最小二乘法和加权最小二乘法

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最小二乘法和加权最小二乘法
-50-40-30-20-1001020304050-0.100.10.20.30.40.50.6tRx1
x23. 3. 3 (WLS 为了降低节点成本应尽可能减小锚节点在WSN中所占的比例，但势必会减小锚节点的覆盖率，从而增加了定位的难度。

为了解决此问题，很多定位算法将已经定位的未知节点转化为
锚节点，迭代定位从而定位整个网络的节点。

但是这种方法又引来了一个新的问题：
升级的锚节点本身可能存在较大的定位误差，而在下一轮的定
位中有可能会引进更大的误差，当网络规模比较大时，这种迭代定位造成的累积误差将无法接受。

所以人们又引入了加权最小二乘法[23],[24]:
根据每个节点的定位精度，在加权最小二乘法中采用不同的加
权系数来进行定位估计，从而提高定位精度。

加权最小二乘法可根据下式求解：
X0wls=(ATWA)-1ATWb (3-18) 此式中W 为
加权矩阵，为保证X0wls是最小方差无偏估计，一般要求W在实际应用中为对称正定矩阵。

可利用许瓦兹的不等式证明，在测距误差与距离之比服从独立
分布的高斯随机变量的情况下，W=R-1时的估计均方误差最小，R为测距
1 / 4
误差的方差矩阵，R=E{NNT卜
3. 3. 4 以上三种定位算法一般都存在或大或小的定位误
差，为了进一步提高定位精度，可以利用质心加权算法来减小定
位估计与真实值之间的差值。

普通质心算法不能反映出锚节点对节点位置影响力的大小，影
响定位精度，我们可以利用加权质心算法。

质心加权算法：
在质心算法中加入加权因子来体现锚节点对质心位置的决定权，
用加权因子来体现各锚节点对质心坐标的影响程度，从而反映它们之间内在的关系。

可通过下式（3-17）来说明：
312122313122313312122313122313x111111xxxddddddddddddyyydddd dclydddddd
（3-17）（x，y）就是通过加权质心算法来求出的未知节点的坐
标。

式中：
di ，d2，d3分别为未知节点到3个锚节点的近似距离，
（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3）分别是利用最小二乘法、加权
最小二乘法和Chan算法求出的未知节点的坐标。

式中的121dd , 231血，131血体现了距未知节点越近的
锚节点对其位置坐标的影响就越大，通过这种关系可以提高定位精度。

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本章是本文的核心，先提出了求TDOA值的方法，采用了互相关技术，此种方法不需要节点间严格的时钟同步，可以减小节点的硬件开支，降低节点的成本和能耗，而且TDOA算法是基于距离的定位算法，定位精度高。

后面将TDOA直转化为锚节点到未知节点的距离与其他锚节点到未知节点的距离之差，建立起关于未知节点位置坐标的双曲线方程。

文中又提出采用最小二乘法、加权最小二乘法和Chan算法来
求解未知节点坐标，最后利用质心加权算法对以上三种算法的定位结果做了进一步精确。

之后将在第四章中对定位算法进行仿真验证。

3. 3. 2 （LS）最小二乘法[2],[21],[22] 是采用使误差
的平方和达到最小值的方法来减小误差，提高定位精度的。

锚节点个数为3个时，则i可取值2和3，将式（3-14）作一下形式变化：
AX=b （3-15）其中：
2 1 2 1X Y,
3 1 3 1X Y，汨，，
222222? 12, H22H222223 ,13,113311+2+b+2++RR RXYXYRR RXYXY 由于存在定位误差，可利用
最小二乘法来尽量减小误差。

此方程为线性方程，可采用一次曲线来拟合：
AXO二b-N (3-16 ) 其中N为随机误差向量，根
据最小二乘原则，求解的X0的值应当使N的平方和的值达到最小，其中N二b-A X0，|N|2=| b-A X0|2, 对此式求关于X0的导数并令
其等于0,则可求得未知节点的最小二乘估计为：
XOIs=(ATA)-1ATb ( 3-17)
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