全国百强名校 ”2020-2021学年高三数学重难点训练 (58)

1．(2018·江苏卷)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1

＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．

(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． [解] 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，

以{OB →，OC →，OO 1→

}为基底，建立空间直角坐标系O －xyz . 因为AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．

(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32

，－12，2.

从而BP →＝⎝

⎛

⎭⎪⎫－32，－12，2，AC 1→

＝(0,2,2)．

故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→

||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝310

20.

因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310

20. (2)因为Q 为BC 的中点，

所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32

，12，0，

因此AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，AC 1→＝(0,2,2)，CC 1→

＝(0,0,2)．

设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，

则⎩⎨⎧

AQ →·n ＝0，

AC 1

→

·

n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

32x ＋32y ＝0，

2y ＋2z ＝0.

不妨取n ＝(3，－1,1)．

设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，

则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝5

5，

所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为5

5.

2．(2019·天津卷)如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝AD ＝1，AE ＝BC ＝2.

(1)求证：BF ∥平面ADE ；

(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；

(3)若二面角E －BD －F 的余弦值为1

3，求线段CF 的长． [解] 依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →

的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，

可得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,1,0)，E (0,0,2)．

设CF ＝h (h >0)，则F (1,2，h )．

(1)证明：依题意，AB →＝(1,0,0)是平面ADE 的法向量，又BF →

＝(0,2，h )，可得BF →·AB →＝0，

又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .

(2)依题意，BD →＝(－1,1,0)，BE →＝(－1,0,2)，CE →

＝(－1，－2,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，

则⎩⎨⎧

n ·BD →＝0，

n ·

BE →

＝0，即⎩⎨

⎧

－x ＋y ＝0，

－x ＋2z ＝0，

不妨令z ＝1，

可得n ＝(2,2,1)，因此有cos 〈CE →，n 〉＝CE →

·n |CE →||n

|＝－4

9.所以，直

线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为4

9.

(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面BDF 的法向量，

则⎩⎨⎧

m ·BD →＝0，

m ·

BF →

＝0，即⎩⎨

⎧

－x ＋y ＝0，

2y ＋hz ＝0，

不妨令y ＝1，可得m ＝⎝

⎛

⎭

⎪⎫1，1，－2h .

由题意，有|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |

|m ||n |

＝

⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪4－2h 3

2＋4h 2

＝13，解得h ＝8

7.经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为8

7.

1.高考对此部分的命题一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题或填空题与一道大题，或一道大题．

2．解答题多出现在第18,19题的位置，考查空间中平行、垂直的证明，利用空间向量求空间角，难度中等．