高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂讲解

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全微分存在的条件
由微分定义 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f (x x, y y) f (函x数, y在)该点连续
z 1
x
y1(xy)2x1x2y2,
z x
x2 y 1
1 5
,
z y
x2 y 1
2. 5
所以 dz1dx2dy1(dx2dy).
55 5
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多元函数的全微分在近似计算中有一定的应用. 实 际 上 ， 对 于 可 微 的 二 元 函 数 z f (x, y) ， 因 为
z dz o() 是一个比 高阶的无穷小量，所以有
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f (x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
若这两个偏导数仍存在偏导数，
则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
(
z x
)
2z x2
f xx
(x,
y);
y
(z) x
2z x y
fxy (x, y)
(z) x y
2z yx
f yx (x, y);
(z) y y
2z y2
f yy (x, y)
y)2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y)的偏导数 在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
证： z f (x x, y y) f (x, y)
z , z x y
[ f (x x, y y) f (x, y y)] [ f (x, y y) f (x, y)]
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
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函数可微
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
z , z 必存在,且有 x y
d z z x z y x y
证: 由全增量公式 z Ax By o ( ) , 令 y 0,
xy yx 内这两个二阶混合偏导数相等.
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,
而初等
函数在其定义区域内是连续的 ,
故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
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内容小 结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
解 fx ( x ,y ) ( 5 x 2 y 3 ) x 5 2 x y 3 1 0 x y 3 ; fy ( x ,y ) ( 5 x 2 y 3 ) y 5 x 2 3 y 2 1 5 x 2 y 2 ;
fx(0,1) 0; fy (1,2)151(2)260.
例 2 求 z x y (x 0 , x 1) 的偏导数.
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例 6 求函数 z x3 y4 3xy 的全微分.
解 因为 z 3x2 3y, z 4 y3 3x,
x
y
所以 d z (3 x 2 3 y )d x (4 y 3 3 x )d y .
例 7 求函数 z arctan(xy) 在点 (2 ,1) 处的全微分.
解 因为 xz1(1xy)2y1xy2y2,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
T pV , T V R p R
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
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二、高阶偏 导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
f
x
(
x,
y
)
,
z y
f y(x, y)
（即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时函数的变化率. 此时，它们就是一元函数的变化率.
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定义1 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
lim
x0
f
(
x0
x,
y0 ) x
f
(
x0 ,
y0 )
存在, 则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此极限为函数
z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 对 x
得到对 x 的偏增量
x z f ( x x, y) f ( x, y) Ax o ( x )
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 d z z x z y
y
x y
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注意: 定理1 的逆定理不成立 .
即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
f x (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
[ f x (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
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lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
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z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ f x ( 0, 0 )x f y ( 0, 0 )y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (y)2
(
x y x)2 (
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法
先代后求
• 求一点处偏导数的方法
先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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三、全微分
引例: 设一块长方形金属薄片的长和宽分别为x、y，
从而薄片的面积为S＝x y ，
金属薄片受温度变化的影响,
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类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
x
(x2 2z
)
3z x3
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
y
(
n 1 z x n 1
)
nz xn1 y
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y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
是曲线 斜率.
z
x
f (x, x0
y)
在点M0
处的切线
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z
M0
Tx
Ty
o
x0
x
y0
y
M 0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
例如,
z
称为函数S＝ x y在点(x , y)的全微分
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一般地，我们有二元函数全微分的定义。
定义 函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量 z f (x x , y y) f (x, y)可表示成
z Ax B y o( ) , (x)2 (y)2
例 4 求 z x3 y4 4x2 y2 的二阶偏导数.
解
z 3x2 8xy2, z 4y3 8x2 y,
x
y
2z x2
6x
8y2,
2z 16xy, xy
2z 16xy, yx
2z y2
12 y2
8x2.
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例6
解:
求函数z e x2y 的二阶偏导数及
z ex2y
d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示,
于是
d u u d x u d y u d z x y z
记作 d x u d y u d z u d x u , d y u , d z u称为偏微分. 故有下述叠加原理
du dx udy udz u
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长由 x 变到 x x , 宽由 y 变到 y y , 则此薄片面
积的增量为
y xy xy
S (x x)( y y)xy
y A xy yx
yx xy xy
x x
关于△x 、△y 当 ( x)2 (y)2 0 时，
的线性主部
是比 的高阶无穷小.
故 S yx xy
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高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂 讲解
一、偏导数
在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的概念， 对于多元函数也常常需要研究它的变化率.
由于多元函数的自变量不止一个，
变化率也就会出现
也就会出现各种不同的情况；
就二元函数z = f (x, y)而言，
当点(x, y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时一般有不同的变化率. 我们先讨论当沿着平行于x 轴或y轴方向变动
近似公式 z dz fx(x, y)x f y(x, y)y .
或 f (x x, y y) f (x, y) fx(x, y)x f y(x, y)y ,
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数,
也简称为
偏导数 , 记为
z , x
f , x
zx ,
fx(x, y) , f1(x, y)
z , y
f , y
zy ,
f y(x, y) , f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
解 把 y 看作常量,对 x 求导,得 z yx y 1 , x
把 x 看作常量,对 y 求导,得 z x y ln x.
y
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例3 已知理想气体的状态方程 pV RT (R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证:
p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
xy
f
(x,
y)
x2
y
2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
显然
f x ( 0, 0 )
d dx
f ( x, 0)
x0
0
f
y
(
0,
0
)
d dy
f ( 0, y )
y0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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例 1 求函数 f (x, y) 5x2 y3 的偏导数 fx(x, y) 与 f y(x, y) ， 并求 fx(0,1) ， f y(1, 2) .
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 在点 (x, y) 的全微分, 记作
AxBy 称为函数 f (x, y)
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,
则称此函数在D 内可微.
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z 2ex2y
3z yx
2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
3z yx2
x
(
2z ) yx
2ex2y
注意:此处
2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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定理 1 如果函数 z f (x, y) 的两个二阶混合偏 导数 2 z 与 2 z 在区域 D 内连续,则在该区域
f
x
(
x,
y,
z
)
limf ( x x, y, z) f (x , y , z)
x0
x
f y(x, y, z) ?
(请自己写出)
fz(x, y, z) ?
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二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
是曲线
z
y
f (x, y0
的偏导数，记为
z x
(x0 ,
y0 );
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
fx(x0 , y0 ) ; f1(x0 , y0 ) .
注意: fx(x0 , y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
lim f (x0 x,
(x0x0x) f (x0 )
d dx
f x(x,
y0 )
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到 x y , 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 可微.
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推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为