2012高三第一轮复习单元质量评估(一)集合与简易逻辑(带有详细解析)

高中总复习优化设计·理科数学
单元质量评估(一) 集合与简易逻辑
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知p是真命题,q是假命题,则下列复合命题中,真命题是
A.p且q
B.非p且非q
C.非p或非q
D.非p或q
2.若集合A={x+y=c|c∈R},B={x2+y2=r2|r∈R且r>0},则集合A∩B的子集的个数是
A.1
B.2
C.4
D.1或2或4
3.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}⫋{(x,y)|y=3x+b},则b等于
A.0B.1C.2D.3
4.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为
A.-1
B.1
C.0
D.±1
5.不等式>0的解集为
A.{x|x<-2或x>3}
B.{x|x<-2或1<x<3}
C.{x|-2<x<1或x>3}
D.{x|-2<x<1或1<x<3}
6.命题“若a>b,则a-5>b-5”的逆否命题是
A.若a<b,则a-5<b-5
B.若a-5>b-5,则a>b
C.若a>b,则a-5≤b-5
D.若a-5≤b-5,则a≤b
7.(2011河北徐水一中月考,1)若集合A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合B的元
素个数为
A.5
B.4
C.3
D.2
8.若f(x)=(x-a)(x-b)-2,a<b,不等式f(x)<0的解集为(m,n),则有
A.a<m<n<b
B.m<a<b<n
C.m<a<n<b
D.a<m<b<n
9.以下四个命题中,是假命题的为
A.“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”
B.“直线a∥直线b”的充要条件是“直线a、b与同一平面α所成的角相等”
C.“直线a⊥直线b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”
D.“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”
10.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任何实数x恒成立,则实数m的取值范围是
A.m>1
B.m<-1
C.m<-
D.m>1或m<-
11.给出下列命题:
①“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
②若M、N是两个集合,则“M∪N≠⌀”是“M∩N≠⌀”的充分不必要条件;
③“x≠2或y≠-2”是“xy≠-4”的必要不充分条件.
其中真命题的个数为
A.0B.1C.2D.3
12.关于x的不等式|x-a|<|x|+|x+1|的解集为一切实数,则a的取值范围是
A.-1<a<0
B.-1<a<1
C.a>1
D.a<-1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.用反证法证明“已知x,y∈R,x+y≥2,求证:x,y中至少有一个大于1”.则所作的反设是.
14.已知集合A={x||x-a|≤1},B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=⌀,则实数a的取值范围
是.
15.设函数f(x)=|2x-1|+x+3,则f(-2)= ;若f(x)≤5,则x的取值范围是.
16.设有两个命题:p:不等式()x+4>m>2x-x2对一切实数x恒成立;q:f(x)=-(7-2m)x是R上的
减函数,如果p且q为真命题,则实数m的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设函数f(x)=ax+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2),试求不等式
≤1的解集.
18.(本小题满分12分)已知x,y,z均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、
b、c中至少有一个大于0.
19.(本小题满分12分)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x2-3x≤10}.
(1)若a=3,求(∁R P)∩Q;
(2)若P⊆Q,求实数a的取值范围.
21.(本小题满分12分)在M={x||x+1|+|x-3|>8},P={x|x2+(a-8)x-8a≤0}的前提下:求a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集为R?
参考答案
一、选择题
1.C解析:∵p是真命题,q是假命题,
∴非p是假命题,非q是真命题,由复合命题的真值表知,非p或非q为真,故选C.
2.A解析:集合A中的元素是直线,而集合B中的元素是圆.因此两个集合中的元素具有不同的属性,没有公共元素,故A∩B=⌀,因此A∩B只有一个子集⌀,故选A.
3.C解析:由题意可知两直线x+y-2=0和x-2y+4=0的交点在直线y=3x+b上,
由得交点坐标为(0,2),
将点(0,2)代入y=3x+b,得b=2.
4.B解析:当a∈A时,∈A,
则=-∈A,
则=∈A,
则=a∈A,
a×××=1.故选B.
5.C解析:>0,>0,所以-2<x<1或x>3.
6.D解析:逆否命题的写法就是把原命题的结论否定作为条件,原命题的条件否定作为结论.注意“<”的否定是“≥”.
7.C解析:集合B={6,8,12},∴B中元素个数为3.
8.B
解析:由f(a)=-2<0,f(b)=-2<0,结合二次函数图象可知m<a<b<n.
9.B解析:B错.如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等,但任意两条侧棱不平行.
10.C解析:当m=-1时,不等式变为2x-6<0,即x<3,不符合题意.
当m≠-1时,
由题意
化简,得解得m<-.
11.C解析:①③对,②错.其中③可考虑“xy=-4”是“x=2且y=-2”的什么条件.
12.A解析:只需|x|+|x+1|的最小值大于|x-a|即可.
|x-a|<|x|+|x+1|的解集为一切实数⇔(|x|+|x+1|)min>|x-a|,
由绝对值的几何意义,问题转化为x∈{x|-1≤x≤0}时,
|x-a|<1⇔x-1<a<x+1⇔(x-1)max<a<(x+1)min,因此-1<a<0.
二、填空题
13.x≤1且y≤1解析:“至少有一个”的反面是“一个也没有”.
14.2<a<3解析:A={x||x-a|≤1}={x|a-1≤x≤a+1},
B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}.
∵A∩B=⌀,
∴得2<a<3.
15.6[-1,1]解析:f(-2)=|2×(-2)-1|+(-2)+3=6.
由f(x)≤5,得|2x-1|+x+3≤5,|2x-1|≤2-x,解得-1≤x≤1.
16.(1,3)解析:∵()x+4>4,(2x-x2)max=1,
∴使不等式()x+4>m>2x-x2对x∈R恒成立,只需1<m≤4;
由f(x)=-(7-2m)x是R上的减函数,
得7-2m>1,即m<3.
由p且q为真,即p为真q为真.
因此,1<m<3.
三、解答题
17.解:∵|ax+2|<6,
∴(ax+2)2<36,
即a2x2+4ax-32<0.
由题设可得
解得a=-4.
∴f(x)=-4x+2.
由≤1,即≤1,变形得≥0,
它等价于(5x-2)(4x-2)≥0,且4x-2≠0,解得x>或x≤.
∴原不等式的解集为{x|x>或x≤}.
18.证明:假设a,b,c都不大于0,
即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.
又因为π>3,π-3>0,且无论x,y,z为何实数,都有(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0相矛盾.
所以假设不成立.
因此a,b,c中至少有一个大于0.
19.解:(1)由2-≥0,得≥0,
∴x<-1或x≥1,
即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,
得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,
∴a+1>2a.
∴B=(2a,a+1).
∵B⊆A,∴2a≥1或a+1≤-1,
即a≥或a≤-2.
而a<1,∴≤a<1或a≤-2.
故当B⊆A时,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[,1).
20.解:(1)∵a=3,
∴P={x|4≤x≤7},
∁R P={x|x<4或x>7},
又Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},
∴(∁R P)∩Q={x|x<4或x>7}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}.
(2)若P≠⌀,由P⊆Q,得解得0≤a≤2;
当P=⌀,即2a+1<a+1,a<0,此时有P=⌀⊆Q,
∴a<0为所求.
综上,实数a的取值范围是(-∞,2].
21.解:M={x|x<-3或x>5},P={x|(x+a)(x-8)≤0}.
要使M∩P={x|5<x≤8},则需-3≤-a≤5(如图所示),
即-5≤a≤3,a取[-5,3]中的任意一个值,如a=-5,-4,0,1,…,都可以得出M∩P={x|5<x≤8},但由M ∩P={x|5<x≤8}得不到a只能取-5,-4,0,1,….
故a=-5(或-4,或0,或1等符合-5≤a≤3的数)是M∩P={x|5<x≤8}的充分但不必要条件.
22.解:由题意知f(x)的图象是开口向下,交x轴于两点A(-3,0)和B(2,0)的抛物线,对称轴为直线x=-(如图),
那么x=-3和x=2时,y=0.
代入原式
解得(舍)或
∴f(x)=-3x2-3x+18.
(1)由图可知f(x)在[0,1]内单调递减,
∴y min=f(1)=12,y max=f(0)=18.值域为[12,18].
(2)不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,
即-3x2+5x+c≤0的解集为R,
即Δ≤0,∴c≤-.
∴当c≤-时,ax2+bx+c≤0的解集为R.。