黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知集合，，那么集合（ ）
{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．
B ． {}32x x -<<{}52x x -<<
C ．
D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A
【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.
【详解】因为集合，，
{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.
{}|32B x x A -<=< 故选：A.
2．设命题：，，则为（ ）
p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，
B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉Z
C ．，
D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B
【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.
【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.
p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.
3．设，，且，则的最小值为（ ）
0x >0y >9xy =x y +A ．18
B ．9
C ．6
D ．3 【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】∵
0,0x y >>
∴，（当且仅当，取“=”）
6x y +≥=3x y ==故选：C.
4．若为第一象限角，则
是（ ） α2αA ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．第一或第三象限角 【答案】D
【解析】写出第一象限角，得到
的范围，再讨论k 的取值即可.
α2α【详解】因为为第一象限角， α
所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+
∈所以，
,24k k k Z α
π
ππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<
<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<
<所以是第一或第三象限角
2α
故选：D
5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =
-()f x A ．
B ．
C ．
D ．
()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6．
sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． B
C ．
D ．
12-1
2【答案】B
【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B
7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭
，【答案】C
【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3
f a f ->所以， 1213021
a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩
解得， 1223
a ≤<故选：C
8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）
A ．
B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<
C ．
D ．
()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C
【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.
【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.
()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.
【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
二、多选题
9．函数的图象过（ ）
()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】BCD
【分析】画出函数大致图象即可判断.
【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，
作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.
10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）
(0,)+∞A ．
B ．
C ．
D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x
=-【答案】AD
【分析】逐个分析各项可得结果.
【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；
0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；
对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x
-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x
=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x
=-(0,)+∞故选：AD.
11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø
y t =t A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø
【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø
则可得当或时，与的交点个数为0；
0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或
时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302
t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.
12．设函数，则下列结论正确的是（ ）
()cos2f x x x -A ．的一个周期为
()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6
x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．在有3个零点
()y f x =[0,2π]【答案】ABC
【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可
()f x
【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2
T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6
x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26
π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝
⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212
x =故选：ABC.
三、双空题
13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 3
6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6
【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.
【详解】振幅，
3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6
四、填空题
14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．
1x y a =+0a >1a ≠【答案】
()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.
【详解】令，得，
0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.
1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.
()0,215．等于________．
2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5
【分析】设，由平方关系得到
2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.
2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，
2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，
22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，
2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，
2189S =⨯所以，
44.5S =故答案为：44.5
16．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=
27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=
【答案】##
【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.
αcos β【详解】设,,那么,从而.
53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,
()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05
β=>143180β︒︒<<所以
cos β===所以. (
)sin 37sin αγ︒+==故答案为：
五、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和
的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.
【答案】 ，
sin()αβ-=2tan()11αβ+=
-【分析】先利用题给条件求得
，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得
和的值.
sin()α
β-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，
则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得
， cos 0.6β
=4sin 5β=
4
tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23
tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：
tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα
+-
(2)．
2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；
(2) 85
-
【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；
（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.
【详解】（1）∵，
tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121
αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 155
8αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5
x x +=(1)求的值；
sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3
θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5
x x -=
(2)
tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25
x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.
tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5
x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25
x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5
x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53
cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13
θθ+=-tan 2θ=-∴.
tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．
【答案】(1)(－1，1)；
(2)奇函数，证明见解析；
(3)(0，1)．
【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；
（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．
x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010
x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；
11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，
()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．
()f x ∴（3）若时，由得，
1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩
x 01x <<故不等式的解集为．
(0,1)
21．已知函数．
2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；
()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭可；
（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的取值范围．a
【详解】（1
）
2
1cos211
()sin cos cos22cos22cos2
222
x
f x x x x x x x x x
-
=+=++=++
，
1
sin2
62
x
π
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
令，解得，则的单调递减区间为3
222,
262
k x k k
πππ
ππ
+≤+≤+∈Z
2
,
63
k x k k
ππ
ππ
+≤≤+∈Z()
f x
；
2
,,
63
k k k
ππ
ππ
⎡⎤
++∈
⎢⎥
⎣⎦
Z
（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()
g x f x a
=-0,
2
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
()
a f x
=0,
2
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
时，
0,
6
x
π
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，单增，当时，，
2,
662
x
πππ
⎡⎤
+∈⎢⎥
⎣⎦
()1
sin2
62
f x x
π
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
,
62
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
7
2,
626
x
πππ
⎡⎤
+∈⎢⎥
⎣⎦
单减，
()1
sin2
62
f x x
π
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
又，，，要使在上有()1
0sin1
62
f
π
=+=
13
sin
6222
f
ππ
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
71
sin0
262
f
ππ
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
()
a f x
=0,
2
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
两个解，则.
3
1,
2
a⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
22．已知函数.
1
()
1
x
f x
x
-
=
+
（1）证明函数在上为减函数；
()
f x(1,)
-+∞
（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；
ln(tan)
y f x
=
（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.
(,
42
ππ
(tan)tan0
f x a x
+≤
【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（
3）.
,,
44
k k k Z
ππ
ππ
⎛⎫
-++∈
⎪
⎝⎭
(,3
-∞-
【解析】（1）利用单调性定义证明即可.
（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1
tan1
x
x
<
⎧
⎨
>-
⎩
奇偶性定义可判断函数的奇偶性.
（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tan
t x
=
1
1
t
at
t
-
+<
+
()
1,+∞a
取值范围.
【详解】（1），，，
1
1
x
∀>-
2
1
x
∀>-
12
x x
<
又，
()
()()
12
22
12
1212
11
()()
1111
2x x
x x
f x f x
x x x x
-
--
-=-
+
-
=
+++
因为，，，故，，，
11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.
12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x
->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1
x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
Z k ∈令
()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x x
F x f -+--===--+，
()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42
x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42
ππ
(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t
-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s
-==+++++由基本不等式有
2s s
+
≥
s 所以时等号成立， ()13
1t t t -≤=-+1t 故的最大值为
a 的取值范围为. ()1
1t y t t -=+3-(
,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。