），所以bcsinA=×2bccosA， 则sinA=cosA ，即tanA=1，又0＜A ＜π，则A=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围．16. 已知实数满足：，，则的取值范围是________．参考答案：略17. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ▲ ；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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广东省广州市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A ．47a = B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．3．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8【答案】B 【解析】如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ， ∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩ . ∴折断后的竹干高为4.55尺 故选B.4．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-34【答案】A 【解析】分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,2z a i =-.所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数， 所以4a 30-=，即3a 4=. 故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.6．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<…的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( )A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<…的图象有一个横坐标为3π的交点， 则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Q， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<…，29352424ω∴<…. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.7．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.8．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A．23B．163C．6 D．与点O的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.9．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( )A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2] 【答案】B【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.10．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x ±= B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C 3,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程. 【详解】椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，则椭圆离心率221a b e -=，双曲线的离心率222a b e += 由1C 和2C 的离心率之积为32， 即2222123a b a b e e -+==， 解得22b a =±， 所以渐近线方程为2y x =， 化简可得20x ±=， 故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.11．已知函数f(x)＝223,1ln,1x x xx x⎧--+≤⎨>⎩,若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A．1,e2⎛⎫⎪⎝⎭B．1,2e⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．1,2ee⎛⎤⎥⎝⎦D．1,2ee⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－12的下方，即可求得：k＞12；再求得直线y＝kx－12和y＝ln x相切时，k＝ee；结合图象即可得解. 【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－12有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－12的下方．∴k×1－12＞0，解得k＞12.当直线y＝kx－12和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝1ln2mm+＝1m，∴m e此时，k＝1m＝ee，f(x)的图象和直线y＝kx－12有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是1,2e⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【答案】D【解析】【分析】根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误. 故选：D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。