反常积分

同理
b f xdx lim
b
f (x)dx
a
0 a
b f xdx lim
c
f (x)dx lim
b
f (x)dx

a
0 a
0 c
小结
广义积分的定义及计算
注意 与定积分的区别与联系；
有时题目可能含两类广义积分，要会处理




f (x)dx F(x) F() F()


二、无界函数的反常积分
引例2 如图所示曲线y 1 和直线 x 1及 y 轴所
x
围成的开口曲边梯形的面积记为:
A 1 1 dx
0x
y
可将其理解为
y 1 x
11
A lim
dx
x 0
围成的开口曲边梯形的面积记为:
A 1 dx
1 x2
可将其理解为
A lim
b1 dx
x b 1 2
y 1
y x2
01
b x
定义 设 f (x)在[a,)上连续，取 b a，如果
极限 lim b f (x)dx 存在，则称此极限值为函数 f (x) b a
函数 f (x)在(,)上反常积分定义为：

a

f (x)dx f (x)dx f (x)dx


a
例1 解
计算 ex dx 0
ex dx lim b exdx lim (ex ) b
0
b 0
b
0
lim (1 eb ) 1 0 1 b
在[a,
)反常积分，记为

a
f
( x)dx
，即

b
f (x) d x lim f (x) d x
a
b a

此时，我们称反常积分 a
f
(x)dx
收敛，否则称
反常积分发散．
类似地，可定义
b
b
f (x)dx lim f (x)dx.

a a
定义 设f (x)在(,) 上连续，且对任意实数 a ，
0 1
x
定义
设 f (x)在a,b上连续，极限 lim f (x) xa
如果 lim b f (x)dx存在，则称此极限值为无界函数 0 a
f (x)在a,b上反常积分，记为

b
f (x) d x= lim f (x)dx
a
0 a
此式右边的极限存在称反常积分收敛，否则为发散.
高等数学之——
6.4.1反常积分
定积分中规定：
(1)积分区间a，b是有限区间，即 a,b是常数
（2）被积函数是连续函数 ，或者在a,b上有界，
且至多有有限个间断点.
第六章 定积分 第二节 反常积分
一. 无穷区间的反常积分 二. 无界函数的反常积分
一、无穷区间的反常积分
引例1 如图所示曲线y x2 和直线 x 1及x 轴所
若 F(x)是f (x) 的一个原函数，记F() lim F(x)， x F() lim F(x) x 则反常积分可表示（如果极限存在）：


0
f (x)dx F(x) a
F() F(a)
b
b
f (x)dx F(x) F(b) F()