大学物理第5章 刚体力学基础ppt课件

转轴的力臂。
z
or
d
F
P
Mz的方向平行于转轴，由右手螺旋定则确定。
2、F不在转轴平面内 把F分解为三个分量 Fz, Fr, Ft, Fr的力矩为零, Fz的力矩不为零， 但不影响刚体的定轴转动， Ft的力矩沿轴向， 它对角动量有贡献。
z
Fz
F
r
o
P Fr
Ft
3、多个力作用于刚体 各外力作用点各不相同，外力对转轴
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。 2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时，β 小， 转速不宜
改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 — 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
M J 类比 F ma
3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题： ① 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。
M
r
m1
对重物应用牛顿第二定律，得
T f m 2 g si n m 2 a
N
T
对滑轮应用转动定律，得
f
• o
T
MTrJ
m2g
关联方程为： a r
J
1 2
m1r 2
TT fN m 2gco s
联立得：
Mm2grsinm2gcos
1 2m1r2m2r2
由于 为常量，故滑轮作匀变速转动．则
2 2
an
l2
9gcos
4
例题5-10 一恒力矩M作用于斜面顶点的滑轮上，滑轮的半径为r,
质量为m1，质量为m2的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的边
缘，重物沿倾角为α的斜面上升．重物与斜面间的摩擦系数为μ。
求：轮子由静止开始转过角 后获得多大的角速度？
解 选取斜面为参考系，规定滑轮的转动 方向为转动正向，沿斜面向上为重物运动的 m 2 正方向．隔离物体分析受力。
对切向方程两边同乘以 r i ，可得 Firi sini firi s ini mir2i
则有：
Firi s ini firi sini ( mir2i)
i
i
i
令
Mz Firisini
i
上式便可写成
J mir2i
i
Mz J
刚体的定轴转动定律
它表明：刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加 速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力 矩的代数和。
叠加。
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。
角位置： (t) 刚体定轴转动的运动学方程。
角位移: 21
平均角速度： ＝
t
角速度： （矢量）
＝d
dt
y
rP•
•P
A
O S A
x
角加速度： （矢量）
d
dt
d2
dt2
由于在定轴转动中轴的位置不变，故
m2
m1
T2
m2
m2g
a2
O
T 2
联立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得
a(m2m1)gMf /r m1m2m/2
T1m1(ga)m1[(2m m 12m122m )m g/2M rf ]
T2m2(ga)m2[(2m m 11m 1 22m )m g/2M rf ]
当不计滑轮质量m 和摩擦阻力矩Mf时，有
对该轴的转动惯量为J，则有：
JJC md2
两轴平行； 说明： JC 为刚体绕质心轴的转动惯量
d 为两平行轴间距离。
例 均匀圆盘对O 轴的转动惯量。
JC
1 mR2 2
Jo
1m 2
R2 m
d2
od C
5.2.3、对转轴的力矩 1、F在转动平面内 Mz rF
大小：Mz＝Frsin ＝Fd, d=rsin 称为力F对
tt1t2t319 .9s3
例题5-3 一细棒绕O 点自由转动，并知 3g cos , L 为棒长。
2L
求: 1) 棒自水平静止开始运动，θ = π / 3 时, 角速度ω ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大?
解： 1) 棒做变加速运动：
d3gcos
dt 2L
ddd d dt d
d3gcosd
z
刚体 外 力 角 矩 位 d 移 ？ o
由功的定义式:
d A F • d r ＝ F cd o ss
大学物理
第五章 刚体力学基础
5 .1 刚体运动学
5.1.1、刚体 平动与转动 1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。
刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。
2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点, 质点力学的规律 适用。
② 选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、 角速度的正负。
③ 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用 隔离法解题。 对转动物体应用转动定律建立方 程， 对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。
r 例题5-7 一轻绳跨过一质量为m的定滑轮（视为半径为 的薄圆盘）
绳两端挂质量为 m 1 和 m 2 两物体，且 m2 m1
解: 设质量线密度为λ dmdl
JR 2dm 2RR 2 dl 0
oR
R22Rm2R质点作圆周运动、圆筒 dm
例题5-5 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。
解: 设质量面密度为σ
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
d m d s 2 rd r
R o r dr
Jr2dm 0 Rr22rdr
此时砂轮的角度：
(24 t3)240 .535 2 .6(7 rad)
例题5-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增 加到200rad/min,然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制
动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞 轮总共转了100转，求共运转了多少时间？
解：整个过程分为三个阶段
T1T2m 1(ga)m 2m 1 1m m 22g
a m2 m1 g m1 m2
例题5-8 质量为m 1、半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动，一质 量为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m 2 的下落加
速度a 和 滑轮转动的角加速度β.
解 对m 1 分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。
dt
d 24t
dt
a n R2 0 .1 42 8 2.4 3 (m 0 2)/so •
a tR0 .1 4 8 4 .8 (m2)/s
2) anR21.4 4t4 at R 2.4t
ta4 n5at /an1 1.4 4t42.4t
t0.55 s ( 舍去t = 0 和 t = -0.55 )
ri
，此质元所受的外力为
+
F i ，内力为 f i ,且均在转动平面内
，
由牛顿第二定律得: Fi fi miai
其切向分量和法向分量方程分别= 为:
Fi sini fi sini miait miri (Fi cosi fi cosi)mi ain miri2
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零，故只讨论切向方程。
1 2 m iv21 2mc2v 1 2 m i(r i)2i 1 2 m ir i22
1 (
2i
miri2)2
定义：刚体对转轴的转动惯量：
n
J miri2 i1
SI单位：kg . m 2
即：
Ek转
1 2
J2
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。
5.2.2、转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。
特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。
注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。 3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。
定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。 特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。
2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。 4、刚体的一般运动：刚体的一般运动可看成是平动和转动的
1R4 1m R2
2
2
圆柱、滑轮等
例题5-6 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解: 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm= λdx 。
d Jx 2d m x 2 d x
JA
Lx2dxmL 2
0
3
A
A 2）取C 点为坐标原点。
在距C 点为x 处取dm 。
x dm
2
4(Mm 2gsri nm 2gc
m 1r22m 2r2
o)s
基本步骤：
1. 隔离法分析研究对象。 2. 确定各物体运动的正方向。 3. 分别列出质点和刚体的运动方程。
一般刚体动能 ： E kE k平 E k转 1 2m2 v1 2J2
5.2.5、力矩的功和功率：
质 外 位 点 d r 力 d 移 A F d r
的合力矩
M zM 1 zM 2 z M nz
合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。
可证：刚体中内力对给定轴的力矩的矢量和为零，只需考虑
外力矩的作用。
5.2.4、定轴转动定律
设刚体以角速度 和角加速度 绕 Oz
轴转动， P点表示刚体上的一质元, 质量为
,
fi
Fi
O
i i
ri
P
mi ,
P点的矢径为
小球组成，且可绕O 轴在竖直平面内转动，且轴处无摩擦。
求: 1） 刚体绕轴O 的转动惯量。 2）若棒自水平静止开始运动到
棒与竖直方向成θ角时, 小球的角速度和 法向加速度。
解
1） J棒
1 ml2 3
J球 ml2
Jm2l1m2l4m2l
3
3
O•
m,l
m
2）取逆时针转动为正方向，棒与竖直 方向成θ角时，合外力矩:
①加速阶段 ②匀速阶段
③制动阶段
1 1t1
2 1t2 1 3t3
210211
21 233
1
12 21
1t1
2
3
12 23
1t3
2
而 1 ＋ 2 ＋ 310 2 0
2 1t11t22 1t3 200
t2 20 1 0 (t1 t3 )/2 20 /1 0 (t1 t3 )/2 1.9 8 s 2 1
mg
M棒m
gl s 2
in
mg
M 球msgiln
MM 球M 棒2 3msgiln
由转动定律: MJ
得： M9gsin
J
8l
O•
m,l
m
又 d d t d d d d t d d
9gs in
8l
d d
分离变量积分得:
2 9g8 slind
d
0
3
2
gcos
l
小球的法向加速度 ：
L
C xdm
L2
L2
B x
B x
JC x2dmL 2L 2x2dxm 122L
说明
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定;
2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
3、平行轴定理： 若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体
滑轮轴间摩擦阻力矩为 M f ，绳与滑轮无相对滑动，
求物体的加速度和绳中的张力。
m
解：由牛顿第二定律和转动定律得
对 m 1 T1m 1gm 1a （1）
对m2
对滑轮
2m2r （3）
T1T1,T2T2 （4）
T1
m1g
a1
Mf
a r （5）
T1
1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
n
J miri2 i1
J r2 dm
SI单位：kg . m
2 、转动惯量的计算：
若质量离散分布： J miri2 （质点，质点系）
若质量连续分布： J r2 dm
其中：
dmdl
dmdS dmdV
例题5-4求质量为m，半径为R 的均匀圆环对中心轴的转动惯量。
例题5-1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时间
t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求：
1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大
小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。
解： 1) d 12t2
,
只有沿轴的
正负两个方向，可以用代数值代替。
刚体作匀变速转动时，相应公式如下：
0
0t
1 t2
2
0 t
2
2 0
2
(
0)
A
角量与线量的关系：
s r , v r
at r , an r 2
a r 2 4
线速度与 角速度 之间的矢 量关系为: v r
y
rP•
•P
OS
o
r
A
x
v
• m 1 R
由转动定律： MJ
T R J 1 ) 对m 2分析受力。取向下为正方向。 T
•m 1
R
m2
T
由牛顿运动定律： m 2 g T m 2 a 2 )
关联方程： a R
TT
J
1 2
m1R2
联合解得：
m2g
a 2m2g m1 2m2
2m2g
R(m1 2m2)
例题5-9 一刚体由长为 l ，质量为m 的均匀细棒和质量为m的
2L
0 d0 32 3L gcod s
O•
•B
•A
2
3gs
in
3
3g
L 3 2L
3 3g
2L
2)由v r得 ： vA L
3
3gL 2
vB
L 2
3 3gL 8
5.2定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能
平动动能
转动动能
：：E E k 转 k平 ii1 2 1 2 m m iv iv i2 i2 ii