双曲线的标准方程
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指向线段F1F2外侧的射线; (2)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹不存在; (3)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹是双曲线; (4)当2a 0时,点的轨迹是线段F1F2的中垂线;
2、双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
在双曲线方程中, 总有y2 a2Fra bibliotekx2 b2
1(a
双曲线及其标准方程
(1)
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1, F2的距离的差的绝对值等
于常数(小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的 焦距.
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
注意 : (1)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹是以F1, F2为端点,
的距离差的绝对值为10的点的轨迹方程.
变式2.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
的距离差的绝对值为16的点的轨迹方程.
例2.已知方程 x2 y2 1表示双曲线, 2m m 1
求m的取值范围.
答案 : 1 m 2
变式.已知方程 x2 y2 1表示下列图形, 2m m 1
求m的取值范围.
x2 y2 1
a2 b2 y2 x2
1 a2 b2
(c, 0) (0, c)
c2 a2 b2
例1.课本P 47, 例1
已知双曲线的两个焦点分别为F1 5,0, F2 5,0,双曲线上一点P到F1, F2距离差的绝
对值等于6.求双曲线的标准方程. 答案 : x2 y2 1
9 16
变式1.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
答案 : (1)m ;
1 表示焦点在y轴上的双曲线; 2 表示圆;
(2)m ; (3)m 1; (4) 1 m 2
3 表示椭圆;
4 表示焦点在x轴上的双曲线.
例3.求根据下列条件,求双曲线的标准方程
(1)经过点P
3，15 4
，Q
136 ，5 的双曲线方程;
(2)c 6,经过点(5, 2),焦点在x轴上.
(3)已知双曲线与椭圆 x2 y2 1有共同的 27 36
焦点,且过点 15,4 ,求双曲线方程.
答案: (1) y2 x2 1 答案: (2) x2 y2 1 答案: (3) y2 x2 1
9 16
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45
练习: 课本P48,练习1 求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上,a 4.b 3;
0, b
0)
c2 a2 b2 ,其中 c最大,而a,b的大小不确定
椭圆与双曲线的区别和联系
椭圆
定义 方程
| PF1 | | PF2 | 2a x2 y2 1 a2 b2 y2 x2 1 a2 b2
焦点
(c, 0) (0, c)
a,b,c 的关系
a2 b2 c2
双曲线 | PF1 | | PF2 | 2a
( 2)焦点在x轴上, 经过点(
2,
3 ),
15 , 3
2 ;
(3)焦点为(0, 6),(0,6),且经过点(2,5)
2、双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
在双曲线方程中, 总有y2 a2Fra bibliotekx2 b2
1(a
双曲线及其标准方程
(1)
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1, F2的距离的差的绝对值等
于常数(小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的 焦距.
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
注意 : (1)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹是以F1, F2为端点,
的距离差的绝对值为10的点的轨迹方程.
变式2.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
的距离差的绝对值为16的点的轨迹方程.
例2.已知方程 x2 y2 1表示双曲线, 2m m 1
求m的取值范围.
答案 : 1 m 2
变式.已知方程 x2 y2 1表示下列图形, 2m m 1
求m的取值范围.
x2 y2 1
a2 b2 y2 x2
1 a2 b2
(c, 0) (0, c)
c2 a2 b2
例1.课本P 47, 例1
已知双曲线的两个焦点分别为F1 5,0, F2 5,0,双曲线上一点P到F1, F2距离差的绝
对值等于6.求双曲线的标准方程. 答案 : x2 y2 1
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变式1.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
答案 : (1)m ;
1 表示焦点在y轴上的双曲线; 2 表示圆;
(2)m ; (3)m 1; (4) 1 m 2
3 表示椭圆;
4 表示焦点在x轴上的双曲线.
例3.求根据下列条件,求双曲线的标准方程
(1)经过点P
3，15 4
，Q
136 ，5 的双曲线方程;
(2)c 6,经过点(5, 2),焦点在x轴上.
(3)已知双曲线与椭圆 x2 y2 1有共同的 27 36
焦点,且过点 15,4 ,求双曲线方程.
答案: (1) y2 x2 1 答案: (2) x2 y2 1 答案: (3) y2 x2 1
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练习: 课本P48,练习1 求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上,a 4.b 3;
0, b
0)
c2 a2 b2 ,其中 c最大,而a,b的大小不确定
椭圆与双曲线的区别和联系
椭圆
定义 方程
| PF1 | | PF2 | 2a x2 y2 1 a2 b2 y2 x2 1 a2 b2
焦点
(c, 0) (0, c)
a,b,c 的关系
a2 b2 c2
双曲线 | PF1 | | PF2 | 2a
( 2)焦点在x轴上, 经过点(
2,
3 ),
15 , 3
2 ;
(3)焦点为(0, 6),(0,6),且经过点(2,5)