直线与平面面,平面与平面垂直的性质

A.1
B.2
C.3 D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD.
P
提示：连接AF.
A
D
B
FC
2.3.4 平面与平面垂直的性质
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交， 如果它们所成的二面 角是直二面角，就说 这两个平面互相垂直。
垂直于同一个平面的两条直线平行
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上 的圆周角是直角、勾股定理的逆定 理……
2.利用平移：a⊥b,b∥c，则 a⊥c
3.利用线面垂直定义：a⊥α,b α，则 a⊥b
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）

n
a

a n
a
同理b

bl aα
β
n γm
b // a
a b



b //
b
l

b // l b


lb


线面平行判定
线面平行性质
思考：还可以怎样作辅助线？
2、已知a、b是两条不重合的直线，
P
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
A
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
O
若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B
若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （D）
D C
A. B. C. D.
面 具有什么位置关系?
α
P a
b
β
α a b
P
β
直线a在平面 内
面面垂直的性质
面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交
线的直线与另一个平面垂直。
β
a l
A α


a



l


பைடு நூலகம்
a


a l
面面垂直线面垂直
例4 , a , a ,判断a与位置关系
l ⊥
m // l
有关结论： 1、垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2、两条平行线中一条垂直于一个平面，则另 一条也垂直于这个平面； 3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
练习
1、如图PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是 （ C ）
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD
证法2：设 n， m,
l
在γ内任取一点A（不在m,n上），
α
β
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an γ mb A
n
a n
a l
al
同理 b l
l
ab A
规律小结： 一、怎样证线线平行：
又∵是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.
练一练
1、设l、m、n为三条不同的直线，α为一个平面，下列
命题中正确的个数是
（ C）
①若l⊥α，则l与α相交；②若mα，nα，l⊥m，l⊥n
则l⊥α；③若l //m，m//n，l⊥α，则n⊥α；④若l//m，
m⊥α，n⊥α，则l //n.
AO=O，
∴BD⊥平面ACO。又AC平面ACO
∴AC⊥BD
例2、如图，在直三棱柱ABC —A 1B1C1中，AB=BC =BB1, D为AC的中点， （1）求证：B1C∥平面A1BD; ( 2 )若AC1⊥平面A1BD,求证B1C1⊥平面ABB1A1.
B1
A1 E
(1)证明:连接AB1，交A1B于 E,连接DE.
1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线 与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……
2.利用公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行
3.利用线面平行的性质定理： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的
平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行
4.利用面面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行， 5.利用线面垂直的性质定理：
回顾
2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平

面的垂线，则这两个平面
垂直。
a

a a







探究
A1
面面垂直的性质
D1
F
α
D
C1
B1
D
E
C
β
A
B
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
思考：设平面 ⊥平面 ，点P在平面
内，过点P作平面 的垂线a，直线a与平
例1、如图，在四面体ABCD中，若AB⊥CD,AD⊥BC, 求证：AC⊥BD.
证明：过A作AO⊥平BCD，
垂足为O，连接BO、CO、DO,
A
则AO⊥CD，
∵AB⊥CD，AB∩AO=A，∴CD⊥平
面ABO，BO平面ABO，∴CD⊥BO。
B
O D 同理，BC⊥DO，则O为△BCD的垂
C
心，∴CO⊥BD，∵AO⊥BD，CO∩
解：设 l
α
在α内作直线b⊥l
b
a
l

β
b
bl
l
b 又a

a // b

b




a //
a
面面垂直性质
P73 A组第5题
证法1：设 n， m,
在α内作直线a ⊥n
在β内作直线b⊥m
直线与平面垂直的性质
（1）基本性质 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个 平面内的任意直线
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
P
D
C
A
B
侧棱垂直于底面，侧棱 垂直于底面的任何一条 直线。
PD⊥底面，则PD⊥AB，PD ⊥BC，等。
（2）性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
ml

｝ m⊥
C1
∵在直三棱柱ABC —A 1B1C1中，
AB=BB1，∴侧面ABB1A1是正方形，
∴E是AB1的中点，D为AC的中点
，∴DE∥B1C，∴B1C∥平面A1BD.
B A
C (2) AC1⊥平面A1BD, ∴AC1⊥A1B,又∵
侧面ABB1A1是正方形∴AB1⊥A1B ，
D
∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B ⊥B1C1.