备考2020年高考数学一轮复习：11 函数与方程

备考2020年高考数学一轮复习：11 函数与方程一、单选题(共12题；共24分)
1．（2分）函数y=x-2的零点是（）
A．0B．-2C．2D．（2,0）2．（2分）函数f(x)=2sinx−sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5
3．（2分）已知函数f(x)={|lg|x−1||，x≠1
0，x=1
，则关于x的方程f2(x)−2f(x)=0的根的个数
是（）
A．5B．6C．7D．8
4．（2分）函数f(x)=π
2
+log2x的零点所在的区间是（）
A．（0,1
4
）B．（14,12）C．(12,34)D．（34,1）5．（2分）方程x3−6x2+9x−10=0的实根个数是（）
A．3B．2C．1D．0 6．（2分）函数f(x)=(x−2)√x2−4的零点个数是（）
A．1B．2C．3D．4
7．（2分）已知函数f(x)= 1
3x 3+a(1
2x
2+x+2)，则f(x)的零点可能有（）
A．1个B．1个或2个
C．1个或2个或3个D．2个或3个
8．（2分）若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上，则f(x)的零点为（）
A．1B．3
4C．2D．3
2
9．（2分）已知函数f(x）=（x2+a）e x有最小值，则函数g（x)=x2-x+a的零点个数为（）A．0B．1C．2D．取决于a的值10．（2分）已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f(x)一定存在零点的区间是()
A．（-∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞)
11．（2分）若函数f(x)=e x(x3−3ax−a)有3个零点，则实数a的取值范围是（）
A．(0,1
2
)B．(12,+∞)C．(0,14)D．(14,+∞)
12．（2分）若m是函数f(x)=√x−2x+2的零点，则m在以下哪个区间()
A．[0,1]B．[1,3
2
]C．[32,2]D．[2,3]
二、填空题(共5题；共5分)
13．（1分）已知x0是函数f（x）=2x-4的零点，则实数x0的值为。

14．（1分）已知函数f(x)=log3x+x−5的零点x0∈(a,a+1)，则整数a的值为.
15．（1分）设定义域R的函数f(x)={1
x
,x>0
−x2−2x,x≤0
，若关于x的方程2f2(x)+2af(x)+ 1=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是.
16．（1分）若函数f(x)=|2x−4|−a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为.
17．（1分）已知函数f(x)=xe x+c有两个零点，则c的取值范围是.
三、解答题(共5题；共60分)
18．（20分）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
（1）（5分）f(x)=x+1
x
；
（2）（5分）f(x)=x2+2x+2；
（3）（5分）f(x)=2x−2；
（4）（5分）f(x)=1−log3x.
19．（5分）已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2，求函数y=log n(mx+1)的零点．
20．（15分）已知二次函数f(x)=x2−2ax+4，在下列条件下，求实数a的取值范围．（1）（5分）零点均大于1；
（2）（5分）一个零点大于1，一个零点小于1；
（3）（5分）一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内．
21．（10分）已知函数f(x)=lnx+2x−6.
（1）（5分）证明f(x)有且只有一个零点；
（2）（5分）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于1
4
.
22．（10分）已知函数f(x)=x2−(k−2)x+k2+3k+5有两个零点．
（1）（5分）若函数的两个零点是−1和−3，求k的值；
（2）（5分）若函数的两个零点是α和β，求α2+β2的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：函数y=x−2的零点即是方程x−2=0的根，
∴x=2
故答案为：C
【分析】函数y=x−2的零点即对应方程根，解方程x−2=0即可得出答案。

2．【答案】B
【解析】【解答】解：令f(x)=0，得2sinx=sin2x，
则函数f(x)在[0，2π]的零点个数，转化为两个函数y=2sinx和y=sin2x的交点问题，
分别画出两个函数的图象，如图：
由图可知两个函数有3个交点，即该函数在[0，2π]的零点个数为3个，
故答案为：B.
【分析】令f(x)=0，把函数f(x)在[0，2π]的零点个数，转化为两个函数y=2sinx和y= sin2x的交点问题，分别画出两个函数的图象，利用函数图象即可得到零点的个数.
3．【答案】C
【解析】【解答】根据题干得到函数的图象：
∵函数利用函数 f(x)={
|lg|x −1||，x ≠1
0，x =1 ，及f 2（x ）-2f （x ）=0解方程求出方程根的个数即可．方程f 2（x ）﹣2f （x ）=0的根，f （x ）=0或f （x ）=2， ∴当f （x ）=0时，
解得：x=1，或x=0，或x=2，
当f （x ）=2时，|lg|x ﹣1||=2，可得x=101或x=99或x=1.01或x=0.99， 故方程有7个解， 故答案为：C ．
【分析】作出函数的图象，数形结合，即可确定方程根的个数.
4．【答案】B
【解析】【解答】∵连续函数 f(x)=π2+log 2x 在（0，+∞）上单调递增， ∵f （ 14 ） =π2−2< 0，f （ 12
） =π
2−1> 0，
∴函数 f(x)=π2+log 2x 的零点所在的区间为（ 14 ， 12
），
故答案为：B ．
【分析】根据函数的单调性，结合零点的判定定理，即可确定零点所在区间.
5．【答案】C
【解析】【解答】解；由由x 3−6x 2+9x −10=0得，x 3=6x 2−9x +10,画图，
由图得一个交点．
故答案为：C
【分析]利用方程的根的个数与函数零点的个数等价关系，转化为两函数的交点个数，再结合两函数图象，从而得出方程x3−6x2+9x−10=0的实根个数。

6．【答案】B
【解析】【解答】要使函数有意义，则x2−4≥0，即x≥2或x≤−2，由f(x)=0⇒x=2或x=−2函数的零点个数为2个.
故答案为：B.
【分析】利用根式函数求定义域的方法求出函数的定义域，再利用函数求零点的方法求出零点的个数。

7．【答案】A
【解析】【解答】由题−a=
1
3
x3
1
2
x2+x+2
=g(x), g′(x)=
x2
6
(x2+4x+12)
(1
2
x2+x+2)
2
>0,故g(x)单调递增，故y=-a
与g(x)有一个交点，故答案为：A
【分析】由已知令g(x)=
1
3
x3
1
2
x2+x+2
，求导得到g(x)单调递增，即可求出f(x)的零点个数.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，点（log147，log1456）在函数f(x)＝kx+3的图象上，
则log
1456＝k×log
14
7+3，变形可得：k＝﹣2，则f(x)=−2x+3
若f(x)＝0，则x=3
2，即f(x)的零点为3
2
，
故答案为：D．
【分析】把已知点代入函数f(x)＝kx+3，解得k＝﹣2，得到函数f(x)=−2x+3，令f(x)＝0即可解出零点.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：f/(x)=2x·e x+(x2+a)·e x=e x(x2+2x+a)=g(x),函数f(x)的最小值为其极小值，既f/(x)=0有解。

当f/(x)=0有一解x0时，在其两侧f/(x)＞0都成立，此时f(x)是单调递增函数的，没有极值，不符合题意舍去，此时f/(x)=0有两个解，既方程x2+2x+a=0有两个解。

故答案为：C
【分析】利用导函数的极值结合一元二次函数的根的情况即可求出结果。

10．【答案】C
【解析】【解答】∵定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且f(2)=2.9>0，f(3)=−3.5<0，即
f(2)⋅f(3)<0，
由函数零点的存在性定理知，函数f(x)一定存在零点的区间是(2，3)。

故答案为：C.
【分析】根据题意，利用零点存在性定理，由图表即可知f（2）•f（3）＜0，从而知函数f（x）一定存在零点的区间．
11．【答案】D
【解析】【解答】令g(x)=x3−3ax−a，
若f(x)=e x g(x)有3个零点，即g(x)有3个零点，
g′(x)=3x2−3a.
当a≤0时，g′(x)≥0，g(x)是增函数，至多有一个零点；
当a>0时，g′(x)=0，x=±√a.
由题意知g(−√a)>0，g(√a)<0，∴a>1
4
，
故答案为：D.
【分析】根据题意令g(x)=x3−3ax−a，结合已知条件得出g(x)有3个零点，利用导数得出函数的极值点，利用g(−√a)>0，g(√a)<0得出a的取值。

12．【答案】C
【解析】【解答】由于f(0)=1,f(1)=1,f(3
2)=√
3
2
−2
3
2+2=
4+√6−4√2
2
>0，f(2)=√2−4+
2<0，根据零点的存在性定理可知，m在区间[3
2
,2]，
故答案为：C.
【分析】分别求出f(0),f(1),f(3
2
),f(2)的值，利用零点的存在性定理即可判断得结果. 13．【答案】2
【解析】【解答】解;根据零点的定义可知f(x0)=0,即2x0−4=0,∴2x0=4,x0=2.
故答案为：2
【分析】利用零点的定义可知函数在x0处的函数值为零，从而计算出结果即可。

14．【答案】3
【解析】【解答】由题意知：f(x)在(0,+∞)上单调递增
∴f(x)若存在零点，则存在唯一一个零点
又f(3)=1+3−5=−1<0，f(4)=log34+4−5=log34−1>0
由零点存在定理可知：x0∈(3,4)，则a=3
本题正确结果：3
【分析】根据函数零点的存在性定理，解不等式，即可求出整数a的值.
15．【答案】(−3
2
,−√2)
【解析】【解答】由f(x)解析式可得函数图象如下图所示：
∵2f2(x)+2af(x)+1=0有6个不同的实数根
∴方程2x2+2ax+1=0有2个不同的，且均在(0,1)上的实数根
∴{Δ=4a2−8>0 0<−
2a
4
<1
2×0+2a×0+1>0 2×1+2a×1+1>0，解得：a∈(−3
2
,−√2)
本题正确结果：(−3
2
,−√2)
【分析】根据函数的表达式确定函数的图象，数形结合，解不等式组，即可求出实数a的取值范围. 16．【答案】(3，4)
【解析】【解答】函数f（x）＝|2x﹣4|﹣a存在两个零点，即为
|2x﹣4|＝a有两个不等实根，
作出函数y＝|2x﹣4|的图象，
可得图象经过点（0，3），当x＜0时，图象趋向于直线y＝4，
由直线y＝a，平移可得当3＜a＜4时，
函数y＝|2x﹣4|的图象与直线y＝a有两个交点，
一个交点的横坐标为正，另一个交点的横坐标为负的，
故答案为：（3，4）．
【分析】根据函数零点与函数图象交点横坐标的关系，作出函数图象，数形结合，即可求出a的取值范围.
17．【答案】(0,1
e
)
【解析】【解答】由题意，设函数g(x)=xe x，则g′(x)=e x+xe x=e x(x+1)，
当x>−1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
当x<−1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
所以当 x =−1 时，函数由最小值 g(−1)=−e −1=−1
e
，
又由当 x <−1 时，总有 g(x)=xe x <0 恒成立， 要使得函数 f(x)=xe x +c 有两个零点，
即函数 g(x)=xe x 与 y =−c 的图象由两个不同的交点， 在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，
则 −1e <−c <0 ，所以 0<c <1e ，
即实数 c 的取值范围是 (0,1
e ) ．
【分析】根据题意构造函数 g(x)=xe x ，利用导数得出函数的最小值，再根据函数的零点和最值的关系得出结果。

18．【答案】（1）解：令 x+1x =0 ，解得 x =−1 ，所以函数 f(x)=x+1x
的零点是 −1 （2）解：令 x 2+2x +2=0 ，由于 Δ＝22−4×1×2=−4<0 ，
所以方程 x 2+2x +2=0 无实数根，所以函数 f(x)=x 2+2x +2 不存在零点
（3）解：令 2x −2=0 ，解得 x =log 22=1 ，所以函数 f(x)=2x −2 的零点是 1 . （4）解：令 1−log 3x =0 ，解得 x =3 ，所以函数 f(x)=1−log 3x 的零点是 3 .
【解析】【分析】(1)根据题意利用零点的定义即可得出结论。

(2)结合二次函数的性质可求出判别式小
于零所以方程 x 2 + 2 x + 2 = 0 无实数根，所以函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 不存在零点.(3)根据题意利用零点的定义即可求出结果。

(4)根据题意利用零点的定义即可得出结果。

19．【答案】解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根． 可得 {
1+2=−3(m +1)
1×2=n ，解得 {m =−2n =2 所以函数y ＝logn(mx ＋1)的解析式为
y＝log2(－2x＋1)，要求其零点，令
log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0
【解析】【分析】由函数f(x)的两个零点存在，分别求出m，n，结合对数函数的基本性质：当真数等于1时，函数值为0，即可得出答案。

20．【答案】（1）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在
性定理得{(−2a)2−16≥0
f(1)=5−2a>0
a>1解得2≤a< 5
2
.
即a的取值范围为[2，5
2
).
（2）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点
存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a> 5
2
.
即a的取值范围为(5
2
，+∞)
（3）解：因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调
性与零点存在性定理得
{
f(0)=4>0
f(1)=5−2a<0
f(6)=40−12a<0
f(8)=68−16a>0
，
解得10
3<a<17 4
.
即a的取值范围为(10
3，17
4
)
【解析】【分析】（1）根据题意分析，该一元二次函数有两个解（b2−4ac≥0），函数对称轴大于1及f(1)>0代入数据计算，即可得出答案。

（2）根据题意分析得知，该函数由两个不同的解（b2−4ac>0），及函数值f(1)<0，代入数据计算，即可得出答案。

（3）结合零点判定定理：f(a)f(b)<0，代入数据计算，即可得出答案。

21．【答案】（1）证明：易知f(x)＝lnx＋2x−6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2−2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点
（2）解：由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取x1=2+3
2=5
2
，f(5
2
)=ln 
5
2
+5−6=ln 
5
2
−1<0，
∴f(5
2)⋅f(3)<0.∴f(x)的零点x0∈(52,3)．取x
2
=
5
2
+3
2=
11
4
，
则 f(114)=ln 114+2×114−6=ln 114−12>0 . ∴f(52)⋅f(114
)<0 .∴x 0∈(52,114) ． ∵|114−52|=14≤14 ，∴满足题意的区间为 (52,114
) 【解析】【分析】(1)递增函数在某个区间中最多一个零点,而函数的端点处函数值异号时,则有且只有一个零点;
(2)结合二分法及精确度的要求,可求出对应区间. 22．【答案】（1）解：∵−1 和 −3 是函数 f(x) 的两个零点， ∴−1 和 −3 是方程 x 2−(k −2)x +k 2+3k +5=0 的两个实数根．
则 {−1−3=k −2， (−1)×(−3)=k 2+3k +5，
解得 k =−2
（2）解：∵函数的两个零点为 α 和 β ， ∴α 和 β 是方程 x 2−(k −2)x +k 2+3k +5=0 的两根，
∴{α+β=k −2，
αβ=k 2+3k +5， Δ=[−(k −2)]2−4(k 2+3k +5)>0，
则 {α2+β2=(α+β)2−2αβ=−k 2−10k −6，−4<k <−43，
∴α2+β2 的取值范围为 (509
，18) . 【解析】【分析】(1)根据零点的定义代入数值求出k 的值即可。

(2)利用零点的定义再结合二次函数的根的情况得到关于αβ的不等式组，整理为关于k 的二次函数由二次函数在指定区间上的最值情况即可得出取值范围。