2017年4月第十一届北京学而思杯四年级数学试卷解析

34
【考点】计数，有序枚举 【难度】☆☆☆ 【答案】6 【分析】1,2,9 这三个数字的位置是确定的，如下图：
12 34
9
将 5,6,7,8 这四个数字填入剩下的四个方格内，经有序枚举可得如下 6 种情况：
127 348 569
1 26 3 48 5 79
126 3 47 5 89
125 3 46 7 89
1 25 3 47 6 89
5
1 25 3 48 6 79
四、 填空题Ⅳ（共 4 道小题，每题 8 分，共 32 分） 13. 如果一个数的各位数字从左到右构成等差数列，我们就称这个数为“等差数”，例如：135、8642 均
是“等差数”，153 就不是“等差数”，那么一共有________个三位“等差数”． 【考点】计数，有序枚举 【难度】☆☆☆☆ 【答案】45 【分析】当这个三位数中有数字 0 时：“等差数”有 210,420,630,840，共 4 个；
16. 请在下图的每个方格中填入 1~6 中的一个数字，使得每行、每列和每个粗线宫内数字都不重复．且 每个箭头上从线尾到箭头的尖，数字依次变大．那么，五位数 ABCDE ________．
3
【考点】组合，数独 【难度】☆☆☆☆ 【答案】63451 【分析】
3
A BCDE
3 156 2 4 4 62 135 253461 146 253 5 21346 634512
14. 一个三位数，若在前面添上数字 4，则组成的四位数是 8 的倍数；若在前面添上数字 5，则组成的
四位数是 9 的倍数；若在前面添上数字 6，则组成的四位数是 11 的倍数．那么这个三位数是________．
【考点】数论，整除特征
【难度】这个三位数为
abc
，则根据题意有：
6
7. 学学，而而，思思，培培，优优 5 个小朋友一起坐公交车去春游，上车后发现车上还有 6 个座位， 那么 5 个人都坐好共有________种不同的情况．
【考点】计数，加乘原理 【难度】☆☆ 【答案】720
【分析】根据乘法原理可得：5 个人都坐好共有 6543 2 720 种不同的情况．
8. 下图所示的加法竖式谜中，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“学而思杯”的最大值是 ________．
4. 下面图形中有________个三角形．
【考点】计数，几何计数 【难度】☆ 【答案】12 【分析】一共有 4 4 4 12 个三角形．
二、 填空题Ⅱ（共 4 道小题，每题 6 分，共 24 分） 5. 如 果 把 “ ” 定 义 为 一 种 运 算 符 号 ， 其 表 示 的 意 义 为 ： a b a a b ， 那 么 ， 算 式
4 月3日
+
清明节
学而思杯
【考点】组合，数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】5736
3
【分析】“学”最大可以是 5，“而”最大可以是 7，此时“月”和“清”分别是 9 和 8，当“思”是 6 或 4 时个位
都无法填出．当“思”是 3 时，可以完整填出数字谜，如下即为一种填法，此时四位数“学而思杯”的
最大值是 5736．
所以应该为周期中最后一个，即为 1 号荷叶．
3. 艾迪，薇儿，大宽三名同学的平均年龄是 10 岁，如果算上博士则他们四个人的平均年龄是 20 岁， 那么，博士的年龄是________岁．
【考点】应用题，平均数问题 【难度】☆ 【答案】50
1
【分析】三名同学的年龄总和是103 30 岁，算上博士后四个人年龄总和是 204 80 岁，所以博士 的年龄是 80 30 50 岁．
A
B
O
D
C
【考点】几何，等高模型 【难度】☆☆☆ 【答案】30 【分析】因为 CD 3AB ，则有： SADC 3SABC ,所以 SADC 120 43 90 平方厘米；又因为
CO 2 AO ，所以 SODC 2SADO ,所以 SADO 90 31 30 平方厘米．
11. 如果一个数可以写成 2 个合数的和，我们就称这个数为“双合数”，例如：12 4 8 ，20 10 10 ， 则 12 和 20 都是“双合数”，那么第 20 个“双合数”是________．
6 b13b 2b 7 11k b 9 ， a c 4 ；此时 abc 可以是 193,292,391,490 均不是
8 的倍数，不符合题意；
当 a b c 22 时，即 a c 22b ，6 b22 b 2b 16 11k b 8 ， a c 14 ；此
6
时 abc 可以是 589,688,787,886,985，其中只有 688 是 8 的倍数． 所以这个三位数是 688． 15. 10 支足球队参加一次足球比赛，每两支足球队都比赛一场．每场比赛中，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局则各得 1 分．比赛完毕后，第 4 名和第 5 名的球队得分最多可以相差________分． 【考点】组合，体育比赛 【难度】☆☆☆☆ 【答案】17 【分析】要使第 4 名和第 5 名的分差尽量大，则需要第 4 名得分尽量高，第 5 名得分尽量低． 经构造，当前 4 名球队互相之间比赛打成 1 胜 1 平 1 负，且与后 6 名球队比赛全部都获胜时，即 第 4 名球队取得 7 胜 1 平 1 负时得分最高，最高分为 73 1110 22 分； 当后 6 名球队互相之间比赛都打平，且都输给前 4 名球队时，即第 5 名球队取得 5 平 4 负时得分 最低，最低分为 51 40 5 分． 所以第 4 名和第 5 名的球队得分最多可以相差 22 5 17 分．
当这个三位数中没有数字 0 时： 若公差为 0，三位“等差数”有 111,222,333,999，共 9 个； 若公差为 1，三位“等差数”有 123,234,345,789，每个数倒过来仍为“等差数”，所以共 7 2 14 个； 若公差为 2，三位“等差数”有 135,246,357,468,579，每个数倒过来仍为“等差数”，所以共 5 2 10 个； 若公差为 3，三位“等差数”有 147,258,369，每个数倒过来仍为“等差数”，所以共 3 2 6 个； 若公差为 4，三位“等差数”有 159,倒过来仍为“等差数”，所以共12 2 个； 所以一共有 4 9 14 10 6 2 45 个“等差数”．
2. 如下图，一只小青蛙在标有序号的五片荷叶上顺时针跳，从 1 号荷叶开始，先跳到 3 号，再跳到 5 号，再跳到 2 号，……，像这样隔一个跳一个，那么青蛙第 10 次跳到________号荷叶上．
【考点】计算，周期问题 【难度】☆ 【答案】1 【分析】跳到的荷叶序号依次是：3,5,2,4,1,3,5, ，每 5 次一个周期，跳到第 10 次，10 5 2 ，
【分析】设原计划 x 天完成任务．根据题意可得： 30x 35x 4 ，解得： x 28 ，所以雷雷一共排
了 3028 840 个雷．
10. 如图所示，梯形 ABCD 中 AB 平行于 CD，且 CD 3AB ，在对角线 AC 上取一点 O，使得 CO 2 AO ， 已知梯形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，那么三角形 ADO 的面积是________平方厘米．
7
第Ⅱ卷（解答题共 46 分） 考生须知：请将解答题解题过程及答案书写在答．题．纸．上
五、 计算题（共 4 道小题，每题 4 分，共 16 分）
17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：
（1） 302 2931 【考点】计算，公式计算，提取公因数 【难度】☆☆ 【答案】（1）1； （2）43
综上所述“双合数”依次是 8,10,12,13,14,15,16,17,18，所以第 20 个“双合数”是12 20 3 29 ．
12. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数字分别填在如下图所示的九个空格中，每个数字只能用 1 次，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字 3 和 4 固 定在图中 所示的位置时，此时按要求填完空格，共有________种不同的填法．
d 8
a
c
4 b
【考点】组合，数阵图 【难度】☆☆ 【答案】1629 【分析】根据题意可知： a 1 ， d 9 ．
2
若 b c ，则有 c b 4 ．那么可以得到如下图；b 1 b b 4 9 b5 b 459 8 1 4 ，解得： b 6 ，此时 c 10 ，不符合题意；
【考点】数论，质数与合数 【难度】☆☆☆
4
【答案】29 【分析】满足条件的最小偶数是 8，从 8 开始所有的偶数“双合数”依次满足： 8 4 4 ，10 4 6 ，
12 4 8 ，14 4 10 ，所以从 8 开始的偶数都可以写成“4＋合数”的形式； 满足条件的最小奇数是 13，从 13 开始的所有奇数“双合数”依次满足：13 9 4 ， 15 9 6 ，17 9 8 ，19 9 10 ，所以从 13 开始的奇数都可以写成“9＋合数”的形式；
8 9
4abc 5abc
，
11 6abc
因为 9 5abc ，所以有 a b c 5 9k ， 即 a b c 的值可以是 4,13 或 22；
因为11 6abc ，所以有a c6 b 11k 或6 ba c 11k ；
当 a b c 4 时，即 a c 4 b ，6 b4 b 2 2b 11k b 10 ，不符合； 当 a b c 13 时，即 a c 13b ，若13b6 b 7 2b 11k ，此时 b 无解；若
【考点】计算，解方程 【难度】☆☆ 【答案】（1） x 3 ； （2） x 3
y 2
（2） 5x 2 y 19 4x y 10
【分析】（1）解：12x 20 4x 4 12x 4x 20 4 8x 24 x3
（2）解： 5x 2 y 19 (1) 4x y 10 (2)
（2） 4.33.2 4.32.8 4.3 4
【分析】（1）原式 302 30 130 1
302 302 12
302 302 12 1
（2）原式 4.33.2 2.8 4
4.310 43
18. 解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：
（1） 43x 5 4x 4
9
8
5-b
1
9-b b+4
b-1
4
b
若 b c ，则有 c b 4 ．那么可以得到如下右图：b 1 b b 4 9 b 13b 459 8 1 4 ，解得： b 6 ，此时符合题意，如下图所示，所以四位数 abcd 是 1629．
9
8
13-b
1
9-b b-4
b-1
4
b
9
8
7
1
3
2
5
4
1 2 3 4 ________ ．
【考点】计算，定义新运算 【难度】☆☆ 【答案】16 【分析】1 2 11 2 3 ， 3 4 33 4 13 ，所以原式 3 13 16 ．
6. 将数字 1~9 填入下图圆圈和横线处，使横线上的数恰好是横线两端圆圈中数字之差，且每个数字 只能用一次．已知 a d ，那么四个圆圈内的数字所组成的四位数 abcd 是________．
4 932
+
18 0 4
5 736
三、 填空题Ⅲ（共 4 道小题，每题 7 分，共 28 分） 9. 星战士雷雷在某星球执行排雷任务，原计划每天排 30 个，实际每天比原计划多排 5 个，结果提前
4 天完成了任务．那么雷雷一共排了________个雷． 【考点】应用题，列方程解应用题 【难度】☆☆ 【答案】840
绝密★启用前
2017 年第十一届北京市小学生综合能力测评（学而思杯）
四年级数学试卷
考试时间：90 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷（填空题共 104 分） 考生须知：请将填空题答案填涂在答．题．卡．上
一、 填空题Ⅰ（共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分） 1. 今天是 2017 年 4 月 3 日，那么算式 2017 43 ________． 【考点】计算，整数计算 【难度】☆ 【答案】2029 【分析】原式 2017 12 2029 ．