圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论椭圆与双曲线对偶结论

椭圆

双曲线

标准方程焦半径焦半径范围

通径x2 + y2 = 1(a > b > 0)

a2 b2

焦点

1

F(c, 0), F2 (c, 0)

PF = a + ex PF = a ex

e 为离心率，x

为点P 的横坐标.

a c PF a + c

P 为椭圆上一点， F 为焦点.

过焦点与长轴垂直的弦称为通径 .

2b2

通径长为

a

如图，直线l 过焦点

1

F与椭圆相交于A, B

两点.则△ABF

2

的周长为4a .

(即F

2

A + F

2

B + AB = 4a )

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0)

a2 b2

焦点

1

F(c, 0), F2 (c, 0)

PF = ex + a , PF = ex a

e 为离心率，x

为点P 的横坐标.

PF > a c

P 为双曲线上一点， F 为焦点.

过焦点与实轴垂直的弦称为通径 .

2b2

通径长为

a

如图，直线l 过焦点

1

F与双曲线相交于

A, B 两点.则F

2

A + F

2

B AB = 4a .

1 0

,

2 0 1 0 2 0

焦点弦倾斜角为的直线l 过焦点F 与椭圆相交

于A, B 两点.

2ab2

焦点弦长AB = (a2 b2 )sin2 + b2 .

最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径 .

倾斜角为的直线l 过焦点F 与双曲线相

交于A, B 两点.

2ab2

焦点弦长AB = (a2 + b2 )sin2 b2 .

AF 与BF 数量关系直线l 过焦点F 与椭圆相交于A, B 两点，

1 1 2a

则+ =

直线l 过焦点F 与双曲线相交于A, B 两点

1 1 2a

，则+ =

已知点P 是椭圆上一点，O 坐标原点，

则b PO a . 已知点P 是双曲线上一点，O 坐标原点，

则PO > a .

如图，P 是椭圆上异于长轴端点的一点，

已知三FPF = 9 ，三PF F = ，

三PF

2 1

F= b ，则

9

(1) S = b2 tan ；

△PF

1

F2 2

sin9

(2)离心率e = .

sin + sin b

如图，P 是双曲线上异于实轴端点的一点

，已知三FPF = 9 ，三PF F = ，

三PF

2 1

F= b ，则

9 b2

(1) S = b2 cot = ；

△PF1F2 2 9

tan

2

sin9

(2)离心率e = .

sin sin b

AF BF b2 .AF BF b2 .

1 2 1 2

1 2 1 2

焦三角形

如图，已知直线l 与双曲线相交于A, B 两

如图，已知直线l 与椭圆相交于A, B 两点

，点M 为AB 的中点，O 为原点，则

2

k k =

a

垂径定理点，点M 为AB 的中点，O 为原点，则

2

k k =

OM AB 2

.

(注：直线l 与双曲线的渐近线相交于A, B 两点，其他条件不变，结论依然成立)

b

b

OM AB 2

. a

如图，已知点 A, B 椭圆长轴端点(短轴端

点)， P 是椭圆上异于 A, B 的一点，

b 2

则 k PA k PB = - 2 .

如图，已知点 A, B 双曲线实轴端点， P 是

双曲线上异于 A, B 的一点，

b 2

则 k PA k PB = 2 .

周角定理

推广：如图，已知点 A, B 是椭圆上关于原 点对称的两点， P 是椭圆上异于 A, B 的一

点，若直线 PA, PB 的斜率存在且不为零

，

b 2

k PA k PB = - 2

推广：如图，已知点 A, B 是双曲线上关于

原点对称的两点， P 是双曲线上异于 A, B

的一点，若直线 PA, PB 的斜率存在且不 为零，

b 2

k PA k PB = 2 .

a

a

a

a

切线方程

直线l 过焦点 F (c, 0)与椭圆相交于 A, B

( a 2 )

两点，点 P

|( c

, 0)

|， 则三APF = 三BPF (即 k PA + k PB = 0 ) . 已知点 P (x 0 , y 0 )是椭圆上一点，则椭圆 在点 P 处的切线方程为

x x 0 + y y 0

= 1 .

a

2

b

2

直线l 过焦点 F (c, 0)与双曲线相交于

( a 2 )

A, B 两点，点 P | , 0 |，

则三APF = 三BPF (即 k PA + k PB = 0 ) . 已知点 P (x 0 , y 0 )是双曲线上一点，则双 曲线在点 P 处的切线方程为

x 0 x - y 0 y

= 1 . a 2 b 2

( c )